COEFFICIENT 6 POUR LA SECTIO
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no 3.
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2, Go
Ce Tableau montre que, pour résister à une charge uniformément répartie suivant l'horizontalo (sous les autres conditions du n° 152) la section n** 3 sera la meilleure quand <p sera au plus égal à 0,26 d'angle
droit; depuis — ^ = 0,28 jusqu'à -^ = 0,34, ce sera la section n° 2 qui
donnera lieu à la moindre pression, et au-dessus de -^ = o,34 |la section n° I prendra le premier rang. La différence de résistance est très-
486 CHAPITRE HUlTlfeMB.
marquée pour les arcs voisins du plein cintre, quand —^ se rapproche
TT
(le 1 ,00; elle est moins sensible pour les arcs très- surbaissés et disparait
pour ainsi dire entre les limites -^ =0,26 et -^ =0,32, correspondant
au surbaissement de — et de tt environ.
Le Tableau ci-dessus indiquant que pour les arcs fortement surbaissés on augmente la résist^incc en diminuant la hauteur de Tare (dont la section conserve, bien entendu, son aire constante), il y a de rinlérêt à chercher la hauteur qui donnerait le résultat le plus avantageux. Nous
2 9 avons fait cette recherche par tâtonnement pour la valeur ~ =0,12,
non plus au moyen des Tables, dont les limites deviennent trop restreintes, mais en nous servant directement des formules du n** 144. Voici les résultats de cinq essais dans lesquels on s'est d'ailleurs contenté de chercher ^ à o,o5 près :
1* - = 0,02; — = — (0,02)- = o,oooo333; rapport de la poussée
au poids de la travée n = 2,624. La valeur de 6 est donnée par la formule ( 5 ) du n° iAi; on trouve ç = 6 , J.
2* -~o,oi5: — = — (o,oi5)'= 0,00001875; 71=2,632. Le plus
grand maximum se trouve par la môme formule, qui donne 6 = 6,».
3** -=o,oi; —7 = — (0,01 1^ = 0, 00000833: /i = 2,637. La valeur
a ^ ^ cr VI ' '
de 6 est toujours donnée par la formule ( >) ; elle est 0 — 6,2.
4* - = o,oo5: -r-, = — (o,oo5}' = 0,00000208: n = 2,640. On trouve a « 1 2
encore par la même formule ^ = 6,4.
5° - = 0,001; —5 — — (0,001)' ~ o,ooooooo833; n = 2,G4i. Dans ce a ^ (r \'i ' ' '
cas, la formule (7) conduit à un résultat plus grand que la formule (5).
savoir 6= 10, 4-
En conséquence, dans la question qui nous occupe, le rapport le plus favorable de la hauteur à la demi-ouvierture serait voisin de 0,01 ou o,or5, nombres auxquels correspondent des valeurs de 6 sensiblement égales. On voit que ces valeurs sont à peu près les 0,7 de celle qu'on obtiendrait en
faisant - =0,10, et, les sections restant constantes ainsi que la charge, a
les pressions maxima seraient dans le même rapport. On voit, en outre, que, si l'on diminue trop le rapport - , on finit par rendre 6 plus grand
DfiFOHMATION ET RÉSISTANCE DBS ARCS CIRCULAIRES. 4^7
qu'il ne Tétait pour - = o,io. A la limite, en faisant // = o, on aurait
0 = 00, car on a /•' = -r^''» ^*^^ résulte —j = -y-j quantité qui devient infinie quand h s'annule et qui rend également infinis les seconds membres des formules (5) et (7) (n° 144).
156. Réflexions sur les exemples qui précèdent. — Il convient d'insister sur ce qu'il y a de remarquable et d'inattendu dans les résultats que nous venons d'obtenir. Les formules de résistance des pièces droites et de nombreuses expériences ont montré que, à section et à charges égales, les pièces rectangulaires résistent d'autant mieux qu'elles ont une plus grande hauteur transversale. Il en est tout différemment dans une pièce cburbe, et quelquefois l'augmentation de la hauteur de la section est nuisible à la résistance. Souvent elle est indifférente et ne produit pas de changement sensible.
On n'oubliera pas les données admises dans la solution de ces problèmes. Nous nous sommes occupé exclusivement de la résistance à une charge uniformément répartie suivant l'horizontale, sous certaines conditions (n° 132). S'il y avait, en quelques points, des poids isolés assez considérables, les résultats pourraient se trouver modifiés. Ainsi nous nous sommes assuré (par un calcul que nous supprimons, pour ne pas étendre outre mesure cette discussion) que, si l'on considérait seulement la résis-
tance à un poids suspendu au sommet, ~ étant égal à 0,12, et toute
autre charge étant négligée, le rapport - = «, 10 serait celui qui produirait la moindre pression parmi tous ceux essayés au n° 1d5. L'examen d'autres circonstances que nous avons omises, notamment l'étude des effets produits par les chocs et les vibrations, conduirait peut-être aussi à des nombres un peu différents.
D'ailleurs il est des doutes qui peuvent naître de la théorie elle-même. Sans parler des hypothèses fondamentales, dont il est permis de douter, puisque ce sont des hypothèses, nous avons admis (n° 93) une répartition uniforme de la réaction des appuis sur les sections extrêmes : or, pour une section de petite hauteur, comme nous en avons trouvé au n° 15o, un léger écart aurait une influence assez grande sur la résistance. Quoi qu'il en soit, le fait théorique mis en lumière par les exemples du n° 155 est digne de fixer l'attention des constructeurs, et des expériences sur ce sujet seraient à désirer.
11 serait difficile d'expliquer a priori d'une manière complète ces résullale, qui se présentent ici comme corollaires de calculs passablement compliqués. Seulement, quand on en cherche la trace dans les calculs antérieurs, voici ce qu'on remarque.
483 CUAPITRB HUITlfcMB.
r Le déplacement d*un point appartenant à la fibre moyenne d*anf pièce courbe, par l'effet d*une force, est composé de deux parties :
Celle qui est due à la variation des angles de contingence;
Celle qui est produite par Textensibilité de la fibre moyenne.
Lorsque, sans altérer les charges et l'aire de la section, on change seulement la forme de celle-ci, la seconde partie reste constante, mais la première varie en raison inverse du carré du rayon de gyration, car il y a d'autant plus de résistance à la rotation relative des sections (|u'elles ont un plus grand moment d'inertie.
2° Un arc circulaire à section constante, placé dans les conditions du (Chapitre VII, étant uni()uement chargé de poids, on diminue sa poussée quand on augmente le moment d'inertie (ou le rayon de gyration) de sa section, sans en altérer la surface. En effet, on a vu (n" 123) que la poussée s'obtient en multipliant ce que nous avons appelé sa partie prin-
ripale par le coefficient- --,? qui diminue évidemment quand raug-
mente, tandis que la partie principale ne dépend pas de cette ligne. En examinant les choses de près, on reconnaît que la partie principale serait la poussée qui se produirait si Ton pouvait faire abstraction des variations de longueur de la fibre moyenne ; les coefficients > et V s'introduisent quand on en tient compte. Or, d'après la remarque précédente, ces variations prennent une importance relative d'autant plus grande que le rayon de gyration r est plus considérable, toutes choses égales d'ailleurs : l'altération de la poussée principale doit naturellement alors être plus profonde.
3** Supposons un arc à fibre moyenne parabolique chargé de poids uniformément distribués suivant l'horizontale et symétrique par rapport à la verticale du sommet. Soient// le poids par mètre courant horizontal, xa l'ouverture, /la fièche. Appliquons à chaque extrémité une force
verticale ascendante p'a et une force horizontale ^—r dirigée du côté de
la verticale du milieu. Les choses étant ainsi, on reconnaît aisément qae les forces extérieures, agissant depuis une extrémité jusqu'à un point quelconque de la fibre moyenne, ont un moment nul par rapport à ce point, et l'on en conclut que les angles de contingence ne varient pas par le déplacement de l'arc; do telle sorte que, si l'on négligeait la compres-
sibilité de la fibre moyenne, les dimensions ne changeraient pas et les
p'd' extrémités resteraient fixes. Si l'on supprime les forces p*a et ^-r-
appliquées à chacun des points extrêmes, mais qu'on rende ceux-ci in\^-
riables, il est clair, d'après cela, qu'ils fourniront les réactions //a et^-rr j
DÉFORMATION hT RÉSISTANCE DES ARCS CIRCULAIRES. 4^9
puisque ce sont elles qui sont capables de produire rimmobilité de ces points. La môme conséquence s*étend à un arc circulaire très-surbaissé, parce que cet arc peut être confondu avec une parabole. Mais elle cesse d'être admissible pour la parabole comme pour le cercle dès que le rayon de gyration de la section transversale est un peu grand, parce que la corapressibilité de la fibre moyenne devient une cause relativement importante de déformation, et qu'on ne peut plus la négliger.
4** Quand la poussée d*un arc parabolique, ou circulaire et à petite
flèche, est égale à - — , le moment des forces étant toujours nul, comme
on vient de le dire, la courbe des pressions se confond avec la fibre moyenne; donc la pression se répartit uniformément sur toutes les sections, ce qui est favorable à la résistance. Puisqu'une augmentation du rayon de gyration fait décroître la poussée, elle tend aussi à écarter de plus en plus la courbe des pressions de la fibre moyenne, ce qui produit dans chaque section une répartition inégale de la force et tend à augmenter la pression maximum.
Mais il existe dans les formules ( 5) et (7) du n° 1 4i un facteur -j dans
lequel le carré r' du rayon de gyration entre en dénominateur; racornissement de /• tend donc aussi, d'un autre côté, à diminuer la pression maximum. Ce sera l'une ou l'autre de ces deux tendances qui l'emportera, suivant les cas, et quelquefois elles se contre-balanceront. Lorsque r varie seul et va en croissant, la hauteur h de la section et toutes les autres quantités restant constantes, nous avons vu (n" 154) que la pression maximum est décroissante. Mais si h croît proportionnellement à r, de
telle sorte que le rapport —7 soit en raison inverse de la première puissance de /'au lieu de la seconde, l'exemple du n° iSrJ montre que c'est alors la première tendance qui domine et qu'il est avantageux d'avoir un petit rayon de gyration, ou, si l'on veut, un petit moment d'inertie. Toutefois l'avantage cesserait, comme on l'a vu, en prenant des sections trop aplaties, parce que la coïncidence de la courbe des pressions avec !a fibre moyenne n'est qu'approximative, et le petit écart qui existe entre les deux courbes a une très-grande influence quand la hauteur de la section est très -petite.
157. Vérification de la stabilité sous la cliarççe d'épreuve. — Quand on aura déterminé la pression maximum qui a lieu sous l'action de celle charge, il suffira de s'assurer que ce maximum est au-dessous de la limite que l'expérience fait connaître. Si Ton se donne toutes les dimensions de la section excepté une, ou si Ton se donne une figure semblable à la section, la
4gO CHAPITRE HUlTlftHB.
condition dont nous venons de parler surOra pour en compléter la détermination.
Cette vérification de la stabilité, ne se rapportant qu'à un des systèmes de charges qui peuvent peser sur la pièce, ne doit sans doute être regardée que comme une première indication. Pour avoir une certitude plus complète, il faudrait considérer tous les systèmes de charges et prendre, dans chaque section, celui qui serait le plus défavorable à la résistance; il faudrait, en un mot, répéter pour les pièces courbes ce que nous avons fait au n^ 29, pour une poutre posée sur deux appuis, ou dans la troisième partie du Cours, pour les poutres à plusieurs travées solidaires. Mais ce serait une discussion trop compliquée pour être faite autrement que sur des cas particuliers. Nous avons donné dans les Chapitres précédents les indications générales qui peuvent être utiles à l'ingénieur auquel un projet de pièce courbe donnerait occasion de l'entreprendre.
§ V. — Résistance des vases cylindriques soumis à la pression uniforme d'un gaz; épaisseur qn*il convient de donner asz parois d'une chaudière à vapeur.
158. Résistance d'une chaudière à profil exactement circulaire. — Supposons un vase de longueur indéterminée, dont
la matière est comprise entre deux cy-
^^' lindres circulaires concentriques. La
^. :r^ . -^ Jig' 68 en représente le profil iransver-
//^' ^\ sal. A l'intérieur agit une pression con-
\\ stante de p kilogrammes par unité de
B surface; à Texlérieur une pression p'.
\ /y On néglige toutes les autres influences
^\. ^^ y^' déformairices, telles que le poids propre
^^^^T^^ du vase, la réaction des appuis, l'action
des bases du cylindre, etc.
Les choses étant ainsi, on voit tout d'abord que la fibre moyenne du profil ACBDA'C'B'D', considéré comme pièce courbe, doit rester circulaire après l'action des pressions p et p^ comme avant, car, tout en étant symétrique par rapportau diamètre A'B', ce diamètre restera encore axe de symétrie
DÊFORBIàTION et résistance DBS ARCS CIRCULAIRES. 49 ^
dans l*état final, et par suite sera encore normal à la fibre moyenne; comme on peut en dire autant de toute autre ligne passant par le centre primitif 0, on voit que toutes les normales de la fibre moyenne définitive concourent en un même point, propriété qui n'appartient qu'aux normales d'un cercle. Les sections normales telles que AA' ou BB' n'éprouvent pas de mouvement de flexion, car chacune d'elles reste dans son plan primitif; elles sont par conséquent soumises à une tension ou pression uniforme.
Pour en connaître la valeur, il faut chercher Tintensilé de la résultante des pressions exercées sur la surface concave ACB et sur la surface convexe A' C B' , résultante qui doit être équilibrée par les actions moléculaires des sections AA' et BB'. Or la résultante se trouve aisément, quand on se rappelle ce théorème d'Hydrostatique, savoir que, si une pression constante par unité de surface est appliquée normalement sur un contour fermé, la résultante des pressions sur les divers éléments superficiels est alors nulle. Si l'on appelle d le diamètre AB, d' le diamètre A'B', / la longueur du cylindre perpendiculairement au plan de la figure, en considérant ACB et A'C'B' comme des contours fermés (y compris les plans AB, A'B'), on voit que la pression totale supportée par le demicylindre ACB est égale à celle que supporterait le plan AB, soïi h pld, et que la pression supportée par A' C'B' est de même p'ld\ La résultante est donc
±l[pd — p'd'}z:^y.
Elle tendra à opérer la séparation des deux moitiés du vase en AA' et BB' si la pression intérieure l'emporte ; elle serrera ces deux moitiés l'une contre l'autre dans le cas contraire.
Soit maintenant c l'épaisseur W' = -[d — rf'); soit en-
core R la plus grande force longitudinale par unité de surface à laquelle on veuille soumettre la matière du vase. La force N est équilibrée par une pression ou tension uniforme exercée sur la surface 2AA'/ ou /(rf— rf) oua/c; donc, pour obtenir l'épaisseur strictement nécessaire, on devra poser
±i{pd-p'd')
49^ CHAPITRE HUITlfcME.
soit, à cause de d' — rf-f- 2c, d'où Ton lire Tinconnue
Le double signe dz doit êire remplacé par -h si p est plus ^rand que p' et par — si p' est plus grand que p.
La quantité II, lorsqu'il s'agit de chaudières à vapeur en liMe, est grande relativement à p\ £n effet, si nous supposons
il •.>85oooo, ce qui n'atteindrait généralement pas — de la
lorce de rupture, et si d'un autre côté nous raisons/^'=:io33oo, limite répondant à une pression de 10 atmosphères, en dessous de laquelle on se tient d'habitude, 11 en résulterait encore K>27/?'. On écrira donc simplement, en désignant par/?'' la valeur absolue de la différence p — p' (quantité qu'on appelle aussi la pression effective),
Lorsque la pression effective p' est exprimée en atmosphères, n étant le nombre d'atmosphères correspondant, on A p'' =:ioZ3on; substituant cette valeur dans c, et faisant en outre U = ?.85oooo, on trouvera
c rrr 0,00l8/l(/.
L'ordonnance royale du 22 mai 1843 (') prescrivait de déterminer la moindre épaisseur des chaudières à vapeur, dans le cas où la pression intérieure est dominante, par la formule
(llj c rrr O,00l8/lrf -I- 0,003.
L'excédant de 3 millimètres donné par celte formule a pour but de pourvoira l'usure de la chaudière et aux circonstances secondaires dont la théorie ne tient pas compte.
C) Aujourd'hui abro(;éR. L'épaisseur des chaudières autres que celles de> l)ateaux a vapeur n'est plus soumise à aucune réglcmcDlation administrative.
Quant aux chaudières ou tuyaux h vapeur pressés du dehors en dedans, Tordonnance précitée portait qu'on devait leur donner une épaisseur plus grande et en outre les munir d'armatures. Une instruction minislérielle du 17 décembre 1848 exigeait que, dans ce cas, l'épaisseur de la tôle fût une fois et demie celle que donne la formule (11). Elle recommandait d'ailleurs, comme armature, des anneaux en fer forgé concentriques avec le tuyau à renforcer. Pour justifier ces prescriptions, on peut dire d'abord que, si p l'emporte, la matière est comprimée au lieu d'être tendue, et que la tôle résiste moins bien aux pressions qu'aux lensions; en outre, un cylindre circulaire supportant extérieurement une pression uniforme est pour ainsi dire en état d'équilibre instable, car, si par une cause accidentelle le profil s'est un peu aplati, de manière à se rapprocher d'une ellipse, l'aplatissement s'augmentera par l'effet de la pression, tandis qu'il diminuerait par l'elfet d'une pression intérieure dominante. Or un très-faible écart de la forme circulaire a pour résultat de mettre en jeu la flexion, de donner lieu à une répartition inégale des forces moléculaires, et enfin d'exiger une épaisseur plus grande pour résister convenablement. C'est ce qu'on va voir par la solution du problème ci -après.
159. — Résistance d*une chaudière à profil faiblement elliptique. — Soit ABA'B' [fig. 69) le profil transversal tnoyen de la chaudière dans la forme j.. ^ j. définitive que lui a donnée Taclion du gaz. Pour fixer les idées, nous supposerons la pression intérieure dominante, et nous désignerons par p l'intensité de la ,.
pression eifeciive rapportée au *' " Vi ^
mètre carré. La courbe ABA'B' / \
est une ellipse peu différente d'un ---^-----^
cercle dont les axes principaux *^''
sont AÂ?, BB'; nous poserons ÀA' = 2a et BB'= aez y'i — e% 6 étant la quantité (ici très-petite) qu'on appelle excentricité de Vellipse. Imaginons que la chaudière soit coupée en deux par le plan AA' et prenons une portion ayant pour longueur
494 GHAPITRB HUITlfcHB.
l'unilé, suivant la perpendiculaire au plan de la figure. Nous aurons ainsi une pièce courbe, dont ABA', par exemple, serait la fibre moyenne, et dont il faudra vérifier la résistance.
Il est avant tout nécessaire de connaître les actions qui s'exercent dans le plan de séparation des deux moitiés ABA', AB' A', ou, en d'autres termes, quelles forces il faut supposer exercées dans ce plan pour pouvoir enlever AB'A' et ne conserver que la moitié supérieure du profil. On voit d'abord que dans le joint A les réactions égales et contraires des deux moitiés Tune sur l'autre sont deux forces verticales, car il faut qu'elles soient à la fois dirigées suivant la même ligne et symétriques par rapport à AA'. Leur intensité est d'ailleurs pa, parce que la résultante des pressions exercées sur la surface courbe ABA' est égale à la pression exercée sur le plan AOA' ou à ipa et que les réactions en A et A' sont les mêmes. Toutefois, nous ne connaissons pas d'avance le point d'application de ces réactions; pour les considérer comme appliquées sur la fibre moyenne elle-même, il faut en même temps joindre à chacune de ces forces un couple fx, produit par le déplacement de leur point d'application. Donc enfin la pièce courbe ABA' doit être regardée comme soumise :
ï° Aux pressions exercées par le gaz sur les différents éléments du cylindre ABA';
2<» A deux forces dont l'intensité est pa, dirigées de haut en bas (si la pression intérieure domine ) et appliquées suivant la tangente à la fibre moyenne, en A et en A';
3" A deux couples [x, — ^, appliqués dans les sections extrêmes, en A et A'.
Pour déterminer p., on exprimera que la rotation relative des sections B et A est nulle. Or, si l'on prend un point C sur le quart d'ellipse AB, la pression du gaz sur CA étant la même que sur la ligne brisée CDA qui a les mêmes extrémités, le moment fléchissant au point C sera
équation dans laquelle j^ CD, x = 01) sont les coordonnées de C par rapport aux axes principaux de l'ellipse. En réduisant,
DÉFORMATION BT RÉSISTANCE DBS ARCS CIRCULAIRES. 49^
on trouve
D'ailleurs l'équation de Tellipse sera
r^-h'i — e^|^'— /7'll
et l'on en lire donc aussi
La rotation relative de la section faite en C et de la section infîniment voisine séparée de la première par un arc ds de la fibre moyenne sera, sauf un facteur constant, Xr/5, et, puisque la rotation relative des sections faites en B et A doit être nulle, il faudra qu'on ait
l'intégrale étant prise dan§ l'étendue totale de l'arc AB. On posera donc, en appelant L la longueur de cet arc,
~ [)i^ j X' (h - - p t-d'* L -f- ;JL L rz:: O.
fx^ds est le moment d'inertie de l'arc AB relativement à l'axe des j, ou bien L multiplié par le carré du rayon de gyration; 01, comme l'arc AB diffère très-peu d'un quart de cercle, le carré
du rayon de gyration sera sensiblement égal à - a' (n^'âS,/). Donc
- pz^a^L wî'a'L -h u.L z- o.
et, par suite,
lj.=:p)a'e',
valeur qui, substituée dans X, donne
X— -pz-^ix^ — (i
4g6 GUAPITRB HUITIÈME.
On voit par cette expression que le moment fléchissant X est d'abord négatif aux environs du point B, où il a pour
valeur —jpa^e}; qu'il décroît ensuite en valeur absolue et
devient nul pour x =:—=:> ce qui correspondrait exactement
au milieu de Tare AB si cet arc éiait identique avec un cercle; enfin, qu'après s'être annulé, X croît en valeur absolue et
devient égal à jpà^i^ pour a: = «. Le signe de X montre que
dans les environs de B la courbure augmente, parce que la rotation relative de deux normales consécutives, ayant lieu dans Je sens de Oy vers Ox, tend à augmenter leur angle; le fait contraire se produit en A. Donc la pression du gaz tend a amoindrir l'ellipticité du profil. Nous arriverions à une conclusion directement opposée si la pression extérieure dominait. Soient maintenant c l'épaisseur de la chaudière et E le coeflicient d'élasticité longitudinale de la matière qui la compose. La pièce courbe dont la fibre moyenne est ABA' aura pour section transversale un rectangle dont les côtés seraient cet i; la dimension c étant celle qui se trouve placée perpendiculairement à Taxe de flexion, le rayon de gyration de la section
transversale par rapport à cet axe sera cl/ — (n® 22,/), dans l'hypothèse d'une matière homogène, et le moment d'inflexibilité correspondant aura pour valeur — Ec* (n* 20). Donc
i*angle ^ du mouvement de flexion entre deux sections infiniment voisines devra satisfaire à la relation [n** 6^)
X = -LEc4' 12 as
qui donne
, i2.\(is
et, attendu que la fibre la plus éloignée de Taxe de flexion s*en trouve à la dislance -c, cette rotation ^ donne lieu à un maxi-
DÉFORttÀTlON ET RÉSISTANCE DBS ARCS CIRCULAIRES. 497
mum de pression ou tension exprimé par —-^ ou par — y •
