Remarque. — La force R étant la résultante

des deux forces P et P', il est évident que, si aux deux forces P, P\ nous en joignons une autre R', égale et directement opposée à R (flg. 65), les trois forces P, P', R' se

feront équilibre. Il résulte de là et des relations précédentes (n** 212) que Ton a :

P : P' : R' = sin (P', R') : sin (P, R') : sin (P, P*).

Donc, pour que trois forces œncourantes se fassent équilibre^ il faut : P que ces trois forces soient situées dans un même plan ; 2^ que chacune (Telles soit propor* tionnelle au sinus de Vangle compris entre les directions des deux autres.

216. Théorème. — La résultante de trois forces concourantes non situées dans un tnême plan est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du

parallélipipède construit sur

Fiff 66

^' * les droites qui représentent

ces trois forces.

Soient les trois forces P, F, P" appliquées au point M. En composant d'abord (flg. 66) les deux forces P et P' par la règle du parallélogramme, on trouve que la résultante de ces deux forces est donnée en grandeur et en direction par la droite MR', et en composant cette

dernière avec la force P", on obtient la résultante R des trois forces proposées. Or, il est évident que cette résultante R n'est autre que la diagonale du parallélipipède construit sur les droites qui représentent les forces données.

Cas particulier. — Dans le cas où les forces P, P', P" sont perpendiculaires entre elles, le parallélipipède est droit, et l'on a :

p == R cos (P, R),

P' = R ces {P', R),

P''«Rcos(P",R), R« « p2 4- p'2 -I- p"2,

217. Réciproquement, une foi?ce R étant donnée en grandeur et direction, on peut la décomposer suivant trois directions non situées dans un même plan. Il suffira pour cela de construire un parallélipipède dont MR sera la diagonale, et dont les arêtes sont données en direction.

En particulier, si les trois directions données sont perpendiculaires entre elles, nous aurons, en désignant par R la force donnée, par X, Y, Z ses composantes suivant les trois directions, et par a, (3, y les angles de R avec ces directions :

X = R cos a, Y == R ces 8, ' Z = R cos y.

Ces formules nous montrent que les trois composantes sont les projections de R sur les trois directions données.

Remarque. — Il résulte du théorème du parallélipipède que, si trois forces ne sont pas dans un même plan, elles ne pourront avoir une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles toutes les trois.

218. Théorème. — Un nombre quelconque de forces P, P', P"..., appliquées à un même point matériel, se composent en une résultante unique qui est donnée en grandeur et en direction par la droite qui ferme le contour polygonal des forces données.

En appliquant successivement la règle du parallélogramme des forces, on voit qu'il suffit de construire le contour polygonal MP/?'p"R (fig. 67) dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aux forces données. La droite MR représentera en grandeur et direction la résultante des forces proposées. Cette construction a reçu le nom polygone des forces.

219. MÉTHODE ANALYTIQUE. — Etant donné un nombre quelconque de forces concourantes P, P, P",... trouver la résultante de ces forces en grandeur et direction.

Rapportons le système à trois axes rectangulaires

Mir, My, M^ ayant pour origine le point M (fig. 68).

Soient a, (3, y les angles de la force P avec les axes, X, Y, Z, ses composantes suivant les axes ; a', ^', / les angles de la force P' avec les axes, X', Y', Z' ses composantes, et ainsi de suite.

La force P décomposée suivant les axes, nous donne (n^ 217) :

X = P cos a, Y =» P cos p, Z e= P ces Y ;

Fig. 68.

de même, la force P' nous donne :

X' = P' ces a', Y' -= F cos p', Z' =«^ P' ces y' ,

et ainsi de suite.

Or, les forces X, X', X"..., dirigées suivant Taxe des a?, se composent en une force imique, dirigée suivant Taxe des 0?, et égale à la somme algébrique de toutes ces forces (n° 210). Cette force unique est donc égale à IX ou IPcos a, ; de même, suivant l'axe des y, nous aurons une force unique égale à 2Y ou IPcosp, et suivant Taxe des z une force unique égale à 2Z ou IFcosy.

Nous aurons ainsi réduit les forces données à trois forces dirigées suivant les trois axes rectangulaires : ces trois forces se composeront en une résultante unique R, qui sera la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois forces (n** 216). Nous aurons donc :

R -= |/(2X)2 + (2;Y)2 + {2Z)S ou bien :

R « [/(IP cos a}« +(2 P cos p)« + (2P cos y)K (1)

Si nous désignons par a, J, c?, les angles de R avec les axes, les composantes de R suivant les axes seront (n° 217) : R cos a, R cos J, R cos c. Nous aurons donc :

Rcosa — ZPcosa, Rcos&==2PcosP, Rcosc = 2Pcosy ; par suite :

2Pcosa - 2PC0SÛ 2Pcosy .^.

cos a -= — g — , cos J = — g— ^ , cos c = — j^— ^. (2)

Les équations (1) et (2) déterminent la grandeur et la direction de la résultante.

Conditions d'équilibre d'un point matériel libre.

220. Nous avons vu (n'' 204) qu'un point matériel est en équilibre, quand, étant en repos, il reste en repos sous l'action des forces qui lui sont appliquées. On dit aussi que des forces appliquées à un point matériel en. mouvement se font équilibre, lorsque ce point, s'il était en repos, resterait en repos sous l'action de ces forces.

Théorème. — La condition nécessaire et suffisante PQur qu'un point ^natériel soit en équilibre sous l'action d^ plusieurs forces^ est que la résultante de ces forces soit nulle.

Supposons d'abord le point matériel en repos. Je dis que la condition est nécessaire : en effet, les forces données peuvent être remplacées par leur résultante. Le point matériel doit donc rester en repos sous l'action de cette résultante, ce qui ne peut avoir lieu que si cette résultante est nulle. La condition est suffisante pour que le point primitivement en repos, reste en repos sous l'action des forces qui lui sont appliquées : en effet, ces forces pouvant être remplacées par leur résultante, et cette résultante étant nulle, le point sera dans le même état que si aucune force n'agissait sur lui, et, par suite, il restera en repos.

Il est évident que si des forces agissant sur un point en mouvement, ont une résultante nulle, ces forces se feront équilibre.

Cherchons, d'après cela, les conditions analytiques qui expriment Yéquilibre d'un point matériel libre, sous l'action des forces P, P', P"..., qui lui sont appliquées. ,

Il résulte de l'équation (1) (n'' 219) que la condition R = 0, nous donne les trois équations :

2X = 0, 1 2Pcosa =0,

2Y = 0, l ou bien : IPcos p = 0, IZ=0, ) 2PcosY=0.

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes de l'équilibre des forces F, F', F"..., appliquées à un point matéîHel libre,

Rei^iarque. — Si des forces, appliquées à un point matériel libre, se font équilibre, le polygone des forces sera fermé de lui-même, puisque la résultante ou la droite qui ferme le contour doit être nulle. Il est évident aussi que, si l'on change le sens de l'un des côtés, ce nouveau côté deviendra la résultante des autres. Donc, si des forces se font équilibre^ Vune quelconque de ces forces prise en sens contraire est la résultante des autres.

221. Projection des forces. — Une force appliquée à un point matériel étant représentée en grandeur, direction et sens par une droite (n*" 186), la projection de cette droite sur un plan ou sur une droite peut être considérée comme représentant une force, que l'on appellera la projection de la première.

Cela posé, si l'on projette sur un .plan le polygone des forces appliquées à un point matériel, on obtient comme projection un polygone plan fermé. On en conclut que la projection sur un plan fixe de la résultante de plusieurs forces appliquées à un point matériel, est la résultante des projections des forces sur ce plan.

On trouverait de la même manière que, si plusieurs forces agissent sur un même point matériel, la projection de leur résultante sur une droite fixe est la résultante

des projections des forces sur cette droite : cette dernière résultante est la somme algébrique des projections des composantes.

222. On peut d'ailleurs démontrer analytiquement cette propriété que la projection de la résultante sur une droite donnée est égale à la somme des projections des composantes sur celte droite.

En effet, soient d une droite donnée, X, fx, u les angles (qu'elle fait avec les axes, R (a, J, c) la résultante des forces P (a, p, y), P' («', (3', y')... Nous aurons :

cos (d, R) = CCS X CCS a + cos p ces i -f ces u ces c,

d'où :

R cos (rf, R) = R cos a oos A 4- R cos ô cos ^ -f- R cos c cos v^

ou bien, en vertu des formules (2) (n** 21ft) :

R cos (d, R) = cos X (P cos a + P' cos «' '\- ...)

+ cos p tP cos p + P' cos 3' + ...)

+ cos u (P cos Y + P' cos y + ...) « P (cos a cos X + cos p cos fx + cos y cos v) 4- P' (cos a' cos X + cos P' cos /x + cos y' cos y)

-» P cos (P, d) + P' cos (P', rf) + ... — 2PC0S (P, d)y.

ca qui démontre la propriété énoncée.

223. Problème. — Un nombre quelconque de forces étant compliquées à un même point matériel, trouver la

grandeur de leur résultante en fonction des intensités de ces forces, et des angles qu'elles font entre elles.

On sait (n** 219) que les composantes de R sont données par les formules :

R cos a == P CCS a + P' CCS a' + P" ces a" + ...,

R CCS ô = P CCS p + P' ces P' + P" cos P" + ..., R cos c = p cos y + P' cos y' + p" cos y" + ....

Elevant au carré, et ajoutant, en ayant égard aux relations :

COS2a-|-COS*|3 + COS2y= 1,

cos a COS a' + cos p cos P' + cos y cos y = COS (P, P^), etc. il vient :

R2=p2+p'2+p"2 ^.... + 2PP'cos(P,P')+2PP''cos(P,P")+...,

ou bien :

R2 = 2P2 + 22PP' cos (P, P').