I. 3" édit

raccourcissements ou glissements par suite desquels la forme d'équilibre que la pièce doit finalement conserver ne sera pas tout à fait identique avec celle sous laquelle on doitlaconsiruire. Il serait donc toujours utile et quelquefois nécessaire de prévoir et de calculer par avance les déformations ci d'établir la pièce avec une forme provisoire, de manière que, par l'effet même des charges, elle prît la forme d'équilibre qu'on aurait en vue. On y parviendrait approximativement au moyen d'une règle de fausse position : on supposerait la pièce construite avec la forme d'équilibre; les déplacements produits par les forces seraient ensuite calculés dans cette hypothèse pour les différents poinis de la force moyenne et portés en sens contraire de leur direction à partir de ces points. Le lieu des extrémités de ces déplacements inverses pourrait être adopté pour fibre moyenne provisoire. Cette solution seraU rigoureuse pour le cas de déplacements infiniment petits; pratiquement elle sera donc, en général, d'une exactitude suffisante, car la petitesse des déformations est une conséquence de la stabilité.

Dans sa théorie de la stabilité des voûtes ('), M. Yvon Villarceau a cherché à déterminer les courbes d'intrados et d'extrados de telle sorte, que la résultante des pressions sur un joint passât au centre de gravité de ce joint; la fibre moyenne de la voûte ainsi construite satisferait à la condition d'être identique avec le lieu des centres d'articulation d'un système articulé en équilibre sous les forces appliquées à la voûte, et, par conséquent, on obtiendrait une certaine économie dans le cube des maçonneries. C'est une des applications les plus intéressantes qu'on ait faites des considérations que nous venons de présenter.

§ III. — Systèmes articalés complexes.

172. Des systèmes articulés complexes. — Dans tous les systèmes précédemment étudiés, chaqfte corps présentait seule-

( ' ) roir l'Ouvraje intitulé : Sur rétablissement des arches de pont, envisagé au point de vue de la plus grande stabilité; Paris, i854-

ment deux points d'articulation, l'un avec un corps précédent, l'autre avec un corps suivant, et l'ensemble, réduit aux lignes droites joignant les deux centres d'articulation de chaque corps, formait un polygone convexe ayant deux extrémités bien définies. Nous avions alors ce que nous conviendrons d'appeler un système articulé simple. Mais il peut arriver que, après avoir établi un tel système, on en réunisse certains corps entre eux ou à d'autres corps au moyen de tiges ou corps de forme quelconque, articulés eux-mêmes à leurs points d'assembfage. On aura formé de cette manière ce que nous appellerons un système articulé complexe. Le caractère général auquel on reconnaît les systèmes de ce genre, c'est que, parmi les corps qui en font partie, il en est au moins un qui présente plus de deux centres d'articulation ou points considérés comme tels.

Ainsi une charpente qui ne serait composée que de deux arbalétriers et un tirant se classerait cependant parmi les systèmes complexes, parce que chaque arbalétrier serait articulé avec l'autre arbalétrier et le tirant, et aurait, en outre, un appui {\\Q assimilé à un centre d'articulation.

Nous ne donnerons pas une théorie générale des systèmes articulés complexes. Nous nous bornerons à traiter quelques exemples.

173. Charpente composée de deux arbalétriers simples , deux contre-fiches y tirant et poinçon, — Soit donnée la charpente ABCDFGH [fig> 79), dont nous représentons les diverses pièces par de simples lignes droites; AB, BC sont les arbalétriers, soutenus vers le milieu de leur longueur, en D et G, par les F»e- 79-

contre-fiches DF, GF; un tirant AC reçoit les extrémités des arbalétriers; enfin les points B, F, H sont réunis par un poinçon principalement destiné à empêcher la flexion que subirait le tirant sous l'action de son poids et des pressions transmises par les contre-fiches, dans le cas où l'absence de poinçon obligerait le constructeur à les assembler avec le

548 CHAPITRE NECTIÈVB.

tirant. Les pièces AB, BC supportent un poids uniformément réparti, à raison de p^^ par mètre courant de projection horîzontale^ y compris leur poids propre. Le s^'stème est supposé symétrique par rapport à la verticale, et il repose sur deux appuis fixes en A et C; enfm tous les assemblages sont censés constituer des articulations sans frottement. Il s'agit de déterminer les forces extérieures inconnues qui sollicitent les différentes pièces, afin de vérifier si les dimensions sont suffisantes, conformément aux méthodes qu'enseigne la Résistance des matériaux.

Soient a et ^ les angles FGB, HCB, aa l'ouverture ÂC, T la tension du tirant, R la compression de la contre-fiche, S la tension du poinçon en dessus du point F, P le poids du tirant. On négligera, pour plus de simplicité, les poids des trois pièces FG, FD, BH, comme faibles comparativement à P età la charge ipa des arbalétriers.

Si Ton considère d'abord un arbalétrier BC, on voit qu'il supporte, en dehors des points d'appui B, G, C, une force pa uniformément répartie, dont chaque élément />rf^, répondant à une longueur infiniment petite dx prise sur la longueur HC, pourrait eire décomposé en deux forces pdxsxn^^ pdxcos^, suivant la direction de BC et la direction perpendiculaire. Les premières composantes tendraient seulement à comprimer la fibre moyenne de l'arbalétrier; les secondes seules produiraient une flexion. Or nous admettrons que le cojfistructeur a déterminé le serrage de la contre-fiche de manière à rendri* nulle la flèche que toutes les forces pdx cos^, dont la somme est pacos'^, feraient prendre en C à l'arbalétrier s'il n'était pas soutenu par la contre-fiche. 11 en résulte que, au point de vur (le la flexion et des pressions normales exercées sur les appuis, la pièce BC pourra être considérée comme supportant une charge /?acos^, uniformément répartie et comme soutenue en trois points équidistants B, G, C. On trouve alors immédiatement les réactions normales des points d'appui,

savoir: -^/^«cos[3 pour B et C, -/?acosj3 pour G (n** 43).

Cela posé, comme il n'y a de forces appliquées à la contrefiche qu'aux extrémités F, G, et que par conséquent ces forces doivent être dirigées suivant la droite FG, on voit que la

réaction loiale R, supportée en G par Tarbalétrier, aura cette même direction; donc on pourra d'abord poser l'égalité

Rsina = tz pacos5,

qui détermine Tinconnue R. Secondement, la réaction totale appliquée au point C de l'arbalétrier se compose de la tension horizontale T du tirant et d'une force verticale Q; la composante normale de cette réaction sera Q cos(3 — Tsin(3;

donc on aura

Qcos(3 — TsinP= -^pacos^.

On voit que la tension T serait connue si l'on avait la valeur de Q; pour la déterminer, il faut auparavant trouver la tension du poinçon dans la partie FH. Cette tension, devant

simplement empêcher la flexion du tirant, aurait pour valeur

normale ttP; donc, si l'on pose l'équation d'équilibre en o

projection verticale des forces extérieures au système composé des deux arbalétriers, des contre-fiches et du poinçon, cette équation sera

Quant à la tension S du poinçon dans la partie FB, il est clair que ce sera celle de la portion FH, plus la somme des deux composantes verticales des forces R transmises par les contrefiches, et l'on aura, par suite,

S:^|p-+-2Rsin(a — P).

Il est aisé maintenant d'écrire les valeurs de toutes les

(M La force Q ainsi calculée diffère du poids de la demi-ierme; mais cela n'a rien qui doive surprendre, car T et Q constituent, non pas la réaction de l'appui sur la ferme, mais la réaction du tirant sur l'arbalétrier.

55o CHAPITRE NECTiftVB.

forces cherchées. On trouvera successivement

,, 5 ces 3

^ i'6pa-h5P iblangp

5 5 cos;3sin(g-(5)

o 4 sina

La dernière formule peut encore s'écrire ainsi : S=i[p + .,.cos.?(,-|îgj],

et, dans l'hypothèse de a peu différent de 90",

S=r g(P-i- 2;?acos';3].

On possède maintenant toutes les données utiles pour procéder à la vérification de la résistance des principales pièces de la ferme. Le tirant ne doit guère résister qu'à la tension T, car la flexion due à son poids est peu sensible, surtout avec le secours du poinçon. Les contre-fiches et le poinçon ne résistent pareillement qu'à des efforts longitudinaux. Quant aux arbalétriers, ils doivent supporter, outre les efforts dus à la flexion, des forces de compression longitudinale agissant suivant leur axe; les forces totales qui produisent ces effets seront connues dans chaque section, et l'on en conclura les actions moléculaires correspondantes.

174. Ferme de charpente enfer à grande portée^ — Daas la plupart des gares de chemin de fer et beaucoup d'autres bâtiments, on trouve des fermes construites comme l'indique le croquis ci-contre [Jig, 80), dont la disposition ingénieuse a été imaginée par M. Polonceau. AB, BC sont les arbalétriers, tantôt en bois, tantôt en fer ou en fonte, soutenus perpendiculairement en leurs milieux F, G par des bielles en fonte FD,

SY.SIÈMES ARTICULÉS SANS FIIOTTEUBNT. 55 1

GE. Ces bielles s'arliculeni à leurs deux exlrémilés, d*une pari avec les arbalétriers, d'autre part avec des tirants AD, DB, CE, EB, qui les réunissent aux extrémités des arbalétriers. Enfin un tirant horizontal DE réunit les deux moitiés de la ferme et les empêche d'exercer une poussée trop considérable contre les supports. 11 s'agit encore ici de se rendre compte des'forces auxquelles doivent résister les diverses pièces.

D'abord les appuis doivent exercer en C et A, sur cette ferme, des réactions égales pour cause de symétrie, dont la composante verticale aura nécessairement pour valeur le poids de la demi-ferme avec la charge correspondante. Nous admettrons que celte charge, en y comprenant le poids propre des pièces, est un poids uniformément réparti suivant l'horizontale, et nous la désignerons par /?a, p étant le poids par mètre courant mesuré horizontalement et ia la distance AC; pa sera donc la. composante verticale de la réaction en A ou C.

Les forces verticales appliquées à une moitié de la ferme se réduisent à un couple [pa„ — pa)^ dont la force est pa et le

bras de levier à très-peu près -a; ce serait rigoureusement -a

en négligeant le poids des bielles et tirants, simplification qui n'entraînera pas d'erreur sensible. Donc les forces horizontales doivent se réduire à un couple dont -pà' sera le moment.

Or ces forces horizontales sont : i"* la réaction mutuelle des deux moitiés de ferme en B; a*" la tension T du tirant; 3° la composante suivant AC de la réaction de l'appui soutenant la moitié considérée. Si l'on suppose que le tirant DE a été sufQsamment tendu, cette dernière composante pourra être nulle; la réaction mutuelle en B sera égale et contraire à T, et, en

SSl CBAFITBB MEUVUmE.

(lôsîgnant par b la disunce de DE au sommet B de la fwi&e, on aura

doii l'on lire

TcUc 0^1 1.1 tension qu'il conviendra de donner au tirant; elle se produirait d'elle-même par le seul fait de l'équilibre, vi tin dos appuis A ou C était disposé de manière à ne pouvoir cTiCTccT de réaction horizontale, ce qui entraînerait la nullité lie h ri'aetîon horizontale exercée par l'autre appui. Ordinatremi'ut coite condition n'est pas remplie, en sorte que la tensionTost réalisée par un serrage convenableque l'on effectue ,-11 moyen des procédés connus, par exemple avec un écrou ]HTiant deux surfaces de vis filetées en sens contraires; cet ornni. placé vers le milieu du tirant, assemble ses deux moilit'S el les fait marcher l'une vers l'autre, de manière à produire une tension si les points D et E sont fixes. On emploie aussi des vis de rappel placées h une extrémité du tirant qu'il s'agit de tendre, ou bien des clefs et contre-clefs analogues à relies des têtes de bielle usitées dans les machines a vapeur.

Les tensions S et Q des tirants BE, CE et de leurs symétriques BD, AD sont produites artificiellement par des moyensiinalogues. En opérant le serrage, le constructeur doit remplir relie condition que les bielles FD, GE soient assez pressées ronire leurs arbalétriers pour annuler les flèches que ces pièces tendraient à prendre aux points' F et G. Dès lors, par lies considérations semblables à celles dont on a fait usage au n" 173, en appelant R la pression totale de l'une des bielles el p l'angle dès arbalétriers avec l'horizontale AC, on est conduit à l'égalité

De même on voit que la réaction appliquée au point C, normali-ment à l'arbalétrier, est exprimée à la fois par -^pacosp et par pa cos^ — Qsina, a étant l'angle de l'arbalélrier srec

srsTfiHiJS auticulës sahs frottembnt. 553

un des tirants qui soutiennent la bielle. Donc on a

-TV pa cos §=pa cos p — Q sin «,

et, par suite,

ibsina

EnGn on trouve la tension du tirant BE par un procédé analogue, en exprimant que la somme algébrique des projections des forces S et T, sur la perpendiculaire à l'arbalétrier, doit

être égale à -r^pacos^, ce qui donne

Tsini3 — Ssinar=; —-.paco^p

„__.si»|3 3pacos3 pa /«sin^ 3 \

Connaissant les forces Q, II, S, T, qui s'exercent symétriquement sur les deux moitiés de la ferme, la vérification de la résistance devient facile, comme dans l'exemple du n"173.

Quelquefois, quand la portée devient un peu considérable, on ajoute à la ferme un poinçon pour soulenir<le tirant DE en son milieu et rendre insensible sa flexion, qui produirait un effet désagréable à l'œil. La tension de ce poinçon doit être alors les cinq huitièmes du poids du tirant. L'introduction d'une aussi petite force dans le système ne modifie pas sensiblement les résultats que nous avons tionvi'!:^.

Dans certaines circonstances, afin d'éviter la poussée liorizontale que doit produire la ferme quand elle se dilate par suite d'un accroissement de température, les deux exirémîlés inférieures des arbalétriers ont été reçues dans deux sabois de fonte, dont l'un a été fait mobile sur des rouleiles. Lu course du sabot mobile s'effectue suivant une liorizontale; elle eal d'ailleurs limitée par la fixité rie l'autre sabot ou par des arrêts qui ne lui permettent qu'une amplitude convenable. On peut éviter aussi que les variations de tenipéralure ne soient accompagnées de changements plus ou moins nuisibles

554 CHAPITEE NEUVIÈME.

dans le serrage des tirants; il sufGt pour cela de constituer toute la ferme avec des matériaux ayant le même coefGeieDi de dilatation, parce qu'alors le système» en se dilatant, resterait semblable à sa figure première. Cependant il ne paraît pas, d'après rexpérience acquise des constructeurs, que ces précautions aient une grande importance pratique, et le plus souvent on ne s'assujettit pas à les observer.

£nfin nous remarquerons qu'il paraît assez difficile de réaliser exactement pour les cinq tirants le degré de serrage convenable, correspondant à la tension indiquée par les calculs précédents. Peut-être serait-il bon de chercher un procédé d'un emploi facile pour connaître la tension qui existe dans un tirant, quand il est posé et serré; car, faute de ce procédé, il reste nécessairement beaucoup d'incertitude sur les actions moléculaires effectives auxquelles sont soumises les diverses pièces.

175. Autre système de charpente enfer, — Quand la portée devient considérable, on est quelquefois obligé d'avoir recours à un système un peu plus compliqué que le précédent, aGo d'éviler l'emploi d'arbalétriers de trop grande section. A cet effet, comme l'indique le croquis ci-dessous [Jig. 8i), au lieu

Fij;. 8i.

de soutenir les arbalétriers en un point seulement, outre les extrémités, on leur donne trois points d'appui intermédiaires, de sorte qu'ils sont comme des poutres à quatre travées égales. Ainsi donc, après avoir tracé les deux arbalétriers AB, BC et les lignes AD, DE, DF, EC, EB, EG, DE, comme si l'on voulait reproduire la Jig. 80, on ajoute à l'arbalétrier AB deux

STSTÈMES AUTICDLÉS SANS FROTTEMENT. 555

bielles KM, HO, articulées à leurs deux extrémités, et deux tirants FO, FM; les tirants BD et AD sont remplacés chacun par deux autres BO et OD, AM et MD. Les cinq points A, K,

F, H, B sont, comme on Ta dit, également espacés; les deux triangles AMF, FOB sont égaux et semblables au triangle ABD. Les mêmes additions et modifications sont faites pour le côté droit de la figure.

Le calcul des forces extérieures appliquées à chaque pièce est tout à fait analogue à celui qu'on a vu au n"* ilk. Les appuis en A et C doivent d'abord exercer chacun une réaction verticale exprimée par /?a, en conservant les mêmes notations; la tension T du tirant principal DE, nécessaire pour anéantir la poussée horizontale, sera,, en vertu des mêmes raisonnements, égale à •—-• Si Ton suppose, comme au n° 174, que le

serrage des tirants secondaires est opéré de manière à détruire la flèche de l'arbalétrier aux points où il est soutenu par les bielles, les forces normales exercées sur l'arbalétrier en B, I,

G, L, C auront les valeurs suivantes (n° W), savoir :

R' — ^ pacos^f au milieu G,

R'' -- - pa ces 3, en I et L,

R"'= — pflcosj3, en B et C.

Les deux forces R" ne sont autre chose que les compressions des bielles PI et NL; les autres nous serviront à établir des relations entre les inconnues qui restent à trouver.

Ainsi la réaction R"' en C est produite par les composantes, suivant la normale à BC, de la force pa due à l'appui et de la tension Q du tirant NC; donc on a

/>ûCOsp = /?acosj3 — Qsina,

^ lai cosô

Q = pa — — - •

112*^ sma

En procédant de même pour le point B, avec la force T, action

556 CHAPITRE NEDTIÈVE.

mutuelle des deux moitiés de la ferme et la tension S du il-rant DP, on aura

pa cos 6 =1 T sin û — S sin a,

- Tsin3 II cosô S— pa-^-^y

sina 112^ sina

ce qui donne S, puisque T est connu.

Pour avoir les tensions Q', Q", S', S'' des tirants NE, NG, PE, PG, on pourra poser les équations d'équilibre des points N et P. Si Ton choisit pour axes de projeciion la parallèle et la perpendiculaire à Tarbalélrier, on obtiendra les équations

(Q Q'Q)slna-f-R'=o,

(S'~S"-S)sina4-R"=:ro,

relations d'où Ton déduira très-facilement Q% Q^ S', S*, les quantités Q, S, R" étant déjà déterminées. On trouvera

Q'' — S' = — : — = - pa —. — ^ ) 2. sina 7 '^ sma

85 cosp

Q = pa-T-^-i

112^ sina

S'= —-(TsinS- ^otfcosp sina\ ' 112'^

Enfin on détermine la pression R de la bielle GE en exprimant que la somme des projections sur la ligne GE des forces R, 0", S'' est égale à la réaction R' que l'arbalétrier doit recevoir en G ; donc on a

i^/?a cosp = R - (Q" -f- S") sina,

et finalement

R =: —J^pacos^.

Toutes les forces extérieures qui sont appliquées à chaque

pièce étant maintenant connues, la vérification de la résistance ou le calcul des dimensions transversales s'effectuera sans difficulté.

176. Poutres en treillis : i" poutres simplifiées. — Nous considérerons d'abord le système simplifié que représente la fig. 82. La poutre est formée de deux cours de liges horizontales placées dans le même plan vertical, suivant les lignes

ABCD.. ., A'B'C'D'. . .; ces tiges sont censées articulées entre elles aux points B, C, . . . et aux points B', C, .... En ces mêmes points, ainsi qu'en A et A', sont articulées d'autres liges inclinées AA', A'B, BB', . . ., ayant toutes la même longueur et faisant par conséquent le même angle a avec la verticale. La poutre ainsi définie peut être posée sur deux appuis et chargée, en ses sommets A, B, C, . . ., A', B', C, . . ., de poids quelconques dans lesquels on suppose compris le poids propre des liges.

Quelle que soit la charge, comme il n'y a que deux appuis seulement, la Statique élémentaire permettra de calculer immédiatement leurs réactions : nommons Y la résultante obtenue en composant celle qui s'exerce à rextrémitc A avec le poids directement appliqué à celte articulation. Le point A doit rester en équilibre sous l'action de la force Y et de deux autres forces dirigées suivant AA' et AB, lesquelles sont les pressions ou tensions de ces deux côtés; ces deux dernières forces sont donc déterminées, puisqu'on connaît leur direction et leur résultante. Le parallélogramme des forces fait voir que

AA' supporte une pression — — et AB une tension Ylanga.

De même, si nous nommons Y' la résultante de la pression

— — subie par AA' et du poids suspendu en A', nous verrons

que Y' doit être tenue en équilibre par deux forces agissant

dans les directions A'B' et A'B, de sorte qu'il suffira de décomposer Y' suivant ces deux lignes pour en conclure les pressions ou tensions correspondantes. On passera eosuite au point B; nommant Y" la résultante du poids suspeodu en B et des forces déjà trouvées qui agissent suivant BA, BA', on décomposera Y" suivant BG et BB', ce qui fera connaître les efforts supportés par ces deux tiges. El ainsi de suite, en parcourant successivement les sommets suivant la ligne brisée AA' BB'CC . ., on finira par avoir déterminé, de proche en proche, loules les forces intérieures du système.

Celte méthode, fort simple en principe, réussirait toujours avec une distribution quelconque des charges sur les sommets; mais elle serait d'un usage pénible, si Ton voulait effeciuer graphiquement, par la règle du parallélogramme des forces, les nombreuses compositions ou décompositions qu'elle exige. Dans la pratique, il vaudrait mieux disposer les consiruclions géométriques conformément aux indications suivanles.

Pour plus de clarté, nous raisonnerons sur un exemple particulier; mais il sera bien facile de le généraliser et d'en conclure ce qu'on aurait à faire dans le cas général. Supposons que la poutre présente cinq triangles analogues au triangle AA'B de la^g^. 82, comme on le voit sur la^îg*. 83; supposons de plus que tous les poids attachés en A', B, W, C, C, ..., £' soient égaux entre eux. Ces poids éiaai au nombre de neuf, il faut, pour Téquilibre, supposer aux extrémités A et F des forces verticales ascendantes Y, Y,, ayani une intensité quatre fois et demie plus grande. Nous avons ainsi un système de forces données que nous numérotons de 1 à 11, en commençant par celle du point A et parcourant le périmètre extérieur du système dans un sens déterminé AA'. . .ET. . .A; nous donnons ensuite des nvmëros à peu près arbitraires aux tensions ou pressions intérieure) des côlés, qui sont inconnues et que nous voulons déterminer par une construction géométrique. r

A cet effet, on portera d'abord bout à bout, en pariant d'une origine 0 quelconque, les forces données, dans Tordre de leurs numéros; le polygone des forces ainsi construit doit revenir en 0 et se fermer, puisque ces forces se font équîUbre.

STSTGiiES articulas SAH8 PROTTEaENT. 55g

Tous les sommets tombent sur la verticale GU; pour mieux montrer les extrémités de chaque droite représentative d'une force, on a dédoublé cette verticale en quatre autres qui sont tracées à côté, mais qu'il faut, par la pensée, reporter sur GH.

fiR. 83.

Maintenant nous allons, comme dans la première méthode, passer successivement et dans le même ordre par les points A, A', B, B', C, - -, E', F; pour chacun d'eux, nous construirons, non pas des parallélogrammes destines à composer ou à décomposer les forces, mais bien des triangles ou polygones des forces, remplissant le même but, et, afin d'obtenir la plus grande simplicité possible dans cette construction, nous ferons en sorte que la ligne représentaljve d'une force quelconque n'y soit jamais répétée deux fois.

Commençons par le point A -. nous effeciuons la décomposition de la force i ou Y en deux autres, dirigées suivant AA' et AB, au moyen du triangle OCI, dans lequel OG = Y, de sorte que Ul et IG, menés parallèlement aux forces i3 et 12, représentent les intensités de ces forces. Seulement on doii Ici faire un choix qui n'est pas sans importance, au point de vue de la simidicité qu'on veut donner à l'ensemble des con-

56o CUAPITRE NBUTIÈJIE.

struciions géomélriques : au lieu de mener une horizontale en 0 et une ligne Inclinée en G, on aurait pu faire Tinverse, et il faut savoir pourquoi c'est le premier parti que Ton doit prendre. Afin de se décider dans celte circonstance et dans les autres circonstances analogues qui se présenteront, il faut toujours adopter pour règle de donner une extrémité commune aux forces qu'on devra ultérieurement composer ensemble, parce qu'elles agissent en un même point du système articulé. C'est le motif qui nous fait choisir le point 0^ et non pas G, poury mener l'horizontale représentative de la force i3: le point 0 est en effet (dans le polygone des forces données) une des extrémités de la force ii, et nous aurons plus tard à composer 1 1 avec i3, quand nous en serons au point B. Ainsi la force ascendante OG ou i est déQnitivement remplacée par le contour 01, IG, ayant mêmes points de départ et d'arrivée.

Passons maintenant en A'. La force 12, qu'on vient d'obtenir, doit être composée avec 2, ce qui donnerait la ligne IK, inutile à tracer; celte résultante IK sera remplacée par le contour IL, LK, formé de parallèles à A'B et A'B', ce qui fera connaître les forces i4 et i5. Nous avons mené la ligne inclinée par le point I et l'horizontale par le point K, au lieu de faire l'inverse, parce que nous donnons ainsi : 1" une extrémité commune 1 aux forces i3 et 14? toutes deux appliquées en B et devant bientôt être composées ensemble; 2*» une extrémité commune K aux forces i5 et 3 appliquées en B' et devant aussi être composées ultérieurement.

Nous allons ensuite au point B. Les forces 11, i3 et i4 sont représentées et portées bout à bout au moyen des lignes déjà tracées MO, 01, IL; leur résultante serait ML. On la décomposera de même en une force MN parallèle à BC et une force LN parallèle à BB', ce qui détermine les inconnues 16 et 17. On a mené l'horizontale par M et non par L, parce que les forces 17 et 10, qui agissent en C, ont ainsi le point M commun; de même, en menant la ligne inclinée par L, les forces 16 et i5 appliquées en B' ont Textrémité L commune.

On procédera tout à fait de la même manière à l'égard des points suivants B', C, C, . . ., E'. En chacun d'eux on a toujours à composer des forces données ou déjà déterminées, et il se trouve que leurs lignes représentatives sont déjà portées

bout à boui, en vertu des constructions précédemmenl effectuées; les deux extrémités de la résultante étant connues, on décompose celle-ci (sans la tracer) en deux composantes, l'une horizontale, l'autre inclinée, en menant par lesditcs extrémités des parallèles à ces deux directions. On choisit» toujours d*après le même principe, celle des extrémités par laquelle il faut mener soit Thorizontale, soit la ligne inclinée. Voici l'indication des lignes à mener successivement :

Points.

Lignes à tracor.

Points de départ

PQ et NQ

P et N

RS et QS

R et Q

TU et SU

T et S

VX et UX

V et U

Za et Xa

Z et X

5 Y et a-y

3 et a

Arrivé là, on peut remarquer que la résultante des forces 27, 28 et 6 est égale à la force 3o. Si donc nous joignons H y, nous obtiendrons l'intensité de celte force, et de plus il faudra que celte ligne soit parallèle à E'F, ce qui fournit un contrôle de l'exactitude des opérations graphiques. Quant à la résultante des forces 2g et 3o, on voit qu'elle coïncide bien avec la force Yi ou 7, comme cela doit être.

La détermination des forces inconnues est mainlenanl complète. Au surplus, dans le cas d'un système entièrement s)^métrique par rapport à la verticale du milieu C, tel que nous l'avons pris, il est évident qu'on aurait pu se dispenser de faire les constructions relatives à la seconde moitié, car les pressions ou tensions dans deux côtés symétriquement placés doivent être les mêmes, et la seconde moitié ne fait que reproduire les résultats obtenus pour la première.

Après avoir trouvé les forces inconnues exercées suivant les divers côtés du système articulé, il faut encore savoir distinguer quels sont les côtés qui éprouvent une tension proprement dite et ceux qui sont réellement soumis à une pression. Or, cela n'offre aucune difficulté et ne demande qu'un peu d'attention. Prenons, par exemple, les forces agissant en A : la force Y ou i a été décomposée en dmix auires, représenlées en grandeur, direction et sens par 01 et IG, la