CHAPITRE IL

Composition des forces appliquées à un même point matériel.

204. C'est en se basant sur les quatre principes fondamentaux, que l'on parvient à trouver toutes les lois du mouvement des corps, sous l'action des forces qui leur sont appliquées. Mais, avant d'aborder l'étude du mouvement des corps, nous commencerons, comme en cinématique, par l'étude plus simple des lois du mouvement d'un point matériel.

Il est facile de concevoir que des forces soient appliquées à un point matériel, de manière qu'elles se neutralisent réciproquement, c'est-à-dire de manière à ne pas modifier l'état de mouvement ou de repos de ce point. On dit alors que ces forces se font équilibre sur le point matériel, ou que le point matériel est en équilibre sous Faction de ces forces.

L'idée d'équilibre n'entraîne pas nécessairement celle de repos. Quand on dit que des forces se font équilibre sur un point, cela signifie qu'elles ne modifient pas son état. Si le point est en repos, il restera en repos : mais, des forces peuvent se faire équilibre sur un point en mouvement.

Ces deux états d'équilibre s'appellent Véquilibre statique^ et Véquilibre dynatnique.

L'étude de l'équilibre peut être considérée comme un cas particulier de l'étude du mouvement ; mais, à cause de l'importance de ce cas particulier, nous en ferons une étude spéciale, qui constitue la statique.

Nous rappellerons ici que l'on peut représenter géométriquement une force appliquée à un point matériel A par une ligne droite, menée à partir de ce point dans la direction et le sens de la force, et ayant une longueur AP égale ou proportionnelle à la valeur numérique de l'intensité de la force (n^ 186). La droite AP ainsi obtenue représente la force en grandeur, et en direction. Par direction de la force, on entend souvent, nonseulement la direction de la droite suivant laquelle elle sollicite le point, mais aussi le sens dans lequel elle agit.

Pour distinguer l'une de l'autre deux forces égales, et agissant en sens contraires, suivant la même direction, on donne à l'une le signe +, et à l'autre le signe — . Ainsi, les forces + P et — P agissent en sens contraires.

205. RÉSULTANTE. — Lorsquc plusieurs forces agissent simultanément sur un même point matériel, suivant des directions quelconques, ce point prend un certain mouvement dans l'espace. Or, on conçoit que ce même mouvement pourrait lui être communiqué par l'action d'une force unique, dont la grandeur et la direction dépendent des circonstances que présente ce mouvement. Cette force unique, capable de donner au point matériel le même mouvement qu'il prend sous l'action des forces qui lui sont appliquées simultanément, s'appelle la résultante de ces forces. Les forces dont elle tient lieu se nomment les composantes.

La composition des forces a pour objet de déterminer la résultante, lorsque l'on connaît les composantes.

Le principe de l'indépendance des effets des forces qui agissent simultanément sur un même point matériel nous conduit à la règle de la composition des forces appliquées à un même point. D'après ce principe, le mouvement d'un point matériel soumis à l'action de plusieurs forces, s'obtient en composant le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse que ce point possède à un instant donné, avec les mouvements que chacune des forces données lui communiquerait si elle agissait seule sur ce point à partir du repos. Dans cette composition, les mouvements composants jouent le rôle de mouvements d'entraînement, et il est évident qu'ils doivent être considérés comme des mouvements de translation.

206. Théorème. — Deux forces agissant sur un même point matériel suivant une même direction et dans le même sens peuvent être remplacées par une force unique égale à leur somme.

Soit un point matériel M, animé d'une vitesse v et soumis à l'action de deux forces P et P' dont les directions coïncident. D'après le principe de l'indépendance des effets des forces, le mouvement du point M s'obtient en composant le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse t?, avec les mouvements que chacune des forces P et P' communiquerait au point M à partir du repos, si elle agissait seule.

Or, la force P, agissant seule à partir du repos, communiquerait suivant sa direction un mouvement rectiligne uniformément varié ayant une accélération (p. De même, la force P' agissant seule à partir du repos, communiquerait suivant sa direction un mouvement rectiligne uniformément varié ayant une accélération 9'. Ces deux mouvements sont des mouvements d'entraînement, et on peut les considérer comme des mouvements de translation.

L'accélération du mouvement résultant est la résultante des accélérations des mouvements composants. Or, l'accélération du mouvement rectiligne et uniforme est nulle. Donc, l'accélération résultante est égale à la somme des accélérations 9 et ç', et elle a la môme direction que <p et cp'. Mais, il est évident qu'il existe une force R (n° 198), ayant la même direction que $, qui, appliquée au point M lui communiquerait l'accélération <I>. Cette force R »» m$ peut donc être substituée aux deux forces P et P', et, par conséquent elle sera leur résultante.

D'ailleurs, puisque l'on a :

$ - ? + 9', on a aussi :

et, par suite (n° 198),

207. Théorème. — Si plusieurs forces F , P', P",... agissent simultanément sur un même point matériel, suivant la même direction^ et dans le mÂme sens^ leur résultante est égale à leur somme^ dirigée suivant la mène droite et dans le même sens.

On a donc :

La démonstration de ce théorème est évidente.

208. Théorème. — Deux forces égales et de sens contraires appliquées à un même point matériel, se font équilibre.

En effet, d'après le principe de l'indépendance des effets des forces, l'accélération totale communiquée au point M sera la somme algébrique des accélérations dues à ces forces. Or, ces accélérations étant égales et de sens contraires, l'accélération totale résultante sera nulle, c'est-à*dire que si le point était en repos, il restera en repos malgré la présence des deux forces. Donc, deux forces égales et de sens contraires agissant simultanément sur un même point matériel en repos se détruisent. Il résulte encore de là que deux forces égales et de sens contraires agissant simultanément sur un point matériel en mouvement n'altèrent pas le mouvement de ce point. Ces forces se font équilibre, ou bien le point est en équilibre sous l'action de ces forces.

Remarque L — Il est évident, d'après cela, que l'on peut sans rien changer à l'état de repos ou de mouvement d'un point matériel, introduire ou supprimer deux forces égales et de sens contraires^ tout comme en algèbre on introduit ou supprime deux termes égaux et de signes contraires. Nous emploierons souvent ce procédé pour simplifier les démonstrations.

Remarque II. — Cette propriété de deux forces égales et opposées de n'imprimer aucun mouvement à un point matériel en repos fournit le moyen le plus commode dévaluer les intensités des forces. Au lieu de comparer les forces par les accélérations qu'elles communiquent à une même masse, on les rapporte à une force bien connue, en cherchant combien il faut réunir de forces égales à celle-ci pour faire équilibre à la force donnée.

209. Théorème. — Si deux forces P et P' agissent sur un point matériel suivant la même direction, mais en sens contraires^ la résultante de ces deux forces est égale en valeur absolue à leur différence^ et elle est dirigée dans le sens de la plus grande.

Soit la force P plus grande que la force P'. Il est évident {n° 206) que l'on peut considérer la force P comme étant la résultante de deux forces, l'une égale à P', l'autre égale à P — P', et agissant dans le même sens que la force P. Nous aurons donc ainsi, au lieu des deux forces P et P', les trois forces P', — P' et P — P'. Or, les deux forces P', égales et de sens contraires, se font équilibre. Il nous reste donc la force P — P' agissant dans le même sens que la force P, et qui sera, par conséquent, la résultante des forces proposées.

210. Théorème. — Si plusieurs forces agissent suf* un même point matériel suivant une même direction y les unes dans un sens, les autres en sens opposé, leur résidtante est égale à la somme algébrique de toutes ces forces, et elle agit suivant la même direction, et dans le sens des forces qui donnent la plus grande somme arithmétique.

Soient P, P', P",... les forces qui agissent dans un même sens, Q, Q', Q'\... les forces qui agissent suivant la même direction, mais en sens contraire des premières. Il est facile de voir (n^ 207) que toutes les forces P de même direction et de même sens se composent en une force unique :

de même direction et de même sens que les forces P.

De même, toutes les forces Q de même direction et de même sens, se composent en une force unique :

Le système proposé se réduit donc à deux forces R' et R" de même direction et de sens contraires. Or, ces deux

forces se composent (n^* 209) en une résultante unique R de même direction que ces forces, égale à leur différence et de même sens que la plus grande. Si donc nous supposons R' > R", nous aurons :

ou bien :

ce qui démontre le théorème énoncé.

Remarque. — Si la somme algébrique 2P — 2Q est nulle, la résultante R est nulle, et les forces données se font équilibre.

211. Composition des forces concourantes. — Deux forces P, P', appliquées à un même point matériel se composent en une seule, qui est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui représentent les forces Pet F'.

Soit M un point matériel (fig. 64), soumis aux deux forces P et P' ; d'après le principe de l'indépendance

des effets des forces, pour ^^^' ^^' obtenir le mouvement du

point M, il faut composer le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse que le mobile possède à un instant quelconque avec les mouvements que chacune des forces P et P' lui communiquerait si elle agissait seule à partir du repos. Or, la force P, agissant seule sur le point M à partir du repos, lui

communiquerait suivant sa direction un mouvement rectiligne uniformément varié, ayant une accélération cp. De même, la force P', agissant seule sur le point M à partir du repos, lui communiquerait suivant sa direction un mouvement rectiligne uniformément varié, ayant une accélération 9'. Ces deux mouvements qui jouent le rôle de mouvements d'entraînement doivent être considérés comme des mouvements de translation. Or, nous savons (n*" 161) que, dans ce cas, l'accélération totale du mouvement résultant est la résultante des accélérations totales des mouven^ents composants. Mais, l'accélération du mouvement rectiligne uniforme étant nulle, il s'ensuit que l'accélération totale $ du mouvement résultant est la diagonale du parallélogramme construit sur les accélérations MB =- cp, MC « ?' des mouvements correspondants aux forces P et P'. Nous savons aussi (n^ 198) qu'une force unique R, ayant pour direction celle de l'accélération $, et pour intensité mO, imprimerait exactement le même mouvement. Cette force R peut donc remplacer les forces P et P' ; elle est, par conséquent, leur résultante. Mais, les forces P, P', R, dirigées suivant les accélérations 9, ^\ $, sont proportionnelles à ces accélérations ; par conséquent, les droites qui représentent ces forces en grandeur et direction forment une figure semblable à celle que forment les droites qui représentent les accélérations 9, 9' et $. Donc, MR est la résultante de MP et MP', et l'on en conclut le théorème énoncé. Ce théorème est connu sous le nom de parallélogramme des forces.

212. Conséquences. — Le triangle MPR nous donne facilement les relations suivantes :

P : P' : R =» sîn (P', R) : sin (P, R) : sin (P, P'),

R« « P2 + P'« 4. 2PP' CCS (P, P').

Ces formules permettent de déterminer R et les angles (P, R) et (P', R), lorsque Ton connaîtra P, P' et l'angle (P,P').

213. Cas particuliers. — r Si les forces P, P' sont perpendiculaires entre elles, on a les relations :

P = R ces (P, R);

P' = R sin (P, R), R« «= P2 4- p'2.

2'' Si P ^^ P', le parallélogramme devient un losange, et l'on a :

R = 2P CCS J (P, P').

Remarque. — Deux forces agissant sur un même point matériel, ne peuvent avoir une résultante nulle, que si elles sont égales et directement opposées.

214. Réciproquement, une force R étant donnée, on peut toujours la remplacer par deux autres forces dont les directions sont données dans un même plan avec la force. Il suffira de construire un parallélogramme dont MR sera la diagonale, et dont les côtés sont donnés en direction. C'est le problème de la décomposition (Tune force en deux autres situées dans un même plan avec la force donnée.

En particulier, si les deux directions données sont rectangulaires, nous aurons, en désignant par R la force donnée, par X, Y les deux composantes, et par a l'angle de R avec la composante X :

X = R CCS a,

Y « R sin a.