XE
priori que — — représente une tension ou une pression sui-
vant qu'on prend des points situés d'un côté ou de l'autre de l'axe de flexion; les points pressés seraient du côté de l'extrados ou de l'intrados de l'arc, suivant que X serait positif ou négatif.
Comme les effets de la force N et du couple X doivent être superposés, on voit que, pour les points où X tendrait à produire une pression, il y aura nécessairement une pression représentée en valeur absolue par
NE ^ \En
e er*
le signe du second terme étant choisi de manière à le rendre
positif, c'est-à-dire de manière à additionner les valeurs abso-
. , ^ NE ^XEw ,
lues des deux termes et ± • Au contraire, pour
les points où X, agissant seul, produirait une tension, il faudrait prendre la différence de ces mêmes valeurs absolues, et il n'y aurait en réalité tension que si la seconde l'emportait sur la première.
Dans les données de la question, nous avons admis que le coefficient E atteignait son maximum E, en même temps que n
h atteint sa plus grande valeur absolue, qui est - des deux côtés
de l'axe de flexion. Le maximum de pression dans une section
NE, donnée sera donc la somme des valeurs absolues de — - et
Vf A
de — ^ ; le maximum de tension, s'il y a tension dans cer- 2er^
tains points, sera la didcrence des mêmes quantités. Ainsi la tension maximum, quand elle existera, sera nécessairement inférieure à la pression maximum et assez ordinairement petite relativement à cette pression. D*un autre côté, quand il
462 CBAPITRE ULITIÈUE.
s'agît de corps résistant à des forces qui les fléchissent, on s'impose assez ordinairement la même limite pour les pressions et les tensions compatibles avec la stabilité. C'est pourquoi nous nous bornerons à chercher le maximum maxi-morum des pressions par unité de surface, ou le maximum, relativement à la variable a, de la somme des valeurs abso-
, NE. , . X/iE. ,. ,
lues et db 9 ou bien de
quantité que nous désignerons dorénavant par la lettre g.
143. Signes que prend le moment X. — Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de faire cesser l'ambiguïté de signe et de chercher celui des deux qu'on devra prendre suivant la position de la section à laquelle se rapporte l'expression précédente. Or, si dans l'expression de X, ci-dessus rappelée (n" 1V2), on remplace sin'9 — sin'a par l'expression égale cos'a — cos'q, et si de plus on poseQ=^n,2p'a=n,2p'psino, n étant un nombre qu'on sait calculer, on aura
X = -/>'p'(cos'a — cos=9) — -inp'p^ sino (cosa— coso)
ou bien
X== ~ p'fj^ (cosa — coscp) (cosa H- coso — ^nslno).
Celle expression devient nulle pour a = cp, comme on devait s'y atiendre, puisque nous avons supposé (n® 93) les réactions des appuis appliquées aux centres d'élasticité des sections extrêmes. Elle s'annulera encore quand on aura
cosa = i\n sino — coso = cosai;
mais cette solution ne répondra véritablement à un point de la fîbre moyenne que si l'angle ai, déterminé par réqaation ci*dessus, est réel et plus petit que 9. Il faut donc poser les
deux condiiions
4/isin9 -- cos9<i>
4/isin9 — cosç ^coso.
De la première on déduit
4w sino <i -f- coso,
. I + ros© ^ I
n < ~f—. — ^ ou /i < y- — ;
4sinQ ^\^\\^\o
n doit donc être au-dessous de 7 — -, ce qui a toujours
4tangi9 * J
lieu, car nous avons fait voir (n" 131) qu'on a
rJ
et, par suite,
-7-?i ou bien n <
^p'a 4/ "4langi9
Il n*y a donc à s'occuper que de la seconde condition, qui
peut S écrire
// > - COlQ.
En supposant n supérieur à -cot9, le moment X devien-
dra nul en un point tel que H [Jig. 67), qui correspond à un angle a, compris entre zéro et 9, c'està-dire que la courbe BÏF, lieu géomé- ''*e- 67trique des centres de pression dans les sections successives, aura deux points, B et H, communs avec la fibre moyenne CAB. S'il en est ainsi, on reconnaît, en outre, que X sera positif entre a — o et a = a,, tandis qu'il sera négatif depuis a = a, jusqu'à «=^^9; en effet, le fac- >' leur cosa -h COS9 — 4'*sin9, qui donne : son signe à X, décroît quand a est au «> contraire croissant; donc, puisque ce facteur est nul pour «=:«,, il est positif pour les valeurs plus petites de a et négatif pour celles qui sont au-dessus.
464 CHAPITRE UUITlfcMB.
En vertu de ce qui a été dit au n" 14>2, on devra donc prendre, pour la formule donnant la pression maximum dans une seclion déterminée :
Depuis a — o jusqu'à a = a, ... q — -^( — Nn j \
is %= a, jusqu'à a = y... . r/= -1^— N— — Q
Depuis
Si Ton avait au contraire n < - cot9, ^^'^ voudrait dire que,
même en faisant a — 9, X serait encore positif, et, par suile, qu'il le serait dans toute l'étendue de Tare. On n'aurait donc à étudier que l'expression
(7 = — — iN H •
11 est facile de se rendre compte, dans ces deux cas, de la position occupée par la courbe des pressions. En effet, X n'esi autre chose que le moment de la force N appliquée au centre de pression par rapport au centre d'élasticité dans la même section. Donc, d'après le sens connu de N et le sens positif adopté pour X, on peut conclure que, si X est positif, la courbe des pressions passe au-dessus de la fibre moyenne, el au-dessous si X est négatif.
Nous sommes maintenant en mesure de traiter la question qui fait l'objet principal de ce paragraphe. 11 y aura deux cas
principaux à distinguer, celui où l'on a n^-cotcp et celui
où l'on a n<< -cotQ, car nous venons de reconnaître que la
plus grande pression dans une section déterminée est parfois exprimée d'une manière différente quand on passe de l'un de ces cas à l'autre.
ik^. Pression maximum dans toute l'étendue de ia pièce quand le rapport n est plus frrand que -cotç. — La plus grande pression dans une seciion donnée se représente alors
par les formules suivantes (n"* 143] :
Dans la porlion CH de la pièce [fg, 67 ) . . . ^7 = — ^ f — N 4- 1—' | ,
Dans la portion HB r/= ?i ^-N - ^\ .
En remplaçant N et X par leurs valeurs en fonction de a et ordonnant par rapport à cosa, après avoir mis i — cos'a et I — cos*(p au lieu de sin'a et sin'9, on aura
' r= ^1^ |^(-- I -+- |-ij cos'a - (- n- ^^}j in sin9 cosa
H- I -I- ~ coso (4'isin9 — coscp) K
9 " -^ X-y-^ïjA cos'a -t- l ' -^ ^J ^^ sin 9 cosa
ph
~ C0S9 (4/isin9 — ros9)
Il s*agit d'avoir le maximum maximorum de ces deux expressions quand a varie dans les limites entre lesquelles elles s'appliquent, savoir entre zéro et a, (n° IW) pour la première et entre a, et 9 pour la seconde.
A cet effet, nous remarquerons d'abord que, si l'on représente q et 9' par les ordonnées de deux courbes dont les valeurs de cosa seraient les abscisses, toutes les ordonnées seront positives dans les limites ci-dessus fixées. En outre, ces courbes seront des paraboles ; celle qui représente q tournera sa concavité vers le haut et la seconde la tournera vers le bas. On le voit facilement en se rappelant que r' est plus petit
que -7- (n°51], d'où résulte l'inégalité -r— , >t' Comme, d'un ^4 (\r* li
autre côté, h ne peut être qu'une assez petite fraction de p, il
s'ensuit que ^ — i et a fortiori y-^^ —1 sont des quantités
positives. Donc le coefficient de cos*a est positif dans la première équation, tandis qu'il est négatif dans la seconde; donc les deux paraboles ont bien la situation qui vient d'être définie.
