V . rdr n ^ , a' — r

On a alors le théorème suivant :

Théorème. — L'action d'une couche sphérique homogène infiniment mince sur un point situé à Vintérieur de cette couche est nidle.

On peut encore énoncer cette propriété de la manière suivante :

Propriété. — En quelque point que Von place la 9nasse dnV à Vintérieur de la couche sphérique, elle est en équilibre.

395. Pour obtenir l'action exercée par une couche sphérique ^épaisseur finie ^ comprise entre deux sphères de rayon R' et R, il suffira d'intégrer l'expression précédente entre ces deux limites, et nous aurons alors :

Ar.ofdm' } 1 7:p (R3 — R'3)/'rf?^^' .

^Tzo/am r =■ — '-^ — / r'rfr ==

Or, |7rp (R^ — R'^) est la masse de la couche sphérique, et nous aurons le théorème suivant :

Théorème. — L'action exercée par une couche sphérique d'épaisseur finie sur un point extérieur est la même que si la masse entière de cette couche était concentrée à son centre.

396. Pour ol)tenir l'action exercée par une sphère entière sur un point extérieur, il suffit de faire R' = 0, et il vient :

On a alors le théorème suivant :

Théorème. — L'action exercée par une sphère homogène sur un point extérieur est la mêm£ que si la masse entière de là sphère était concentrée à son centre.

397. Si Ton veut déterminer V action exercée par une sphère sur un point placé à Vintérieur de cette sphère^ on divisera cette sphère en deux parties : l'une intérieure sera une sphère de rayon R' sur la surface de laquelle le point serait placé ; l'autre sera une couche sphérique d'épaisseur R — R'. L'action de cette dernière partie sur le point, qui sera intérieur à cette couche, est nulle. L'action totale de là sphère sur le point se réduira donc à l'action de la sphère de rayon R' sur le point rfm'; mais, ce point étant sur cette sphère, on a : a = R', et, par suite, l'action de cette sphère sur le point est :

I Trp/ofm' . R' ;

ce sera l'action exercée par la sphère entière sur le ix)int intérieur.

Remarque. — Les résultats précédents s'étendent au cas d'un corps composé de couches sphériques et concentriques, dont la densité varie de Vune à Fautre suivant une loi quelconque, mais de telle sorte que cette densité reste constante dans toute l'étendue d'une même couche.

En effet, si le point M est à l'intérieur du corps, la résultante des actions de chaque couche élémentaire étant nulle, l'action totale est aussi nulle. Si le point M est à l'extérieur du corps, chaque couche élémentaire agit comme si toute sa masse était concentrée à son centre; par conséquent, l'action du corps entier sur ce point sera la même que si la masse totale de ce corps était concentrée à son centre.

398. Il est facile de calculer Faction mutuelle de deux sphères extérieures Vune à Vautre. Soient R et Rles rayons de ces deux sphères, a la distance des centres : Tous les points de la première sphère attirent une

molécule de la seconde comme s'il étaient réunis au centre. On peut donc remplacer la première sphère par un point d'une masse égale à |7rpR\ De la même manière, l'action exercée . par la seconde sphère sur ce point est la même que si la masse -3- Tip'R'^ de cette seconde sphère était concentrée à son centre. Par conséquent, l'action mutuelle des deux sphères est :

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Deux sphères hoynogènes (ou composées de couches homogènes dont la densité varie â!une couche à Vautre) s'attirent comme deux molécules de mêmes masses que ces sphèr-es et placées à leurs centres respectifs.

La même propriété existe pour deux sphères creuses composées de couches homogènes.

Attraction d'un corps de forme quelconque

sur un point matériel.

399. Considérons un corps de forme quelconque, rapporté à trois axes rectangulaires. Soient a?, j/, z les coordonnées d'un point quelconque de ce corps, p la densité en ce point, /le coefficient d'attraction, c'est-àdire l'action exercée par l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance. L'action exercée par un élément dm de ce corps sur un élément rfm\ dont les

coordonnées sont a, &, c, situé à une distance r de l'élément dm sera :

fdmdm^

Or, on a :

dm = ùdxdydz^ et, par suite, l'action de dm sur dm* est :

f^dm\dxdydz

Les composantes de cette action suivant les axes sont :

ffdm* dxdydz , — - — ,

/prfm' dxdydz . ' ~ ,

f^dm* dxdydz . — - — .

Par suite, les composantes de Faction totale du corps sur l'élément dm' sont :

^r ^1 ^ r r r? 'V — *) dxdydz les intégrales se rapportant au volume entier du corps.

Il est évident qu'il suffira de changer les signes dans le cas de la répulsion.

400. Si le point où se trouve l'élément rfm' est extérieur au corps, il est facile de s'assurer que les composantes X, Y, Z sont finies, et qu'elles s'expriment au moyen des dérivées partielles de la fonction :

V — Z*^^ ^ f f r ^dœdydz

prises par rapport aux coordonnées a, 6, c de l'élément dm\ En effet, on a :

r « lAx — ar 4- -y — àf -t- (5 — c,* ;

par conséquent,

à^ r r r ? ^^^ " ^' dxdydz dTi ^J J J 7^ ' '

dv r r rp(fj — b) dœdvdz

db ^J J J '

d\ r r f p^z — c) dœdydz IJ^J J J H •

d'où :

X = fdm' ^ , Y « fdm' -J^ , Z = fdm' -^ .

— 4Si2î --

Cette fonction V est la fonction polentielle de l'élément par rapport à la masse attirante. On conclut de ce qui précède le théorème suivant :

Théorème. — Les composantes de Tattraction dCun corps sur un point extérieur sont exprimées au moyen des dérivées partielles de la fonction potentielle par rapport aux coordonnées du point attiré.

Par conséquent, le calcul se réduit à la détermination de la fonction V.

401. Propriété. — Dans le cas oie le point attiré est extérieur^ la somme des dérivées partielles du second ordre de la fonction V est nulle.

En effet, on a :

S = fff?dxdydz . ^ (^) ,

Par conséquent,

+ S + S =///?'^^'^2/rf^j^(V^)

da« ' db^

db\ r» }'^ dc\ r» /f

Or,

-1 (tz±\ « A 4. 3(y-&)»

d'où :

et, par suite,

On représente d'ordinaire le premier membre par la notation AV, en posant :

et alors on a, pour le cas du point attiré extérieur,