VALEURS

d'atmosphères Ê4.AL A

i** Ca

s où la pression effective est à

teinté rieur.

o.ooa

i,ii

2° Cas ou la pression effective est à

l'extérieur.

Ij95

o,oi4

Un exemple suffira pour bien faire comprendre l'usage de ce Tableaa.

DÉFORMATION ET RÉSISTANCE DES ARCS CIRCULAIRES. 5o3

Soient donnés d = i™, n = 2, s] = 0,01 ; ce dernier nombre, en vertu de

la relation s5 = — (o^ — ^J, suppose une différence proportionnelle

de o,oo5 seulement entre les deux axes primitifs. Avec ces données, on trouve dans le Tableau

X = 1 ,26 pour le cas de la pression effective à l'intérieur, X = 2,71 pour le cas de la pression effective à l'extérieur;

on a d'un autre côté

donc on devrait adopter pour épaisseur

I ,a6 X 3""",6 H- 3""", soit 7""", 5 dans le premier cas, 2,71 X 3'""', 6 -f- 3'""', soit la'^'^jS dans le second cas.

L'ordonnance de i843 et Tinstruction ministérielle de 1848 auraient donné pour ces deux épaisseurs respectivement 6"™, 6 et 9""", 9.

On voit par cet exemple combien l'existence d'une petite excentricité primitive rend •défavorable le cas où la pression dominante agit extérieurement.

On peut enfin se demander quelle serait la tension ou pression maximum, en se donnant d'avance l'épaisseur, ainsi que ej, d^ /i, mais faisant agir la pression effective successivement en dedans et en dehors. Conservons, par exemple, les valeurs ci-dessus attribuées à ej, d^ w, et supposons que la chaudière ait une épaisseur de o™,oio. L'application des formules (i3) et (14) donnera d'abord, pour le carré de l'excentricité définitive :

j'= 0,0066, dans le cas de la pression intérieure, z^ -^ 0,0207, ^ians le cas de la pression extérieure;

substituant ensuite ces valeurs dans l'expression

pd 'ipiPz} •2 c 8 c'

de la tension ou pression maximum, on trouve pour résultats correspondants les nombres i*'*,54 x 10^ et 2''^,64 x lo**, c'est-à-dire que la tôle supporte une tension de i''^,54 par millimètre carré ou une pression de a''», 64 sur la môme surface, suivant que la vapeur presse intérieurement ou extérieurement. Si l'on n'avait pas tenu compte des effets de

la flexion, le maximum eût été - j soit i''s o3 par millimètre carré dans

un cas comme dans l'autre. Les effets de la flexion sont donc très-marqués pour peu que ej ait une valeur sensible, et ils le sont principalement quand la pression extérieure domine.

5o4 CHAPITRE HUITIÈME. — DÉFORHATION^ ETC.

Conclusion.— En résumé^ les calculs précédents démonirent :

i^ Qu'une excentricité, même assez petite, dans le profil d'une chaudière à vapeur, est très-défavorable à la résistance et entraîne à donner à ce profil une épaisseur notablement plus grande que s'il était exactement circulaire;

2** Que le surcroît d'épaisseur à donner, même en supposant que la tôle résiste à la compression exactement comme à l'extension, serait plus grand dans le cas de la pression extérieure qu'avec la pression intérieure, si d'ailleurs l'excentricité primitive du profil était la même;

3° Que l'épaisseur doit, dans le cas d'une pression extérieure, vérifier une certaine condition [l'inégalité (i5)], indépendante de la résistance de la tôle; on peut regarder la condition dont nous parlons comme exprimant que la chaudière a une roideur suffisante et qu'elle ne s'aplatira pas, comme pourrait le faire une membrane très-mince.

En outre, ces calculs donnent le moyen de fixer rationnellement les épaisseurs dans les différents cas.

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 5o5

§ I. -- Systèmes articulés simples.

160. Définitions ; propriété caractéristique des articulations sans frottement. — On appelle articulation la liaison de deux corps solides en vertu de laquelle ils ne peuvent prendre, relalivennenl Tun à Tautre, que des mouvements de rotation autour d'axes passant par un point géométriquement commun aux deux corps et occupant une position déterminée dans Tun et Taulre. Ce point se nomme le centre d'articulation.

L'articulation est dite cylindrique lorsque Taxe de la rotation relative est une ligne déterminée dans chaque corps; elle est dite sphérique dans le cas contraire. L'assemblage à charnière donne la réalisation pratique de la première espèce d'articulation; il consiste essentiellement, comme on le sait, en deux cylindres circulaires ayant même axe et même rayon, Tun creux et attaché au premier corps, l'autre plein et attaché au second corps. Pareillement, Tarliculalion sphérique est réalisée dans l'appareil qu'on nomme assemblage à genou, consistant essentiellement en deux sphères concentriques et de même rayon, l'une creuse et l'autre pleine, respectivement attachées aux deux corps. Dans la suite de ce Chapitre, nous supposerons constamment désarticulations sphériques; mais, dans certains cas, la solution des problèmes ne cessera pas d'être applicable en les prenant cylindriques. C'est ce qui arriverait notamment si le système considéré était formé de lignes et de forces toutes contenues dans le même plan.

L'articulation sera sans frottement quand les deux corps solides qui sont réunis par elle n'exerceront l'un sur l'autre

5o6 CHAPITRE KEUVIÈHB.

que des forces normales aux surfaces de contact. Dans ce cas, on sait que pour tout déplacement réel ou possible du système la somme des travaux de ces actions mutuelles est nulle; or celle somme de travaux ne dépend que du mouvement relatif; donc on peut conclure que, pour tout mouvement de rotation de l'un des deux corps autour d'un axe passant par le centre d'ariiculalion, le travail total des actions qu'il reçoit de l'autre corps est nul. Et, puisque le travail d'une force dans la rotation d'un solide autour d'un axe est proportionnel au moment de la force par rapport au même axe, nous énoncerons la proposition suivante :

Dans une articulation cylindrique sans frottement, la somme des moments des actions d'un des deux corps sur l'autre par rapport à l'axe de leur rotation relative est nécessairement nulle.

Dans une articulation sphérique sans frottement, lasom,me des moments de ces mêmes actions par rapporta un axe quelconque contenant le centre d'articulation est nulle, c'esi-àdire que ces actions doivent se réduire à une force unique passant au centre d'articulation.

La proposiiion esl évidente dans jle cas d'un assemblages charnière ou à genou; mais la démonstration qui précède a l'avantage d'éire indépendante du procédé employé pour réaliser malcriolleinenl la liaison.

Les systèmes de corps liés par des articulations sans frottement n'exisicni point en réalité et sont une pure abstraction. Cependant la théorie que nous allons donner trouvera son applicaiion dans bien des problèmes pratiques. Ainsi les différentes pièces d'une charpente sont fréquemment reliées entre elles par des assemblages de faibles dimensions, incapables de résister à un elfort notable qui tendrait à produire une rotation autour de leur centre. Il est donc nécessaire que l'équilibre existe en les considérant comme des articulations parfaites, et cette hypothèse ne peut pas conduire à des conséquences très-éloignées de la réalité.

Nous nous proposons principalement, dans ce Chapitre, d'arriver, par l'étude de l'équilibre, à la connaissance des forces que chaque corps, faisant partie d'un système articulé.

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. So^

reçoit de la pari des autres corps qui le louchent. Cela fait, on serait en mesure d'appliquer, pour vérifier la stabilité ou pour chercher les déformations, les théories de la Résistance des Matériaux, exposées dans ce Cours. Subsidiairement, nous établirons diverses propriétés qui présentent un certain intérêt en elles-mêmes.

161. Équilibre d'un corps solide articulé en deux points fixes. —Le corps M [Jig. 70) est articulé sphériquemenien A et en B avec deux appuis fixes, de telle sorte que, l^s ^^^' '^^'

centres d'articulation A et B ne pouvant prendre aucun mouvement, le corps conserve seulement la liberté de tourner autour de la ligne A6. Il est d'ailleurs sollicité par des forces quelconques, désignées généralement par

F. Il s'agit de trouver : i® la condition d'équilibre du système solide M; 2° les réactions des points fixes A et B.

Les forces qui proviennent des appuis devant nécessairement se réduire à deux forces N, N' passant par les points A et B (n° 161), il y aura équilibre entre N, N' et toutes les forces F; et comme, en vertu d'un théorème de Statique élémentaire, un système de forces en équilibre doit avoir une somme de moments nulle par rapport à un axe quelconque, on en conclura que la somme des moments des forces F seules par rapport à la ligne qui joint les centres d'articulation est nulle. Cette condition à remplir par le système des forces F est une condition nécessaire de l'équilibre : elle est d'ailleurs suffisante, car, si le corps primitivement en repos se mettait en mouvement, on pourrait empêcher ce mouvement en appliquant à chaque point une force en sens contraire de l'élément de cercle qu'il tend à décrire, et alors l'équilibre existerait. Donc la somme des moments, relativement à AB, serait nulle, et, par conséquent, elle serait nulle pour les forces nouvelles prises séparément, puisqu'elle l'était déjà pour les

5o8 CHAPITRE NBUYIÈHE.

anciennes. Or toutes ces nouvelles forces ont des moments de même sens et qui ne peuvent pas se détruire algébriquement. Donc le mouvement supposé n'existe pas, ce qu'il fallait démontrer.

La condition d'équilibre étant établie, cherchons N ei N'. On sait que le système des forces F peut être remplacé par un autre, équivalent au point de vue de l'équilibre des forces extérieures appliquées au solide , cet autre système étant formé de deux forces dont l'une passe en un point donné, A par exemple. Alors la seconde devra se trouver dans un même plan avec AB; donc on pourra ladécomposer en deux, dont l'une passe en A et l'autre en B, de manière que ûnalement les forces F seront remplacées par deux forces P, P' passant respectivement en A et B. Soient R la résultante de N et de P, R' la résultante de N' et de F' . L'équilibre du corps M, soumis uniquement à R et à R', exige que ces deux forces soient égales et contraires, et par conséquent dirigées toutes deux suivant la ligne AB; donc la projection de N sur un plan perpendiculaire à AB est égale et opposée a la projection de P sur le même plan, et une relation identique existe entre N' et P'. Ainsi les réactions totales des appuis se trouvent déterminées, quant à la grandeur et à la direction, en projection sur le plan perpendiculaire à la ligne qui joint les centres d'articulation; mais leurs composantes S, S' suivant cette ligne resient indéterminées. S et S' ne sont, en effet, assujetties qu'à une condition, c'est que leur somme algébrique soit égale et contraire à la somme algébrique des projections de P et de P' sur AB, le sens positif étant le même, bien entendu, pour S, S' et les deux projections de P et P'.

Le procédé géométrique indiqué ci-dessus n'étant pas toujours d'une application facile, il convient de savoir comment on le remplacerait par le calcul. Pour le montrer, prenons trois axes rectangulaires \x, Aj, Az, dont le premier coïncide avec AB; désignons généralement par les notations F„ Fy, F„ M,F, Mj¥, M,F les projections d'une force F sur les trois axes et ses moments par rapport aux mêmes axes ;

appelons a la distance ÂB et Z une somme étendue à toutes les forces autres que les réactions des points d'appui. Les six

STSTÈMBS ARTICULÉS S4NS FROTTEMENT. Sog

équations connues de l'équilibre d*un solide donneront

2\UF = o,

-aN;-f-2M^F==o,

aN;-i-2M,F^o.

La quatrième équation est la condition d'équilibre indépendante de N et de N'; la seconde et la troisième, jointes à la cinquième et à la sixième, déterminent N^, N„ N^, N'-, c'està-dire les composantes de N et de N' perpendiculairement à AB; la première détermine seulement la somme N,-{-N^. Nous arrivons donc à des résultats identiques avec ceux que nous avions trouvés par l'autre méthode.

L'indétermination que l'on rencontre ici dans la recherche des composantes Nx, NI, n'a rien qui doive surprendre. Dans la réalité physique, les réactions des points d'appui ont une valeur déterminée pour chaque point; mais, pour arrivera les connaître, il ne suffit pas de savoir que le corps M est actuellement en équilibre. En effet, on ne trouble pas l'équilibre par l'addition de deux forces égales et contraires dirigées suivant AB, ce qui prouve qu'il y a une infinité de systèmes de réactions compatibles avec l'état d'équilibre. Lequel se produira réellement? Pour répondre à celte question, il faudrait connaître toutes les circonstances qui ont précédé l'état d'équilibre, c'est-à-dire l'établissement du corps sur ses appuis et ses déformations sous les forces qui lui sont appliquées. Au reste, l'indétermination cesse, comme on va le voir, quand on considère des systèmes de plusieurs corps articulés entre eux.

162. Équilibre d'un système polygonal articulé, — Nous allons prendre un système ABCDEFG [fig- 71) formé d'une série de corps solides, dont les corps intermédiaires BC, CD, DE, . . . présentent chacun deux articulations, l'une avec le solide précédent, l'autre avec le suivant. B, C, D, . . ., F sont les centres d'articulation. Indépendamment de leurs actions

5io

CBAPITRE NBUTIftMB.

mutuelles, les solides supportent diverses forces extérieures : il s'agit d'établir les conditions d'équilibre et de trouver les réactions mutuelles qui s'exercent dans les points d'articulation.

Désignons colleciivemejnt par (P) le système de forces appliquées au premier corps AB, et de même par (Pi), (P»),

Fig. 71.

(Pa), ... les systèmes de forces qui sollicitent respectivement BC, CD, DE, . . ., ces systèmes n'étant pas censés comprendre les réactions que chaque corps reçoit de ses deux voisins, mais devant comprendre, au contraire, les réactions des articulations extrêmes placées en A et en G, si ces articulations existent. Soient Ni la résultante de translation de (P], N, la résultante de translation de (P) etde (Pi), N, celle de (P), (Pi) et (Pj), et ainsi de suite. Les groupes (P), (P,), (P,), . .. sont regardés provisoirement comme des données immédiates, d'où l'on déduira sans peine N,, N„ Ns, ....

Cela posé, considérons un certain nombre de corps consécutifs à partir d'une extrémité, trois par exemple à partir de la droite. Ce système ABCD doit être en équilibre sous l'action des forces extérieures (P), (P,), (P,) et de la réaction qu'il reçoit en D; donc la somme des moments de (P), (P|), (Pa), relativement à un axe quelconque passant au point D, doit être égale à zéro. Une condition analogue doit être remplie pour chaque centre d'articulation. Pour énoncer ce fait, nous dirons :

Lorsquun système polygonal articulé se trouve en équilibre.

SYSTÈMES ARTICDLÉS SANS FROTTEMENT. 5ll

si l'on considère l'ensemble d'un certain nombre de corps consécutifs qui en font partie, à partir d'une extrémité jusqu'à un centre d'articulation quelconque, le moment résultant de toutes les forces extérieures appliquées à cet ensemble doit être nul relativement au centre d'articulation dont on vient de parler.

Il faut, de plus, que le système pris en entier satisfasse aux six conditions générales que doivent remplir toujours les forces extérieures appliquées à un système matériel en équilibre.

Réciproquement, si toutes ces conditions sont remplies, les forces se feront équilibre, c'est-à-dire que les corps AB, BC, ..., FG, supposés primitivement en repos, ne se mettront pas en mouvement. C'est ce que nous allons démontrer à l'aide du théorème du travail virtuel ('). A cet effet, nous remarquerons qu'on peut, sans changer la somme des travaux virtuels dans un déplacement possible quelconque du système articulé : i** appliquer en B, au corps AB, une force — N,, pourvu qu'on applique la même force en sens contraire au corps BC, également en B, car ces deux forces, agissant sur deux points dont les déplacements sont identiques, feront toujours une somme de travaux nulle; a** faire agir en C deux forces égales et contraires, la première — N, sollicitant le corps BC, la seconde Nj le corps CD; 3° procéder de la même manière pour les articulations suivantes, par exemple appliquer en D les forces — N3 et N3 respectivement aux corps CD et DE, et ainsi de suite. Si l'équilibre existe après les opéralions que nous venons de faire, c'est que déjà il existait auparavant, puisque nous n'avons pas altéré la somme des travaux virtuels dans l'un quelconque des déplacements permis par les liaisons. Or, après l'introductioii des forces nouvelles, il est aisé de reconnaître que chaque corps est sollicité par des forces ayant une résultante nulle. Ainsi le groupe (P), appli-

(') Le théorème du travail virtuel s*éaonce ainsi, dans le cas d'un système à liaisons : Pour qu'un système matériel soit en équilibre, il est nécessaire et suffis sant que la somme des travaux virtuels des forces tant intérieures qu'extérieures qui le sollicitent soit nulle pour un déplacement virtuel quelconque, compatible avec les liaisons du système.

5ia GHàPITRI IfEUVlfeMB.

que au premier corps, donne une résultante égale à Ni passant par le point B, puisque la somme des moments des forces (P) est nulle relativement à tout axe mené par B; donc cette résultante s'équilibre avec la force — N, que nous avons ajoutée au corps AB. Pareillement, le corps BC est soumis à Ni et au groupe (P.); attendu l'équivalence de N, et de (P) d'une part, et la nullité des moments de l'ensemble (P), (P,) relativement aux axes qui passent par G d'autre pari, le groupe (Pi), composé avec N,, donnera une résultante Na passant au poiat C, qui sera équilibrée par la force — Nj que nous avons appliquée en dernier lieu à ce même point du corps BC. Le raisonnement serait identique pour les autres corps en allant de proche en proche.

Si nous comptons le nombre des conditions d'équilibre, nous en trouvons d'abord six pour l'équilibre de toutes les forces extérieures du système, puis trois pour chaque centre d'ariiculalion, nécessaires pour exprimer la nullité des moments des forces appliquées aux corps compris entre ce centre et une des extrémités. En désignant par n le nombre de corps, il y aura donc 6-f-3(n — i), c'est-à-dire 3ii-f-3 conditions. Dans le cas, assez ordinaire, où il y aurait vers les extrémités A et G deux articulations dont les centres seraient flxes, les trois composantes des réactions de ces points, parallèlement à trois axes coordonnés, deviendraient des inconnues auxiliaires, et le nombre des conditions ne serait plus que de 3n — 3.

Quant aux réactions des différents corps les uns sur les autres, il est clair que ce sont les forces désignées tout à rheure par N,, N„ N3, . . ., c'est-à-dire que la partie formée d'un certain nombre de corps consécutifs y à partir d'une extrémité^ exerce sur r autre partie une action égale à la résultante de translation des forces qui lui sont appliquées.

Dans tous les raisonnements qui précèdent, on peut placer rextrcmité du système à tel centre d'articulation qu'on veut, pourvu qu'on tienne compte des forces exercées en ce point sur la partie conservée, par celle qu'on laisse de côté. De même, s'il y a des appuis fixes, les réactions inconnues de ces appuis doivent être comptées dans les groupes des forces tels que (P). Ces réactions se détermineraient, comme on Ta dît tout à l'heure, au moyen des conditions d'équilibre; ainsi.

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 5l3

par exemple, A et G étant des points fixes, Téquilibre du corps AB, considéré comme articulé en A et B, fera connaître les composantes de la réaction N du point A suivant deux directions perpendiculaires à AB; la troisième composante s'obtiendra en faisant usage d'une équation de moments du groupe N, (P), (P,) relativement à un axe mené parle pointC. La recherche des réactions des points A et G, supposés fixes, est d'ailleurs beaucoup simplifiée lorsque les centres d'articulation sont tous dans un même plan contenant aussi les forces extérieures, et que le système est symétrique, pour les forces et les dimensions, relativement à la perpendiculaire au milieu de AG. Les réactions en A et en G sont alors égales et symétriques; leurs composantes parallèles à l'axe de symétrie s'obtiennent par une simple projection des forces extérieures sur cet axe; cela faii, les composantes parallèles à AG sont connues au moyen d'une des équations de moments nécessaires à l'équilibre.

163. Equilibre d'un sy^stème dont les articulations sont infiniment rapprochées, — Supposons que les centres d'articulation B, C, D, ... du système que nous venons d'étudier se ' rapprochent indéfiniment , de manière à former une courbe continue AG [fig. 72). A l'élémeni quelconque DE, dont la longueur sera représentée par ds, sont appliquées des forces ayant

une résultante ^ds. Appelons T l'action mutuelle des deux parties du système qui se réunissent en £.

En premier lieu, l'élément DE est en équilibre, et, par suite, la somme des moments des forces extérieures qui le sollicitent, relativement à un axe quelconque, est nulle. Ces forces sont l'action T exercée en E, l'action analogue en D et la résultante P^^; si l'axe des moments passe en D, le moment de la seconde est nul et celui de la troisième est infiniment petit du second ordre. Donc le moment de T est de même ordre» ainsi que sa distance à D; donc la force T est tangente à la courbe. Ainsi l'action mutuelle qui s'exerce en un des