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456 GHAPITRB HUITIÈME.

II résulte de ces Tableaux :

i*" Que la formule (3) pourra toujours être substituée à la formule exacte, sauf une erreur ne dépassant pas 8,9 pourioo, etqui serait même inférieure à 3,4 pour 100 pour des valeurs de 9 moindres que la moitié de l'angle droit;

7? Que la formule (4) entraînera une erreur maximum de

7,1 pour 100 au plus quand on aura simultanément — >o,20

et -^<Co,ooi, ce qui aura lieu généralement dans la pratique.

Pour les arcs peu surbaissés, la formule (4) sera même plus exacte que la formule (3).

139. Autre démonstration de la formule (3). — Les formules (i) et (a) ayant éié démontrées (n° 136) d'une manière relativement simple, en les cherchant sans passer parle calcul de la valeur exacte, il convient de faire maintenant une chose analogue pour la formuIe(3),qui exprime la variation de flèche due à la dilaiaiion dont le coefficient est t. Cette valeur se compose, comme on l'a déjà dii, du terme r/et de l'effet produit par la poussée Q, lequel a pour expression (n® 136)

0' r' , ,dX j

— j (asino-hCOSa-O-^rfa,

ou, en mettant pour — r- sa valeur Qosina,

- I (asin-j -f- cosa — i) sinarfa;

ainsi donc

A/= t/h '- I (asino -h cosa — i) sinarfa.

L'intégrale se calcule par approximation, dans le cas de petits angles a et 9, en faisant

sina = a, sinor=9, cosa = i \

il vient alors

1 (asinç -f- cosa — i) sinar/a

et, par suite,

On peut, dans ce résultat, remplacer Q par sa valeur approxi malive (n» 128)

i5*^ on peut faire aussi

par ces substitutions, la valeur de A/devient

ce qui s'accorde exactement avec la formule (3).

Mais celte démonstration, plus rapide que la première, a Tinconvénient de n'être exacte que pour les arcs surbaissés; de plus, elle ne permettrait pas de constater le degré d'exactitude des formules simplifiées.

140. Applications numériques de la formule (4). — On trouve dans les Annales des Ponts et Chaussées (i854, i" semestre) deux Mémoires, l'un de M. Jules Poirée, l'autre de MM. Desplaces et Collet-Meygret, où sont consignés des faits propres à vérifier les formules du n° 138. D'après les nombres fournis par ces ingénieurs, le pont du Carrousel, à Paris, so relèverait de o^jooi i pour une augmentation de 1° C; ce relèvement deviendrait respectivement o"',ooo83 et o™, 001 35 dans le pont de la garo de Charenton et dans celui de Tarascon. Les trois ponts étant supportés par des arcs en fonte, il faut, dans les formules (3) ou (4), faire T = 0,0000111, nombre donné par M. Péclet et autres auteurs, d'après

458 CHAPITRE BUITlfeMB.

le major général anglais Roy. On a d'ailleurs :

Au pont du Carrousel. ... ia= 47'")67î /= 4",90, d'où & = 6o",4; de Charenton. . . 2rt= 35"',oo, /= 4'",oo, d*où p = 4o'°,3; de Tarascon 2« — 59'",99, /= 4">95, d'où p = 93",4.

Par suite, la formule ( 4 ) donnera :

Pour le pont du Carrousel A/— o",ooio5;

de Charenlon ^f = o*", 00070;

de Tarascon A/ = o", 00162.

On voit que le calcul donne un résultat à peu près conforme à l'expérience, en ce qui concerne le pont du Carrousel; mais que, pour les deux autres, il y a des erreurs relatives, en plus ou en moins, de i5à 20 pour 100. Une telle différence, quand il s'agit de calculs de cette espèce, ne saurait avoir de bien graves inconvénients dans la pratique. Il faut d'ailleurs se rappeler combien les qualités physiques de la fonte sont susceptibles de varier d'après sa provenance et les circonstances particulières de la fabrication ou du moulage, ce qui laisse quelque incertitude sur la valeur du coefficient t. En outre, la mesure directe des relèvements A/ ne paraît pjis susceptible d'une grande précision, et le peu de concordance des résultats d'observations (dont nous avons seulement donné les moyennes) en est une preuve suffisante. Ainsi, au pont de Charenton, le relèvement par degré centigrade a varié depuis o"*,ooo36jusqu'ào™,ooi33, c'est-à-dire presque du simple au quadruple. Cela tient sans doute au jeu des assemblages, qui n'est pas toujours le même, à la difficulté de fiaire des observations sur un pont livré à la circulation et aussi à la difficulté de connaître exactement la température d'un arc, laquelle n'est ni égale à celle de l'air ambiant ni peut-être constante dans toutes les parties de la pièce.

^ II. — Pression maximum produite par un poids uniformément réparti suivant la corde entière et par les dilatations linéaires indépendantes des charges.

141. Préliminaires. — Le lecteur qui aura suivi avec aliention les considérations que nous avons développées dans les Chapitres IV et V sera en mesure de résoudre tous les problèmes auxquels peut donner lieu l'élude de la slabtlité el de la déformation des pièces prismatiques quand la fibre moyenne est une courbe plane avant comme après la déformation el que les forces exlérieures agissent dans son plan.

Dans le cas oii, indépendamment de ces conditions, la section serait constante, la fîbre moyenne circulaire, et oii les obstacles opposés au mouvement de Tare seraient simplement deux appuis au même niveau, soutenant les deux points extrêmes ainsi rendus invariables en position, on saura de plus calculer, au moyen des Tables, la poussée provenant de poids quelconques et des dilatations linéaires dues à d'autres causes, telles que la température. Ainsi donc, en admettant ces dernières conditions, que Ton rencontre souvent dans rétablissement des ponts en métal, les forces inconnues seront promptemenl déterminées, et, par suite, l'élude de la stabilité sera facile; elle se fera par l'application directe des méthodes exposées au § II du Chapitre IV, qui permettront de se rendre un compte détaillé de reffei des charges permanentes, d'épreuve ou accidentelles.

Parmi tous les problèmes qui se présenteront, dans de telles circonstances, à l'ingénieur s'occupant de la rédaction d'un projet de pont, il en est un qui nous a paru mériter une mention spéciale, à raison des applications fréquentes qui pourront en êlre faites : nous voulons parler de la détermination de la pression maximum â laquelle se trouve soumise la matière de l'arc sous l'action de la charge d'épreuve. Nous allons nous en occuper maintenant; mais, pour simplifier, nous admettrons encore quelques hypothèses qui ôteronl peu de généralité à la solution, car elles sont en général satisfaites, au moins approximativement. Voici ces hypothèses : i° la section de l'arc a la même hauteur en dessus et en dessous de l'horizontale qui passe par son centre de gravité; '.>,*» chaque portion de la fibre moyenne supporte un poids proportionnel à sa projection sur la ligne des appuis, y compris le poids propre de la pièce, c'est-à-dire que la charge est uniformément répartie suivant l'horizontale; 3** la section sera supposée homogène; à défaut de l'homogénéilé, le coefficient d'élasticité maximum appartiendra aux fibres les plus éloignées de l'horizontale du centre de gravité; 4** on regardera la température comme étant celle de la pose et l'on négligera l'effet peu sensible du calage, ou, en d'autres termes, on laissera de côté pour le moment la pression produite par la dilatation dont le coefficient est T, sauf à y revenir spécialement un peu plus tard.

46o CUAriTRE nUITlÈSIE.

Nous conserverons les notations employées dans le § 1 cidessus; en outre, nous appellerons :

H la distance d'un élément quelconque de Tibre à l'axe de flexion, c'est-à-dire à la ligne passant au centre d*élasticité de la section où se trouve l'élément de fibre considéré, et perpendiculaire au plan vertical de la fibre moyenne;

7i la hauteur totale de la section, mesurée parallèlement au rayon de courbure de la fibre moyenne, de telle sorte que

les limites extrêmes de u seront -f--/i et A;

E le coefficient d'élasticité longitudinale, variable avec u,

dont la valeur maximum pour u^zzL-h sera désignée par E,.

142. Maximum de la pression longitudinale par unité de surface dans une section donnée. — Toutes les forces extérieures qui agissent depuis une section jusqu'à i'extrémilé peuvent, puisqu'elles soni dans le plan de la fibre moyenne, se réduire à une résultante dont nous désignons parN la composante normale à ladite section et par X le moment relativement à l'axe de flexion. Nous ne nous occupons pas de reffort tranchant ou composante parallèle au plan de la section (n** 81). Dès lors il est facile de reconnaître que, dans la section considérée, il se développe (n°* 64- et 09} :

1° Des tensions ou pressions longitudinales par unité de surface, répondant à un allongement ou raccourcissement

relatif — et ayant pour valeur en chaque poml — 5

2** Des tensions et pressions longitudinales dues à la flexion