La cinématique se divise en deux parties
P La cinématique pure, où le mouvement est étudié d'une manière pure et abstraite.
2^ La cinématique appliquée ou théorie des mécanismes qui étudie les mécanismes servant à la transmission et à la transformation des mouvements.
3. Trajectoire. — Quand un point se meut dans Tespace, la suite des positions qu'il occupe succcessivement forme une ligne droite ou courbe que Ton appelle sa trajectoire.
Suivant que la trajectoire est une ligne droite ou une ligne courbe, le mouvement est rectiligne ou curviligne.
4. Pour que le mouvement d'un point soit complètement connu, on doit connaître sa trajectoire , et, en outre, la loi du mouvement du point sur sa trajectoire, c'est-à-dire la loi suivant laquelle le point mobile parcourt les diverses parties de cette trajectoire.
Soit AB la trajectoire du point mobile M (fig. 1) ; pour définir la position du point M à un instant donné, on
prend sa distance OM à un point:
^'^* ^* fixe sur la trajectoire, et l'on
compte le temps à partir du moment où le point mobile se trouve dans une position déterminée M^,. On voit qu'à chaque valeur du temps correspond une longueur OM. Cette longueur que nous désignerons par s est donc une fonction du temps, et nous aurons :
s ^ fit).
C'est Yéquation du mouvement du point sur sa trajectoire.
5. L'unité de longueur est le mètre ; l'unité de temps est la seconde de temps moyen, c'est-à-dire la 86400® partie du jour solaire moyen, sett peuvent être positifs ou négatifs : s est positif ou négatif, suivant qu'il est compté dans un sens ou dans l'autre, à partir du point initial ; ^ est positif ou négatif, suivant qu'il est compté après ou avan tl'instant initial correspondant à M^.
6. On appelle mouvement uniforme le mouvement dans lequel les espaces parcourus sont proportionnels aux temps employés à les parcourir.
Si donc Sq est l'espace parcouru à l'origine du temps, nous aurons, d'après la définition :
s — So
OU bien :
5 = 5o + at.
C'est Yéquation du mouvement uniforme.
7. On dit aussi que le mouvement est uniforme ^ lorsque les espaces parcourus dans des temps égaux sont égaux^ quels que soient ces temps.
8. On appelle vitesse dans le mouvement uniforme le chemin parcouru par le mobile dans l'unité de temps, ou, ce qui revient au môme, le rapport constant qui existe entre l'espace parcouru et le temps employé à le parcourir.
On a donc, en désignant par v la vitesse dans ce mouvement :
S — Sq
9. Remarque. — Il est bien évident que Ton ne peut pas comparer un espace à un temps, mais bien les rapports de ces quantités à leurs unités respectives. Il en résulte qu'il n'y a pas d'unité de vitesse : la vitesse définie comme nous l'avons fait est un nombre abstrait dont la grandeur varie avec l'unité de temps et l'unité de longueur. Ordinairement, le temps est considéré comme un nombre abstrait. Alors la vitesse est une longueur^ un nombre de mètres (parcourus en une seconde).
10. On attribue à la vitesse le sens dans lequel s'effectue le mouvement. Elle sera positive ou négative, suivant que le mouvement a lieu dans le sens des $ positifs, ou des s négatifs. Cela résulte d'ailleurs de la formule :
S—Sq
En résumé, les équations du mouvement uniforme sont :
s=^So + at,
1 1 . Représentation graphique de la loi du mouvement. Soit 5 — /" (0 la loi du mouvement. Prenons deux axes rectangulaires ot et os (flg. 2), et choisissons arbitrairement une longueur représentantl'unité de temps, et une longueur représentant l'unité de longueur.
Portons sur l'axe des abscisses des longueurs op, op\.., représentant à l'échelle adoptée des valeurs déterminées du temps, et supposons que les ordonnées mp, rrip\ . . , soient à l'échelle des espaces les valeurs de s qui correspondent
dans l'équation du mouvement à ces différentes valeurs de t. Nous aurons ainsi une suite continue de points m, m\ yn"..., formant une certaine figure ayant pour équation :
C'est cette ligne que Ton appelle la courbe des espaces. Nous pourrons ainsi obtenir graphiquement s en fonction de f , ou bien t au moyen de s.
12. Remarque I. — Il ne faut pas confondre la ligne que nous venons de définir avec la trajectoire que le point décrit dans l'espace.
Remarque II. — Dans le mouvement uniforme, la courbe des espaces est une ligne droite.
13. Proposons-nous de trouver graphiquement la vitesse du mouvement uniforme représenté par la droite
Fig. 3.
AB (ligne des espaces). Il suffit de mener à partir d'un point C quelconque une droite CD parallèle à ot (fig. 3), et égale à la ligne qui représente l'unité de temps, puis de de mener par le point D une parallèle à osy jusqu'à la rencontre avec AB au point E. La longueur DE représente la quantité dont s a varié dans l'unité de temps : c'est donc la valeur absolue de la vitesse. 14. Le signe de cette vitesse est indiqué par la position
Fig. 4.
de la droite DE. Ainsi, dans le cas où le mouvement est représenté par AB (fig. 3), c'est-à-dire s'il a lieu dans le sens des s positifs, la vitesse est positive ; dans le cas de A'B' (fig. 4), c'est-à-dire si le mouvement a lieu dans le sens des s négatifs, la vitesse est négative.
Mouvement varié. — Vitesse.
15. Tout mouvement qui n'est pas uniforme est dit varié. Dans ce cas, les espaces parcourus ne sont pas proportionnels aux temps employés à les parcourir.
On distingue cependant parmi les mouvements variés, ceux qui sont périodiques ou périodiquement uniformes. Ce sont des mouvements dans lesquels les espaces parcourus pendant des temps égaux convenablement choisis sont égaux ; cette égalité ne subsiste pas, quelque petits que soient les temps égaux considérés, mais seulement quand ces temps sont des multiples d'un certain intervalle appelé période du mouvement.
16. Dans un mouvement varié en général, la vitesse varie à chaque instant en grandeur et en direction. Mais, à un instant quelconque, elle a une valeur finie et déterminée, qui, si elle demeurait constante, transformerait le mouvement varié en mouvement uniforme.
Il résulte de cette définition, que, si v est la vitesse à la fin du temps ^ et ds l'espace élémentaire parcouru pendant le temps dt, nous aurons :
ds = vdt, d'où :
ds
Si donc s = f {t) est l'équation du mouvement, nous aurons :
On voit que la vitesse à un instant donné est exprimée
par la déHvée première de l'espace par rapport au temps.
Il résulte aussi de la môme définition que la direction de la vitesse est celle de l'élément infiniment petit ds de la trajectoire, c'est-à-dire celle de la tangente.
17. Remarque. — On peut encore trouver l'expression de la vitesse par le raisonnement suivant :
Soient s l'espace parcouru par le mobile à la fin du temps ty et v sa vitesse à cet instant ; 5 + A* l'espace parcouru à la fin ;du temps t + Atj v' la vitesse à cet instant, et supposons v < v'.
Si, pendant le temps A^, le mobile avait continué son mouvement d'une manière uniforme avec la vitesse t?, il aurait parcouru l'espace vâkt, évidemment plus petit que A^ ; nous aurons donc :
vAt < as.
D'autre part, si pendant le temps A^, le mobile avait parcouru sa trajectoire d'un mouvement uniforme avec la vitesse v\ il aurait parcouru l'espace t?'A^ et nous aurions évidemment :
v^At > As.
Nous aurons donc :
v^At > As > vAt,
ou bien :
, As At
Si nous supposons que A^ décroisse indéfiniment, à la limite on a t?' = t?, et, par conséquent,
18. Proposons-nous de trouver graphiquement, dans un mouvement varié, la grandeur de la vitesse du mobile à la fin du temps ^, correspondant à une abscisse o'p.
Au bout du temps t, le mobile est en M sur sa trajectoire ; au bout du temps t + dt^ ^ig- ^- il est en M' : il a parcouru l'arc
MM' ^ ds. kxx point M correspond une certaine valeur de s représentée par l'ordonnée Cp ic " de la courbe des espaces (flg. 5) ;
au point M' (^ + dt) correspond un point C infiniment voisin de
■ C. La longueur pp' représente
P ?' ' dt.éX
C'K = C'p' — Cp,
représente l'arc ds.
ds
La vitesse -^ est donc donnée par le rapport. ™- •
Prenons sur CK une longueur CE égale à la longueur qui représente l'unité de temps, puis menons EF parallèle à os, jusqu'à la rencontre de la tangente. On a, par la similitude des triangles,
