I. 3* édit

5l4 CHAPITRE NEUYlfeMB.

points de la courbe, de la pari d'une portion du système sur une autre portion, est dirigée suivant la tangente à rélémeni qu'elle sollicite; on la nomme pression ou tension^ suiTani le sens dans lequel elle agit.

D'un autre côté, on remarquera que, pour l'équilibre de la partie AE du système, la pression ou tension en £ doit être égale à la résultante des forces extérieures appliquées de A en Ë; donc la condition d'équilibre du système considéré s'exprime en disant que : Si l'on compose toutes les forces appliquées depuis une extrémité A jusqu'à un point quelconque E, la résultante unique doit passer en E et se confondre avec la tangente à la courbe en ce point, A cette condition, il faut encore ajouter, bien entendu, que les forces extérieures se feraient équilibre sur le système total considéré comme solide. La théorie générale du n° 162 prouve d'ailleurs que ces conditions sont suffisantes.

164. Forme d'équilibre d'un système articulé. — La question à résoudre est celle-ci : Étant données les diverses forces qui doivent agir sur les côtés d'un système polygonal articulé et les longueurs de ces côtés, trouver la forme du polygone. Ainsi, dans la Jig. 71, on donne les groupes de forces (P), (P,), (P2), ... et, par suite, les résultantes partielles N,, N„ N3. ...; on donne aussi les longueurs BC, CD, DE, ..., et l'on demande les sommets B, C, I), ....

Le problème ainsi posé se résout sans peine par la construction graphique suivante. On place arbitrairement le sommet B sur la première résultante Ni; puis, avec la longueur donnée BC pour rayon, on décrit un cercle (ou une sphère plus généralement) qui coupe N, au point cherché C, et ainsi de suite pour les autres. On voit qu'il y a une înQnité de solutions.

Mais il est rare qu'en pratique la question soit tout à fait présentée comme on vient de le voir, et ordinairement la solution n'est pas aussi facile. Ainsi les forces extérieures peuvent dépendre de la situation des côtés du polygone, au lieu d'être absolument déterminées, comme nous l'avons supposé; elles pourraient aussi comprendre les réactions de points fixes, dont la recherche se lierait avec celle de la forme

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 5l5

du polygone lui-même. Les hypoihèses et données élanl susceptibles de varier à TinOni, nous nous contenterons de traiter quelques exemples.

165. Exemples particuliers du problème précédent, — Soit le système ABCD... [Jig*']^), dont les centres d'articulation sont B, C, D, ...; chaque corps supporte un poids uniformément réparti suivant la ligne qui joint les deux articulations de ce corps et proportionnel à la longueur de cette ligne projetée sur rhorizonlale.

En premier lieu, il est nécessaire pour l'équilibre que tout le polygone ABCD soit dans un même plan vertical, car, si deux côtés consécutifs, tels que BC et CD, n'étaient pas dans un même plan vertical, la somme des moments des forces appliquées à BCD, y compris les réactions exercées en B et D, ne serait pas nulle relativement à Taxe BD. Donc deux côtés consécutifs sont contenus dans un plan vertical; donc BC est dans le plan vertical de AB; parsuile,ceplan contient aussi CD, et, en allant de proche en proche, on verrait ainsi qu'il contient le polygone tout entier.

Soient maintenant AX, AY deux axes coordonnés tracés dans ce plan; X, Y les composantes de la force appliquée en A au système; x,y les coordonnées d'un sommet quelconque C; p\e poids qui charge l'unité de longueur en projection horizontale. En égalant à zéro la somme des moments, relativement au point C, de toutes les forces qui agissent depuis ce point jusqu'à l'extrémité A, on aura

Yx -— Xjr px^ = o,

ce qui prouve que tous les sommets A, B, C, D, ... sont sur une même parabole représentée par l'équation précédente. La détermination des constantes X, Y, nécessaire pour la connaissance complète de cette parabole^ dépendrait d'autres données particulières de la question.

Si le polygone ABCD. . . représentait la section droite d'une

5l6 CHAPITRE NBDVlftlIB.

enveloppe cylindrique soumise à la* pression normale uniforme d'un gaz, dont l'intensité serait de p^* par mètre de longueur mesurée suivant le contour ABCD. . ., Téquationdes moments deviendrait

et tous les sommets se trouveraient sur un même cercle. La quantité -/^v-^^'+j'l est la somme des moments, relativement à un sommet C, de toutes les pressions exercées par le gaz depuis ce sommet jusqu'à l'extrémité A; le signe -+- convient au cas d'une pression intérieure, le signe — au cas d'une pression extérieure. Ici, comme dans le premier problème, il y aurait deux constantes Y, X à déterminer.

A cet effet, on pourrait, dans les deux cas, donner, par exemple, la position de deux sommets relativement aux axes AX, AY; les coordonnées de ces sommets, introduites dans l'équation au lieu de x, j, donneraient deux relations d'où l'on tirerait X et Y. Si le système était assujetti à être symétrique relativement à une certaine ligne passant par un sommet, les axes de coordonnées étant menés par ce point, celui des j suivant la ligne de symétrie et l'autre perpendiculairement, on aurait Y = o; l'équation de la courbe ne contiendrait plus qu'une constante, et une seule condition serait suffisante pour la déterminer.

Enfin on remarquera que, soit pour la parabole, soit pour

dy Y

le cercle, à l'origine A on a --.- -- y' ce qui montre que la

force exercée en A sur le polygone articulé est tangente à la courbe des sommets. L'origine pouvant d'ailleurs être placée en un sommet quelconque, sans changer la forme de l'équation d'équilibre, la même propriété est vraie pour les deux actions mutuelles exercées en chaque centre d'articulation.

166. Forme d'équilibre dans le cas d'articulations infini^ ment rapprochées. — Replaçons-nous dans les conditions du n** 163, et exprimons par des équations l'équilibre de l'élément DE, dont la longueur est c^^ (Jig. 72). Indépendamment

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. Sf]

de la force Pd5, l'élément est sollicité en E par la force T provenant de Taciion de la partie EG du système, et en D par une force analogue due à Faction de la partie DA. La première force T, à laquelle nous attribuons comme sens positif celui d'une pression sur DE, est dirigée suivant la tangente en D (n® 163); elle aura donc pour composantes, suivant trois axes coordonnés rectangulaires,

dx dr j^,

ds ds ds

Si Ton adopte pour sens des s positifs celui de E vers D, la pression en ce dernier point donnera pareillement trois composantes

dx j dx rpdr dr dz.dz

ds ds ds ds ds ds

et, comme elles sont en sens contraire de celles de la force T, il restera, en définitive,

rf.T^^, -rf.T^?:, -d.T'^.

ds ds ds

Donc, en appelant X, Y, Z les composantes de P, on aura

\ds — </.T -, :=0,

(,) / Yds-d.T^^o,

Zds-d.T^ =0.

L'élimination de l'inconnue auxiliaire T entre les trois équations (i) donnera deux équations entre les quantités connues X, Y, Z et les coordonnées x, 7, z. Ce seront les équations différentielles de la courbe d'équilibre.

En combinant les équations (i) de diverses manières, on peut en déduire quelques propriétés intéressantes. Si, par exemple, on les ajoute après les avoir respectivement muiti-

pliées par -^-5 -y-? -r^ et si l'on effectue les différenlia*

5l8 CHAPITRE NBUYIÈIIB.

lions indiquées, s élanl choisi pour variable indépendanle, on trouvera

r^fdx d- X dyd^ y dz d^z \ Or, de la relation

on déduit, en différentiant par rapport à s, , V dxd-x dyd'y dzd'z

donc on aura

(3) dT=\dx-\-Y dy -h Zt/z,

équation qui montre comment la pression varie d'un point à l'autre de la courbe des centres d'articulation. Le second membre n'est autre chose que l'expression du travail de P dans le déplacement ds; cette équation peut donc encore se mettre sous la forme

(4) dl = Vds(ios[\\ds].

Si la force P était normale à la courbe, le cosinus s'annule- ' rait, dT serait nul et, par conséquent, la pression aurait une valeur constante en tous les points. C'est ce qui arrive notamment dans le cas d'un fil tendu sur une surface sans frottement, car alors la réaction de la surface en chaque point ne peut que s'exercer suivant une direction normale tout à la fois à la surface et au fil. Dans ce cas d'un fil parfaitement Qexible, on sait d'ailleurs que l'équilibre ne serait pas possible s'il n'y avait pas, en tout point du fil, pression négative ou tension proprement dite, et, si cette tension variait, on peut regarder comme évident que le fil glisserait dans le sens de la plus grande tension, ce qui est d'accord avec la conséquence tirée de l'équation (4).

Soient maintenant p le rayon de courbure de la courbe d'équilibre, X, /jt, v les angles qu'il fait avec les axes coordon-

STSTESIES ABIICULES sans FnOITE>IE«T. 5l9

nés; en prenant s pour variable indépendante, on a les relations connues (')

Cela posé, multiplions les équations (i) respectivement par d'T d'y d' z

rfj' ds' ds'

; la somme des produits pourra s'écrire

\ ds' ds' ds' J

Or le coefficient de d'£ est nul, d'après l'équation {i); celui de Tds, d'après les équations (5], n'est autre que

- [cos-X -H cosV + cos-v)

ou simplement -; donc l'équation précédente devient

X cosï, -+- V cosu -i- Zcosi- = - P ou encore

(6) Pcos(P,pi=^-

Enfin, si l'on ajoute les équations (■] respectivement multipliées par

(7) dyd'z —dzd'y, dzd'x — dxd^z, dxd'y — dyd'x,

dr dr et qu'on effectue les différenitations des produits T . ■ T -7- ,

^ ' ils ds

le Calcul diffénmUl de M. J. Bcrlrand,

en T, que leur coefOcient est identiquement nul, et, secondement, que le même fait se produit pour les termes en (fT. On arrive donc ainsi à Téquation

i ^[dyd'z — dzd'y]+Y[dzd'x — dxd z]

( -\-Z[dxd\r — dyd^x] =:iOf

exprimant que la force P, dont X, Y, Z sont les composantes, est perpendiculaire à une droite dont les cosinus directeurs seraient proportionnels aux binômes (7). Cette droite n'étant autre chose que l'axe du plan osculaieur de la courbe lieu des centres d'articulation, il en résulte que la force P est contenue dans ce plan, ce qui était évident a /?r/ori, puisqu'il j a équilibre entre les trois forces Pe/5, T et T -h rfT, dont les deux dernières sont nécessairement contenues dans le plan osculateur; elles agissent, en effet, suivant la direction des tangentes en D et E.

Au surplus, la considération de cet équilibre, qui démontre si rapidement l'équation (8), nous conduirait avec la même facilité aux équations (4) et (6), c'est-à-dire à tout ce que nous avons déduit des combinaisons analytiques ci-dessus employées. En projetant les trois forces sur la direction deT et remarquant que T -h ûTT se projette en vraie grandeur, aux infiniment petits du second ordre près, on trouvera

T — ï — rfT -f- Pds cosa = o

ou bien

^T = Pds cosa rz= Vds cos[P, ds)y

ce qui est l'équation (4). De même, si l'on projette sur le

rayon de courbure en E en remarquant que T ^-rfT fait avec

cette ligne un angle complémentaire de l'angle de contin-

ds gence - > il viendra

?ds cos f P, p) — (T -4- rfT) sin -^ = o, ' p

ce qu'on réduit sans peine à l'équation (6) en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Si nous revenons au cas d'un fil tendu sur une surface sans

frottemenl, les équations (8)» (4) et (6) nous apprendront: 1^ que la réaction normale de la surface est en chaque point contenue dans le plan osculateur de la courbe du fil, et que, parconséquenty celle-ci est une des courbes géodésiques de la surface, c'est-à-dire une courbe jouissant de la propriété d'avoir la moindre longueur, parmi toutes celles qu'on peut tracer sur la surface, entre deux points donnés; tP que la

réaction est proportionnelle à la courbure -i car, dans l'équation (6), nous devrons faire

cos ( P, p ) — I , T =: consl. ,

ce qui conduit bien à une valeur constante pour le rap*

port

167. Exemple particulier d'un système dont les articulations sont in' finiment rapprochées ; système supportant une charge d^eau, — Soit ACB {fig, 74) la courbe des centres d'articulation, que nous considérerons simplement comme la section droite d'un ^,

cylindre ayant des génératrices de Ion- ' '

gueur égale à i . On néglige le poids propre des corps articulés et l'on suppose que les forces extérieures consistent, indépendamment de celles que produisent les appuis, en pressions dues à une charge d'eau dont le niveau est NN. La ligne NN est prise pour axe des x\ Taxe des/ est une verticale 0/, relativement à laquelle on admet que le système est symétrique.

n étant le poids de i"* d'eau, nous devons faire, dans les équations

du n** 166,

Donc on a d'abord

r/T — 0, ou T = const.,

- =llr,

c'est-à-dire que la pression T est constante et que le rayon de courbure de la courbe ACB est, dans chaque point, en raison inverse de l'ordonnée j. Cette considération donnerait un premier moyen de tracer approximativement la courbe, au moyen d'une série d'arcs de cercle se raccor-

522 CHAPITRE NBUVifeMB.

dant entre eux. On tracerait un premier arc CD partant du point C avec un centre placé arbitrairement sur Cj; puis, appelant p^ et p, les rayons de la courbe en C et D, h et A, les cotes de ces mêmes points au-dessous du niveau NN, on poserait la proportion

d'où Ton tirerait le rayon p, avec lequel on décrirait le second arc à par^r du point D. On irait de même de proche en proche et Ton aurait toujours soin de ne faire correspondre les arcs successifs qu*à de petits accroissements d'ordonnées j. Le premier rayon ayant été pris arbitrairement, pour déterminer complètement la courbe , on pourrait lui imposer les conditions d'avoir son point le plus haut C et son extrémité A dans des situations données. Le problème se résoudrait alors par tâtonnement, eo essayant diverses valeurs du rayon initial. Si l'on veut employer le calcul, on remplacera p par sa valeur en fonc-

tion de -j- et de ^— > ce qui donnera l'équation différentielle de la

courbe CA :

On peut faire une première intégration, après avoir multiplié les deux membres par idy^ et l'on trouvera

-^['^(£)'] ' --- ï?^ + const., OU bien, attendu que -,- = o pour y = h^

dx ^ - ' I

ÎH a TT !

dy Cette équation, résolue par rapport à -.- > devient

dx 4 / r II . , ..'V ' ■ n '

\/[-ni^--)j

—îî'^-*''

soit, en remplaçant la différence de deux carrés par le produit de la

SYSTtMES tBTICUUS SANS FKOTTBMBHT. 5l3

somme et de la différence, ol oiïectuanl la séparation des variables,

y/l/"-«')[i-Ji(r'-'.')]

On doit avoir nécessairement yj, [y— h') < i, sang quoi l'expression de — ne eerait pas réelle; par suite, on pourra développer — j - ^^rz^^:^= en série, au moyen de la formule du binôme; de

celte manière, la dernière équation devient

-[■-rii^^-'''i-ai.<''-"'i'--]-

L'int^ration est maintenant facile , car elle se ramène à la recherche d'intégrales de la forme i-^-:^^=i n élant un nombre entier positif.

Or on sait que

-. = log hyp U

«t, d'uD autre c61^, l'int^gralion par parties donne

Ainsi, par cette dernière formulo, connaissant ]i:s valeurs de l'intégrakpour n = o et rt = I, on les aura pour n - a et n = 3; au moyen de ces dernières, on les aura dans les cas de /i = 4 et n — S , et ainsi de suite

Nous ne pousserons pas plus loin le calcul sans introduire une hypothèse restrictive. D'après une équation établie tout îi Iheure, 1 - — tv. {j" — I'')

524 CHAPITRE NBOYIÈMB.

est égal à i-H f -^ j , c'est-à-dire au cosinus de Tangle que la tangente à la courbe fait avec Thorizontale. Si la courbe est assez surbaissée, le cosinus différera de très-peu de i, et —j,{x*— ^^) sera une

petite quantité dont il suffira de conserver la première puissance dans les calculs. Dans l'hypothèse d'un assez petit rapport entre la flèche et l'onverlure de la courbe ACB, on posera donc

"\/î-;iÏ7.[-.-T0'--.][-a-T<^--!-]

équation dont l'intégrale, calculée comme il est dit ci-dessus, est ia suivante :

La constante T pourrait être déterminée par la condition de faire ptsser la courbe au point donné A.

§ II. — Antres applications de la théorie précédente : cludiiette;

ponts snspendns.

168. Courbe articulée chargée d'un poids uniformément réparti suivant sa longueur; chatnette. — Nous allons appliquer maintenant la théorie générale du n** 166 à certains cas particuliers assez importants dans la pratique. Nous supposerons d'abord que la charge Prf5, répondant à un élémenl infiniment petit ds de la courbe des centres d'articulation» se réduit à un poids pdsy simplement proportionnel à if, sa valeur/? rapportée à Tunité de longueur étant supposée constante. Nous choisirons pour axe des z une verticale descendante, les X et les y ayant deux directions rectangulaires quelconques dans un plan horizontal; alors on doit faire

SYSTËKBS 1BT1CULS9 BANS FBOTTEIIEIIT.

et les équations (ij du n' 166 deviennent

d.T ~^- =o ou

Ti; =

= consl.,

d.T^ =o ou

= const. ,

sianl, que, par conséqueni, il existe une relation linéaire entre j: ei 7 et que la courbe des centres d'articulation se trouve contenue dans un plan vertical. 11 est bien évident d'ailleurs qu'une démonstration semblable pourrait se répéter dans tous les cas où l'on supposerait une direction constante aux forces Pds; la courbe serait toujours contenue dans un plan parallèle à cette direction.

Revenons à notre hypothèse particulière des forces verticales pds et imaginons que le plan de la courbe soit pris pour plan des zx; alors la seconde des équations ci-dessus se réduit à une identité, et la première donne

Tî'-.

la composante horizontale de la pression a donc une valeur constante Q et, par suite,

Portant cette valeur de T dans la troisième équation, nous trouvons

d'où résulte, si nous prenons x pour variable indépendante, d'z pi t dz .'

5a6 CHAPITRE NBUYlfcMB.

Pour intégrer Téquaiion (i), on peut la multiplier par sa

dérivée

dz d}z

d^z p dx dx^

dx'~^Q I Tdz\ '

\dx I

ce qui donne

d^z p' dz

dx' ■" Q- dx

L'équation (2) a pour première intégrale

-, ^= 7^^ z -h A), dx' Q'' '*

en nommant A une constante arbitraire; or on peut rempla-

d-z d'iz -^ \] . 1 j .'

cer ^— par — ^ r~"* ^^ * comme la dernière équation

ainsi modifiée rentre alors dans un type bien connu, on écrit immédiatement son intégrale, savoir

(3) 2 -f- A=:Be«"-+-Ce «,

B et C désignant encore deux nouvelles constantes. Si nous portons celle valeur de z dans Téquation (i), il vient, après avoir fait disparaître le radical par l'élévation des deux membres

carré et supprimé le facteur ^»

r:^ 1 -+- ^X^'e^ -t- Oe"«" — 2Bc), ou, toute réduction faite,

(4) 4BC^^; = i.

Ainsi les constantes B et C sont assujetties à vériOer une relation, et le nombre des constantes arbitraires se réduit à deux,

SÏSTËKES ARTICULES SAKS FBOTTEMtnT. 5^7

ce qui devait élre, puisque l'équalion ditTéreniieile (i], que nous avions à intégrer, n'était que du second ordre. On tire de l'équation (3)

eUJ'^'^Ce--^);

la valeur de x, pour laquelle -.- s'annulera et la tangente à

la courbe deviendra horizontale, sera donc fournie par l'équation

ou bien, en divisant par Be

îhypj.

valeur toujours réelle, car, en vertu de la condition (4), B elC doivent avoir le même signe. La courbe, suffisamment prolongée, présente donc toujours un élément horizontal et un

seul; en y faisant passer l'axe des z, on aura -^ — o pour

a:= o, ce qui impose encore à B et C la condition nouvelle

Par suite, la relation (4) donne, pour chacune iW ces quanti-

valeur égale et de signe contraire. L'équalion (3) devient alors

Nous supprimerons le double signe; mais, pour ne pas diminuer la généralité du résultai final, nous regarderons n comme pouvant être à volonté positif ou négatif; cniîn nous pren-

528 CHAPITRE NEUYlftMB.

drons Taxe des x de manière que a soit Tordonnée du point situé sur l'axe des z, où la tangente est horizontale, ce qui exige qu'on ait A = o. Avec ce choix particulier des axes coordonnés, l'équation de la courbe prend la forme simple

c'est l'équation connue de la chaînette.

La constante Q, qui représente la composante horizontale de la pression T en un point quelconque, peut être positive

ou négative, et il en est de même de la longueur a = — •

Lorsque a et Q sont positifs, la courbe représentée par l'équation (5) tourne sa concavité vers le bas; dans le cas contraire, z change de signe en conservant les mêmes valeurs absolues, et la concavité est tournée vers le haut. Dans le premier cas, l'action mutuelle de deux éléments consécutifs est partout une pression proprement dite; dans le second, c'est une pression négative ou en réalité une tension. En effet, de l'équation générale (n'' 166)

dT = X rfjc + \dy -4- Zdz

on déduit ici

d\r=z p dz ,

d'où il résulte que dT est toujours positif dans le premier cas et négatif dans le second, pourvu qu'on suive la courbe en s'éloignant du point situé sur l'axe des z. Les accroissements successifs de la pression initiale Q ont donc toujours le même signe que celte pression; par suite, le signe de T et la nature de cette force ne peuvent changer. On remarque, en outre, que sa valeur absolue croît avec celle de z.

Si le système articulé se compose de corps solides avec des articulations très-rapprochées, les deux formes peuvent se réaliser; mais la seconde est seule admissible dans le cas où le système se réduit à un fil pesant, homogène et parfaitement flexible, car on regarde comme évident qu'un fll de cette nature ne peut rester en équilibre que s'il est tendu et non point comprimé.

SïSTkHES ARTICULfiS SAHS PBOTTEIIEIIT. 53g

La chaînette est une courbe qui a été beaucoup étudiée par les géomètres et qui jouit de propriétés nombreuses et remarquables. Nous nous bornerons à en citer quelques* unes.

1° Soit proposé de trouver la longueur de l'arc SM {Jig. ^5) compris entre l'axe des z et un point quelconque. On a P'g- 7^-

di ^ dx

ou.'d'après l'équation [i),dans laquelle on aura remplacé Q par pa,

th = a -,— dx.

Cette équation s'intègre immédiatement et donne dz

sans constante, puisque s et -

nnulent simultanément

au point S. La substitution de la valeur (5) de s conduit à l'expression de s en fonction de l'abscisse

mais les propriétés géométriques suivantes en Tournissent une valeur plus remarquable au point île vue théorique.

2» Dans le triangle MPI formé par l'ordonnée, la normale et une perpendiculaire à celle-ci meni>c par le pied de l'ordonnée, on a

Mi = zcosPMI^(f-

or, d'après l'équation (i)t 'e radical n'est autre chose que I. 3- édil. J4

5>i CHAPITRE NEUVIEME.

" -.— OU a ,—.: donc

p dx' dx'

La lon<^ueur Ml esl donc constante et égale à SO. D'un auire côte, on a aussi

PI — Ml langPMI -- a y- — 5;

ain>i la perpendiculaire PI esl égale en longueur à Tare S)f. 3*^ !/aire SOPM a pour valeur

Ç zdx z - (e^ — e"'') r.-- ^5 zr^Sîï.PÎ;

par conséquent, elle esl la même que celle du rectangle MIPK.

En résumé, on voit que la reclificalion et la quadrature d«^ U chaînette sont des problèmes dont la solution géométrique dépend uniquement de la construction du triangle MPI ou, si Ton veut, du tracé de la tangente à la courbe.

Cherchons enfin la solution de ce ^problème : Faire passer par deux points donnés M et N une chaînette de longueur donnée. Avec ces données on est encore maître de choisir comme on veut le sens dans lequel doit être tournée la concavité de la courbe; si c'est vers le haut, le moins élevé des deux points M et N sera le plus rapproché du sommet de la chaînette; dans le cas contraire, ce serait le point le plus haut qui jouirait de cette propriété. Cela posé, nommons

/ la longueur de l'arc de chaînette dont on connaît les extrémités M etN;

b la projection horizontale, c la projection verticale de la droite connue MNj

X , z' les coordonnées de celui des points M et N qui est le plus voisin du sommet relativement aux axes inconnus en position, pour lesquels Téquation de la courbe a \à forme (5);

a le paramètre de la chaînette demandée.

En appliquant les équations (5) et (6) à chacun des points M

STSTtMea ARTICULÉS SANS PnOTTEnENT. 53t

ei N, el prenam pour chacune de ces équations la diirérence des résultats, on trouvera

/ ■ "-{e'" -e ■■ —e"~e " ). d'où l'on lire, par addition cl soustraction membre a membre,

Ces rieux dernières relations donnent les suivantes par multiplication et division :

Dans l'équation transcendante (7 }, a est la seule inconnue; on pourra donc la calculer par tâtonnement. Après avoir trouvé a, on déduira de l'équation [8]

et enfin on aura :' en substituant cette valeur dans l'équation (5), ce qui donne

La solution du problème est maintenant romplètc : Ip tracé du contour formé en portant bout à bout x' et z' permet en effet de retrouver l'origine et les axes pour lesquels l'équation de la courbe prend la forme [5) el, puisque a est maintenant connu, on pourra déterminer par retle équation autant de points qu'on le voudra.

532 CHAPITRE KEUYIÈBE.

169. Courbe articulée chargée d*un poids uniformément réparti suivant Vhorizontale. — La forme d'équilibre ayanl déjà été déterminée dans le cas d'un polygone à côiés fmis ( n® 165], on pourrait assez facilement passer de là au cas d'une courbe continue; mais on peut, très-simplement aussi, faire usage de la méthode générale du n° 166. D'abord on démontrerait, par le moyen employé au commencement du n® 168, que la courbe est contenue dans un plan vertical. On prendra dans ce plan un axe des z vertical et descendant et un axe des X horizontal; alors, si Ton désigne par pdx la charge d'un élément ds de la courbe, p étant le poids constant par unité de longueur mesurée horizontalement, les équations (i) du n° 166 deviendront

d.i—r '— o> ds

pdx — d.T -r = o.

'^ ds

La première nous apprend encore que la composante hori-

dx zontale T— de la pression T conserve une valeur constante;

nous la désignerons par Q et poserons, par suite,

valeur qui, portée dans la seconde équation ci-dessus, donne

p dx — O —, — dx = o ' ^ dx'

ou bien

dx' ~ Q"

L'intégration de cette équation est immédiate; on en déduit

px^ 5 " A -+- B:c -f- ^-prî

A et B désignant des constantes arbitraires. Cette équation représente une parabole à axe vertical; quand on place rori-

STSTËnRS ARTICULES SANS FROTTEHENT. 533

gine au sommet de la courbe, A ei B sont nuls, ei l'équalion prend la forme plus simple

Suïvani qu'on attribue à Q le signe + ou le signe — , on obtient encore deux courbes différentes, la première tournant sa concaviié vers le bas, la seconde vers le haut. D'ailleurs

-j- représente le cosinus de I angle toujours aigu qu une tangente quelconque fait avec la tangente au sommet; par conséquent, l'équation [g] prouve que T et Q sont constamment de même signe. Donc, si Q est positif, tous les éléments éprouvent une pression proprement dite; dans l'hypothèse contraire, ils éprouveraient une pression négative ou en réalité une tension. Les deux hypothèses sont admissibles pour un système de corps solides réunis par une suite d'articulations très-voisines les unes des autres; la seconde seule convient au cas d'un fil flexible, dont l'équilibre ne pourrait se réaliser, si les éléments qui le composent devaient supporter des pressions, et non des tensions, dans le sens de leur longueur.

i'O. Théorie des ponts suspendus. — L'n pont suspendu réalise à peu près le dernier système qu'on vient d'étudier [n° 169). Les chaînes ou câbles de suspension sont formés de chaînons en fer, très-courls et articulés ensemble, ou de fils de fer simplement juxtaposés, et la flcxibiliié, suas i:lic p;irfaite, est très-grande dans les deux cas. Ces chaînes ou Ctibles supportent un tablier, de construction uniforme sur toute lu longueur, parrinlermédiaire de tiges verticales équidisiantes. en sorte que la charge est à peu près uniformément rcpariii^ suivant l'horizontale. Toutefois cette hjpolhése n'est pas absolument rigoureuse, car le poids propre des chaînes ou câbles est réparti uniformément suivant leur longueur même; d'autre part, on comprend bien que la tension des liges peut varier dans une certaine mesure, en raison de la rigidité du ubiier, suivant qu'elles sont plus ou moins serrées contre celui-ci; enfin, les tiges étant d'inégale longueur, leur poids

534 CHAPITRE ^EUVIË«E.

l>r\^(>rt' esl encore une cause d'irrégularilé dans la répartition tli' lj olijriçe.

Noiv'i l'omtiu'nt se présentent ordinairement les calculs de >Uv'.!.t<:' (-o-.:r le tablier et la partie métallique d'un pont ^w>;'tf;'--.:. L'ouverture aa du poni et la largeur du tablier >v>ci J.-< doiHit't's immédiates du projet, et ces données suf- ^.'^ -L iv.iri)ii'on puisse déjà faire l'étude complète du tablier. Nv.:-. V.' Jiroiis rien sur ce sujet, qui paraît plutôt appartenir 4.\ t.\'iir> de construction. Il faut sans doute, quand on pro-

I...' !.- tjblier d'un pont suspendu, avoir égard à la résistance jo l'iot'os sous l'action des charges permanentes ou passa- ..0 es iiti'elles auront à supporter, mais il faut avoir égard jav%i j l'usure rapide d'une partie des bois, et on se laisse ,a;di'r beaucoup par des habitudes reçues. Nous supposerons donc connu le poids total ■insa du tablier, ra étant sa valeur "jr unité de longueur horizontale.

Ce poids doit èlrc soutenu par des tiges dont l'espacemeni uniforme est en général de i" à i",5o. Soit n le nombre iKiul des tiges pour tes deux côtés du pont, pris dans leur

ensemble; chaque tige supporte une charge î indépen-

iluninient de son poids propre- Si l'on nomme

/ la longueur d'une tige quelconque;