j . . j ' — COS9 I

ou bien, a cause de psxnor a et de : = tang-9,

Quant à la valeur correspondant à a = ai ou au point H iJ'g' ^7)» ïious pouvons ne pas nous en occuper ici, car nous la retrouverons parmi les valeurs de ç'; le point H appartient aussi bien à la portion BH qu'à la portion CH de la fibre moyenne.

La parabole représentative de q' tournant sa concavité vers Taxe des x et ayant ses ordonnées positives, il est clair que la tangente horizontale donnera le maximum, si elle correspond à une valeur de cosa comprise entre les limites cosa, et COS9; sinon le maximum devra répondre à une de ces limites. Cherchons d'abord la condition pour que la première hypothèse se réalise. Pour cela, soit a, Tangle a qui répond à la tangente horizontale dont il s'agit : cet angle devra satisfaire à l'équation

dq'

cl cosa ' ce qui donne, en effectuant la dérivation,

~ (' "^ 47^) ^^^""^ -^ (' -^ Jt^) '^ sincp =: o

ou bien

cosa, = n sin9

ir^

Cette valeur sera admissible quand on aura

cosaj<!cosai et cosai>COS9,

DÉFOHMATION ET RfiSISTANGB DBS ARCS CIRCULAIHES. 4^7

c'est-à-dire, en remplaçant cosai et cosai par leurs expressions

. • nsinç ^- <;4'*sin9 — coscp,

on ^

Réunissons tous les termes de la première inégalité qui contiennent le facteur n; alors elle devient

2r* /isin9 F >coscp,

et, ainsi écrite, elle est une conséquence évidente de la seconde. Celle-ci donne

soit

fc\ - ' . / asin© \ (6) /i > - C0I9 / I -h — ^— , 1

ah 2sin<p -:-

Le premier cas principal est caractérisé par la relation w>-colcp; mais celle inégalité n'entraîne pas forcément

Tinégalité (6), parce que -cot9 s'y trouve multiplié par un

facteur plus grand que i. Il y a donc lieu de subdiviser en deux cas secondaires le cas dont nous nous occupons ici.

i^ La condition exprimée par Vinégalilé (6) est satisfaite. Le maximum de pression dans l'étendue HB répond alors à a = a,. On le trouve par la substitution de cosa, dans l'expression générale de q'\ mais, pour éviter un calcul compliqué,

468 CHAPITRE HUITltMB.

on remarquera que, ^ étant un nombre assez grand, la valeur

de cosa),

oh '-^ ^ cosaj=:/ism9 r'

diffère peu de 2/isin9, car il n'y a pas d'erreur bien notable à supprimer le terme i au numérateur et au dénominateur de la fraction. D'ailleurs, quand on se trouve aux environs d'un maximum, on peut, sans l'altérer sensiblement, prendre la valeur de la fonction qui correspond à une valeur de la variable peu éloignée de celle qui donne le maximum. Substituant en conséquence insxnc^ à la place de cosa dans

l'expression de a' y et faisant dans le résultat 0^=—. — ? on

trouvera pour la valeur de q\ du maximum en question

q,— ^ -t(w — coto)

2° L'inégalité (6) n'est pas vérifiée. Dans cette hypothèse, la parabole représentative de q' n'a pas, dans la partie que nous devons considérer, de tangente horizontale. Le maximum, dans celle partie, répond donc à l'une des deux limites a^=^ oLx ou a — o. On sait que le cosinus de a, est donné par la relation (nMW)

Substituant successivement celte valeur et cosç dans q\ qui