Relation entre une force, la masse du point

MATÉRIEL SUR LEQUEL ELLE AGIT ET l' ACCÉLÉRATION

correspondante. — Soit F une force constante, appliquée à un point matériel de masse m, à partir du repos, et lui communiquant une accélération <p ; soit do même F une force constante communiquant une accélération 9' à un point de masse m' à partir du repos. Je dis que l'on aura :

En effet, soit F" une force communiquant une accélération ç' au point de masse m, et appliquons les deux théorèmes précédents (n""^ 19i et 195). Nous aurons :

par conséquent :

F mcp F' m'(p' '

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Deux forces constantes sont entre elles comme les produits des masses des points matériels sur lesquels elles agissent y par les accélérations qu'elles leur communiquent.

197. Unité de masse. — On convient de prendre pour unité de m^sse, celle d'un point matériel qui, sous l'action d'une force égale à l'unité, prend une accélération égale à l'unité. Il résulte de là que, si l'on suppose F' = 1, <p' = 1, on aura m' = 1, et la formule précédente nous donne alors :

F = mff.

Donc, l'unité de masse étant choisie comme nous l'avons fait, la valeur numérique d'une force constante est égale au produit de la masse du point sur lequel elle agit par Vaccélération du mouvement rectiligne qu'elle lui communiquerait en agissant sur lui à partir du repos.

198. Remarque. — Supposons maintenant un point matériel soumis à l'action d'une force variable^ mais déterminée à chaque instant en grandeur, direction et sens. Il résulte de ce qui précède que la valeur actuelle de cette force est mç, en désignant par <p l'accélération du mouvement rectiligne qu'elle communiquerait au point matériel, en agissant à partir du repos. Mais, cette accélération ç du mouvement rectiligne élémentaire uniformément varié, est précisément l'accélération actuelle du point dans son mouvement. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — A un instant quelconque^ la valeur numérique d'une force est égale au produit de la masse du point sur lequel elle agit par Vaccélération actuelle du mobile.

199. L'unité de masse étant définie, proposons-nous de déterminer la Tnasse d'un corps dont on connaît le poids. A cet effet, reprenons la formule :

Soit P le poids du corps, c'est-à-dire la force qui détermine la chute du corps lorsqu'on l'abandonne à luimême. L'expérience nous apprend que la force P, en agissant sur le corps dans le vide, lui communique un mouvement dont l'accélération g est constante dans un même lieu et pour tous les corps. A Paris, g « 9,8088, en prenant le mètre pour unité de longueur, et la seconde pour unité de temps. On a donc :

P = mg,

d'où :

P ff

Cette formule nous permet de déterminer numériquement la masse d'un corps, l'unité de masse étant définie comme ci-dessus (n^* 197).

D'ailleurs, cette même formule :

mg,

nous permet de déterminer le poids correspondant à Cunité de masse.

En effet, en y faisant î?i — 1 , il vient :

Si donc l'unité de poids est le kilogramme, on a :

P = 9ï^",8088, et si l'unité de poids est le gramme, on aura :

C'est le poids correspondant à l'unité de masse.

800. Remarque. — Nous venons de voir que la masse d'un corps est donnée par la formule :

Il s'ensuit que la mxisse d'un corps est proportionnelle

à son poids. Mais il faut bien se garder de confondre la

masse avec le poids. Le poids varie suivant le lieu où

1 on se trouve ; mais la valeur de g varie dans les mêmes

p circonstances, de sorte que le rapport— reste absolument

constant dans toutes les circonstances.

201. On peut encore arriver à la considération de la masse de la manière suivante : Nous avons vu {n^ 191) que des forces constantes, agissant successivement sur un même point matériel, sont proportionnelles aux accélérations qu'elles lui communiquent. Si donc F, F', F"... désignent les nombres qui mesurent les intensités de ces forces, et cp, cp', cp"... les accélérations constantes correspondantes, nous aurons ;

cp Y

F Mais, ce rapport —, qui est constant pour un même

point matériel, varie d'un point matériel à un autre :

c'est ce qui résulte de l'expérience. Ce rapport a donc

pour chaque point matériel une valeur caractéristique,

que l'on appelle la masse du point ^natériel. En désignant

par 771 la masse du point considéré, on a donc :

- = m, ou bien F =- wç.

c'est-à-dire qu'une force constante est mesurée par le produit de la masse du point matériel sur lequel elle agit par V accélération correspondante (n** 197).

202. Remarque I. — Observons encore que l'expression de la tnesure d'une force constante agissant sur un point matériel libre à partir du repos, peut prendre une autre forme.

Nous avons trouvé la formule :

F «B mç.

ç étant Taccélération du mouvement rectiligne uniformément varié que la force communique au point matériel à partir du repos. Or, dans le cas actuel, on a, en désignant par v la vitesse que le mobile posséderait au bout du temps t :

V =^ (ft;

par suite,

Le produit mv s'appelle quantité de mouvement.

En faisant < «= 1, dans la formule précédente, on a :

F =3 mv.

On en conclut qvCune force constante, agissant sur un point matériel libre à partir du repos, est mesurée par la quantité de mouvement qu'elle produit pendant Vunité de temps, ou, en d'autres termes, par le produit de la masse de ce point par la vitesse qu'elle lui fait acquérir pendant l'unité de temps.