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C'est la formule de Laplace.
402. Les deux propriétés de la fonction V que nous venons de démontrer ont été établies en supposant finies
les quantités sous le signe / dans les expressions de
X, Y, Z, ainsi que dans la fonction V, c'est-à-dire que nous avons supposé le point attiré à Vextérneur du corps attirant. Cette hypothèse nous a permis de diifé-
rentier sous le signe / . La formule de Laplace est évidemment encore applicable dans le cas d'un corps creux, le point attiré étant dans la cavité.
Lorsque le point attiré fait partie du corps attirant, la quantité sous le signe / devient infinie pour tous les points situés dans le voisinage du point attiré, et alors on ne peut plus opérer comme nous l'avons fait. Avant d'examiner ce cas, nous devons chercher la fonction potentielle d'une couche sphérique homogène.
Considérons donc une couche sphérique ho^nogène comprise entre deux sphères de rayons r et r + dr, de même centre 0. Soient P le point attiré (fig. 138). QP = ? sa distance au centre 0, 6 l'angle que fait avec
la droite OP le rayon
Fig. 138.
qui va du centre à un point M de la couche, <p l'angle que fait le \ plan MOP avec un plan fixe passant par OP, et u la distance MP.
En désignant par p la densité de la couche, et par dv l'élément de volume au point M, on a, pour la fonction potentielle :
r dm __ f pdv .
ram __ r
en remplaçant dv par sa valeur :
dv = r^ sin drd^ rfy,
il vient :
sin0
les limites de 9 sont et ît, celles de y sont et 2k. En effectuant l'intégration relative à.cp, on a :
TT
V= 27:pr^dr f
sinÔ
dO.
Pour effectuer cette dernière intégrale, nous devons la transformer. A cet effet, observons que l'on a :
î^2 = r2 + ^2 — 2r;cos 9,
d'où :
tidu == Wsin9(W,
et, par suite.
2 K^rdr
Pour déterminer les limites de u, nous devons distinguer deux cas, suivant que le point P est extérieur ou intérieur à la sphère de rayon r.
Dans le premier cas, les limites de tt sont / — r et l + r, et il vient :
2nardt' /• Ar:ar*dr M
en désignant par M la masse de la couche. Donc, la fonction potentielle de la couche sphérique pour un point extérieur est la même que si la masse de la couche était concentrée à son centre.
Dans le second cas, les limites de u sont r — Z et r H- /, et il vient :
Donc, la fonction potentielle de la couche sphérique pour un point intérieur est constante^ c^est-à-dire indépendante de la position du point P.
403. Considérons maintenant un point P, situé à Vintérieur d'une sphère homogène de rayon r, et à une distance du centre égale à l.
Nous pouvons imaginer la sphère décomposée en couches homogènes concentriques. Pour les couches dont le rayon est moindre que l, le point P est extérieur; nous devrons donc leur appliquer la formule (1) (n° 402), et elles nous donneront une fonction potentielle égale à :
^Jr^dr^^ndK
Pour les couches dont le rayon est plus grand que /, le point P est intérieur; nous appliquerons pour ces couches la formule (2) (n° 402), et elles nous donneront une fonction potentielle égale à :
4npfrdr « 2îTp (r^ — fi).
La fonction potentielle de la sphère entière est donc :
. Cela posé, si l'on veut calculer l'actioii de cette sphère sur le point P, on remarquera que les couches dont le rayon est plus grand que l n'exercent aucune action sur le point P, tandis que les couches dont le rayon est moindre que l agissent comme si elles étaient concentrées au centre de la sphère. La résultante des actions est donc une force égale à :
et elle est dirigée suivant la droite OP ; elle a pour composantes suivant les axes :
— f Trp/am' . (a — a), — I npfdm' . (ô — P), — | Tip/Km' . (c — y),
en désignant par a, ô, c les coordonnées du point P, et par a, (3, y les coordonnées du centre de la sphère.
Il est évident que ces composantes sont égales au produit de fdm' par les dérivées partielles de la fonction potentielle V, prises respectivement par rapport aux coordonnées a, &, c du point P : il suffit, pour s'en assurer, d'observer que l'on a :
404. Ceci établi, nous allons démontrer que, dans le cas où le point attwé par un corps de forme quelconque est situé à Vintérieur de la masse agissante, les composantes de la force sont égales aux dérivées partielles de la fonction potentielle V, multipliées par fdm\
Supposons la densité p constante, et décomposons la niasse agissante en deux parties, savoir : une petite sphère, à Tintérieur de laquelle est situé le point P, et la partie restante. Soient Vj, V^ les fonctions potentielles de CCS deux parties, X,, X^ les composantes suivant l'axe des œ des actions qu'elles exercent sur le point P. Nous aurons, puisque le point P ne fait pas partie du second corps (n** 400) :
d'autre part, on a aussi (n** 403) :
