Problème. — Une barre pesante et l
est appuyée sur un plan horizontal et contre Varète d'un
mur vertical. Trouver la position if équilibre.
Soient AB — 21 la longueur Fig. 141. ^g j^ jj^^g ^gg j4jj^ p gpjj
poids appliqué en son milieu G, R et R' les réactions aux deuïpointsAetC, et posons:
GC -= œ, et OC — /*.
Transportant toutes les
forces au point pris pour
origine, nousaurons les équa-
A mR tions d'équilibre suivantes :
— fAR + R'sina — fiR'cosa. = 0,
R — P + R'cosa + pR'sma — 0,
R (i + a;)cosa — Pafcosa — R'^sina +/*R'Acosa = 0.
D'ailleurs, on a :
h-^ [a + x) sin a.
Ces quatre équations serviront à déterminer R, R', a et X. Des deux premières on tire :
(H-H')sin«
en remplaçant R, R' et x par leurs valeurs dans la troisième, il vient :
pA « i (1 -f f**) sin* a co:- a,
équation qui servira à déterminer l'angle «.
410. Problème. — Une havre ^pesante et homogène s'appuie sur deux plans inclinés dans le plan vertical AOB. On dema7ide la position d'équilibre, en n'ayant pas égard au frottement.
Soient AB -= 21 la longueur de la barre (flg. 142),
P son poids appliqué en
Fig. 142.
son milieu G, a et a} les inclinaisons des deux plans, et désignons par 6 l'angle inconnu BAm, par R et R' les réactions des deux plans.
Transportant toutes les forces au point À pris pour origine, nous aurons les équations suivantes :
R sin a — R' sin a' = 0,
R ces a + R' CCS a' — P =« 0, VI CCS e — R' . 2/ CCS (a' - e) = 0.
Des deux premières on tire :
P sin a'
sin (a -j- a)
Psina
sin (a + a)
La troisième nous donne alors :
tg9»iiri(=''-«*
2 sin a sin a'
Remarque. — Si l'on résout le même problème en tenant compte des frottements f/R et /xR' en A et B (flg. 143), on trouve les équations suivantes :
R sin a — R' sin a' + /aR' ces a' + fxR ces a = 0,
R ces a + R' CCS a' + f* R' sin a' — pt R sin a — P = 0,
PicosG — R'.2/cos(a' - 0) — aR'.2isin(a' — 0) = 0,
lesquelles serviront à déterminer R, R' et 0.
411. Problème. — Une barre pesante et homogène ACB appuie son extrémité inférieure A contre un plan vertical, repose en C sur un point fiœe^ et porte un poids Q à son eœtrénité supérieure B. Trouver la position d^équilibre sans avoir égard au frottement.
Fi
Soit AB = 21 la longueur de la barre (fig. 144); posons CD »= ft, et AC = a?, et désignons par R et R' les
réactions en A et C et par « rinclinaison de la barre.
En prenant pour origine le point A nous aurons les équations d'équilibre suivantes :
R — R'sina = 0,
R'cosa - p — Q==0,
PZcosa — R'a7 + Q.2icosa=0.
On a, en outre,
& = a? ces CL.
Des deux premières on tire :
COSÇt
, R = (P-|-Q)tga;
substituant dans la troisième, et remplaçant x par sa valeur, il vient :
CCS a
on a aussi :
2lb^
Cosa
Cas particulier. — Si la barre homogène est sans poids, on a : P = ; d'où :
On voit que, dans ce cas, la valeur de œ est indépendante de Q.
412. Problème. — Une barre pesante et homogène est maintenue par une extrémité en un point A d'un plan horizontal^ autour duquel elle est libre de tourner ^ et s'appuie obliquement par Vautre extrémité B contre une paroi verticale. Sa projection BC sur le plan vertical fait un angle cp avec la ligne de terre. On demande la valeur limite de Vangle cp pour laquelle le frottement eji B empéche?^a la barre de glisser.
Soient P le poids de la barre (fig. 145) appliqué en
Fig. 145.
son milieu G, AB = i sa longueur; posons AC = a, et Vangle BAC = «. Nous aurons :
BC = |/^* — a», et CCS a = I , le triangle BAC étant rectangle en C.
Prenons le point A pour origine de trois axes rectan i gulaires. La réaction au point A peut être décomposée en trois composantes X, Y, Z suivant les axes ; au point B introduisons la réaction Y' normale au plan vertical. Nous aurons en B un frottement y-Y suivant une direction perpendiculaire à BC, et qui aura pour composantes s'jivant les axes des x et des z :
X' = pY' sin ip, Z' = /uiY' cos ç.
La barre étant en équilibre sous l'action des forces P, X, Y, Z, X', Y, Z', nous aurons à écrire les six équations d'équilibre. Les trois premières nous donnent :
X — pY sin ç « 0, . (1)
Z + /jiY'cos(p — P«0. (3)
Pour obtenir les équations des moments, nous transporterons toutes les forces au point A. Or, la force X' = pYsinîp, appliquée en B, peut être transportée en D, en introduisant dans le plan des zx un couple pY'sinç . BD = iiY' \/V — a^ . sin« ç, qui sera négatif; la force /ixYsincp, appliquée en D, ou en C, peut être transportée en A, en introduisant dans le plan des xy un couple négatif qui aura pour moment jjtYsinç . AC =- pY . asin(p.
La force Z' == pYcos<p, appliquée en B, ou en D, donne, en la transportant en C un couple négatif dans le plan des zx , dont le moment est pY cos cp . CD = fxY' |//* — à^ . cos ^ cp ; et, en la transportant de C en A, elle donne un couple positif dans le plan des yZy dont le moment est f/Y . a cos (f.
La force Y', appliquée en B, nous donne, en la transportant en D un couple positif d ans le pl an des yz, dont le moment est T . BD «= Y' [/ L^ — a^sincp, et en la transportant de D en C ou en A, elle donne dans le plan des œy un coupl e positif dont le moment est r . CD « Y' 1/ e — ar . costp.
La force P, appliquée en G, peut être transportée en /; en engendrant un couple positif dans le plan d es zx^ dont le moment est P . £/*= P . i CD =| P |/F"=^ . cos 9, et en la transportant de /* en A, elle donne un couple négatif dans le plan des yz, dont le moment est P.A = P.|a.
Les trois équations des moments sont donc :
fxY' a cos cp + Y' X/t" - a* sin cp — \?a ^ 0, (4) — fxY' j/f^ — «2 sin2 (p — pY' \/l^ — a* cos^ 9
+ ^P V l'^ — a^cos 9 =* 0, (5)
— pY'asiiKp + Y'j/^'' — «^cosç = 0. (6)
L'équation (6) nous donne :
a tg cp = ^ — -^ = tg a,
équation qui détermine l'angle 9.
De l'équation (5) on tire :
__ P cos (P
et, en vertu de (1) et (2) on a :
. Psin29
X « p.Y' sm ff = — - — ^
Enfin, l'équation (3) nous donne :
P (1 + sigg y)
Fig. 146.
Remarque. — Il est facile de s'assurer que l'équation (4) est une conséquence des autres.
413. Problème. — Un corps pesant est appuyé sur un plan incliné, et sollicité par une force Q qui le maintient en équilibre. On demande de trouver Vintensité de la force Q,^ et la pression du corps sur le plan, en tenant compte du frottement,
Y Supposons d'abord la force Q parallèle au plan
incliné (fig. 146), et admettons que le corps soit sur le point de glisser de A vers B. Désignons par N la réaction normale du plan, et par F la force de frottement dirigée de B vers A, et égale àpN.
Décomposons les forces suivant deux axes respectivement parallèle et perpendiculaire au plan incliné, et nous aurons les équations d'équilibre :
N — Pcosa = 0,
Q - Psina — pN = a
On en tire :
N « P cos a,
Q = P (sin a + fjL cos a).
Fig. 147.
2"" Supposons, en second lieu, que la force Q f^sse
un angle P avec le plan incliné (fig. 147), et décomposons les forces comme dans le premier cas.
Nous aurons les équations d'équilibre :
N + Qsinp — Pcosa = 0, QcosP — Psina — pN = 0.
On en tire :
P (sin a + |tji cos a) eus ^i -t- /y. Jjiii fi
P cof^ (g + P) eus p + a siii 3 '
Remarque. — Nous avons supposé que le corps glissait le long du plan incliné en montant ; s'il glissait en descendant, il suffirait de changer le signe du coefficient fx.
414. Levier. — Le levier est un solide de forme invariable mobile autour d'un point fixe C, appelé point d'appxd (fig. 148), et sollicité par deux forces, une résistance Q, par exemple un poids à soulever, et une puissance P.
Proposons-nous de tromper les conditions d" équilibre ^ et la charge sur le point d^appui. Désignons par R
la réaction du point fixe C. Il faut évidemment pour l'équilibre que les trois forces P, Q, R soient dans un môme plan, puisque la résultante de P et Q doit être égale et directement opposée à la réaction R du point fixe. Donc, la puissance et la résistance doivent être dans un même plan passant par le point d*appui.
Fig. 148.
Il faut, en outre, que l'on ait la relation :
Pp = Qq,
c'est-à-dire que les moments des deux forces par rapport au point d*appui C soient égaux.
Quant à la réaction R du point d'appui, elle est donnée par la formule :
R2 « p2 + Q2 )- 2PQ cos S,
ou bien :
R2 «= P2 4- Q2 — 2PQ cos (a + P),
€n désignant par a et (3 les angles des deux forces P et Q avec l'horizontale passant par le point C.
Pour déterminer la direction de R, nous désignerons par G l'angle qu'elle fait avec l'horizontale, et nous aurons les deux équations d'équilibre :
P sin a — R sin 6 + Q sin p = 0,
P cos a — R ces 9 — Q ces (3 = 0,
d'où l'on tire :
. Q P sin g + Q sin [3 ^ Pcosa — Qcosli'
formule qui détermine l'angle 9.
