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représente les constructions à effectuer, dans l'hypothèse de (jualre poids égaux attachés en B, C, D, E. Après les explicalions données sur le cas précédent, le lecteur comprendra

sans peine le iracé de celle figure, ei il serail oiseux de répéier une seconde fois ce que nous avons déjà dii. On remarquera seulenieni que les lensions i5 el 17 soni nulles : c'esl pour celle raison qu'elles ne figureni pas dans la conslrucUon servant à déterminer les forces inconnues (*).

Le calcul donne aussi une solution très-simple du même problème, consistant à déterminer les forces intérieures dans la poutre articulée AA'BB'. . . [fig, 82, p. 557), sous l'action de poids quelconques suspendus aux divers sommets.

Considérons C et C comme deux sommets de rang quelconque /, le numérotage commençant par o en A el A', et marchant de gauche à droite. Nommons

T, la tension du côté BC; // celle du côté incliné CD; 0, la compression de B'C; qi celle de CC

Les mêmes lettres affectées d'autres indices désigneront les forces analogues agissant avant ou après les points C et C; ainsi T,^., serait la tension de CD, Q/^, la compression de CD', /,, la tension de B'C, etc. Il ne peut d'ailleurs y avoir aucun inconvénient à préjuger d'avance, comme nous le faisons, la nature de rcffort intérieur subi par chaque côté : quand on se trompe sur le sens d'une de ces forces, elle figure partout dans le calcul avec un signe contraire à celui qu'elle devrait avoir, de sorte qu'on est averti de l'erreur en trouvant finalement une valeur négative pour cette inconnue, et qu'il est alors facile de rétablir les choses conformément à la réalité. Cela posé, faisons d'abord une section verticale par un point du côté Cl), dans l'iniervalle de ses extrémités, et considé-

(*) L'emploi des constructions graphiques pour obtenir la solution des problèmes de Mécanique appliquée a pris, depuis quelques années, une grande extension, et l'orme tout un corps de doctrine auquel on a donné le nom de Statique graphique. C'est une science d'origine française, dont le germe se trouve en grande partie dans les travaux de M. Chasles et de Poncelel, mais qui doit de nombreux et très-importants développements à plusieurs savants étrangers, parmi lesquels nous citerons MiVI. Culmann, Cremona et Bauschinger. Le lecteur qui voudrait la connaître plus à fond peut consulter leurs Ouvrages ainsi que le Traité de Statique graphique publié par M. Maurice Lévy, ingénieur des Ponts et Chaussées.

564 CHAPITRE NKUVIÈaiE.

rons réquilibre, en projection verticale, des forces qui agissent sur la portion de poutre à droite du plan sécant. Nous avons d*abord les forces T,+„ Qi>,, ti destinées à remplacer la réaction de la partie supprimée, parmi lesquelles la troisième seule donne une projection verticale, qui est ascendante et a pour valeur /icosa; on doit obtenir une somme nulle si on lui joint la somme algébrique des forces verticales, prises positivement dans le sens ascendant et appliquées depuis la section dont il s'agit jusqu'à Textrémité de droite. Nous conserverons à celte somme le nom à'effort tranchant, comme dans la théorie des poutres droites ordinaires (n® 191; en la désignant par P, nous aurons

(i) /.cosa -j- P = o,

équation qui permet de calculer toutes les tensions /|. De même, en faisant passer la section verticale dans l'intervalle des extrémités de CC, et appelant encore P l'effort tranchant relatif à celte section, on aurait trouvé, par le même raisonnement, réqualion

(2) 5,cosa -h P = o,

au moyen de laquelle on obtiendra toutes les compressions ç,. Ainsi, en résumé, la tension ou compression d'une tige inclinée quelconque est égale, en valeur absolue, au produit

de par l'effort tranchant dans une section verticale qui

cosa ^ ^

rencontre celle tige; si cet effort tranchant, évalué dans le sens indiqué ci-dessus, est positif, il y aura pression dans les tiges parallèles à CD et tension dans les tiges parallèles à CC; l'inverse aura lieu quand l'effort tranchant deviendra négatif. Faisons passer maintenant notre section verticale par le milieu d'un des côiés horizontaux, BC par exemple, ou (ce qui revient au même) par le sommet B'. Appliquons à la partie de poutre située à droite de ce plan l'équation des moments relativement à B' : si nous nommons h la hauteur de la poutre et X le moment fléchissant (n** 19) pour la section faite en B', le signe -f- étant donné aux moments des poids appliqués enire B' et l'extrémité de droite, nous aurons de cette manière

(3) T.A-^Xrz^O.

Si Ton avait pris la section verticale par le milieu de B'C ou parC, réquaiion des moments relativement à ce dernier point, pour la portion à droite du plan sécant, aurait été

X désignant, bien entendu, le moment fléchissant pour cette nouvelle section. Les équations (3) et (4) donnent toutes les forces T| ei Q„ ce qui complète la détermination des actions intérieures de la poutre. Les pressions et tensions dans les longrines horizontales dépendent seulement, comme on le voit, des moments fléchissants calculés pour certaines seclions équidistantes, en nombre égal à celui des côtés horizontaux tels que AB, BC, . . ., A'B', ....

Après ces indications générales, nous allons étudier plus en détail quelques cas particuliers, dans lesquels nous supposerons toujours les poids attachés exclusivement aux sommets inférieurs B, C, D, . . . .

(a) Cas cViine charge isolée, — On suppose un poids unique 7.pk attaché au sommet inférieur de rang k\ le nombre des segments AB, BC, ... de la longrine inférieure est n -f- 1. Les réactions des appuis ont alors pour valeurs

En A Y — 1IK

A rextrémité droite Y, = 'ip^

Par suite, relTort tranchant n'a que deux valeurs différentes, savoir :

A gauche do ip^ P = — 2/^^ -^- Y, = — Y,

A droite de ip^ P inz Y,.

On conclut de là, par les équations (i) et (2), qu'à gauche

de 20* toutes les tiges parallèles à AA' supportent une pres-

sion -) et les tiges inclinées dans l'autre sens une ten-

cosa

sion de même grandeur; qu'à droite de 2/?* l'effort tranchant

passe au positif, les directions se permutent réciproquement

pour les tiges tendues ou comprimées, et l'intensité devient Y,

— — pour les pressions comme pour les tensions, cosa ^ ^ ^

On peut encore énoncer la règle suivante, comme consé-

566 GHAPITRB NEUVltHE.

quence des remarques ci-dessus faites au sujet de la nature des actions intérieures dans les tiges inclinées :

Parmi les tiges inclinées^ celles qui rencontrent la verii^ cale 2pk en dessus de la poutre sont soumises à une compres^ sion; il y a tension^ au contraire y dans celles qui rencontrent la même verticale à une hauteur ne dépassant pas la longrine inférieure.

Le calcul du moment fléchissant qui entre dans les formules (3) et (4) n'offre aucune difficulté, puisque la pièce n'est soumise qu'à trois forces extérieures connues : Y, ipk, Yi. Sans nous attacher à l'effectuer, nous remarquerons seulement que ce moment est toujours négatif : pour une section à droite de 2/?^, il se réduit au moment de la force ascendante Y, ; pour une section à gauche, il se réduirait de même au moment de Y; et d'autre part nous avons adopté comme sens positif celui du moment d'une force descendante. Il résulte de là que les formules (3) et (4) donneront des valeurs positives pour T, et Q„ quel que soit i, c'est-à-dire que la longrine inférieure se trouve partout soumise à une tension, et la longrine supérieure à une compression. On peut ajouter, d'après les propriétés connues du moment fléchissant produit par un poids unique sur une poutre à deux appuis (n** 27), que les tensions et compressions sont décroissantes depuis la verticale 2/74 jusqu'aux deux extrémités de la poutre.

(6) Cas d'un nombre quelconque de poids. — Nous supposons un nombre quelconque de poids 2/1*, suspendus toujours aux sommets inférieurs. Le principe général de la superposition des effets des forces est applicable, comme il est facile de le constater directement, au calcul des réactions Y et Yi; par suite, il s'étend immédiatement aux quantités P et X, et, en vertu des formules (i), (2), (3), (4), aux forces intérieures /,, qh T,> Q,. On en lire les conséquences suivantes, qu'il suffit d'énoncer pour en voir la démonstration.

Quels que soient les poids 2/7*, les liges horizontales inférieures se trouvent toujours tendues, et les tiges supérieures comprimées; la tension ou compression de chaque tige horizontale va en croissant à chaque poids nouveau qu'on ajoute et devient la plus grande possible quand la charge est complète.

S\sTftMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 667

La lige inclinée CC [Jig, 82, p. 567) est rencontrée au-dessus de la poutre par les verticales de tous les sommets tels que 1) situés au delà de C jusqu'à l'extrémité de droite, tandis qu'elle est rencontrée au niveau de la longrine inférieure ou en dessous par les verticales des sommets compris dans la partie gauche AC (le point C étant compté dans celte partie); de là résulte que tous les poids suspendus en D ou plus loin vers la droite comprimeront CC, et tous ceux qu'on suspendra en C ou plus à gauche produiront une tension dans la même tige. La réunion de tous les premiers poids donnerait lieu à la compression maximum deCC; la réunion de tous les autres produirait le maximum de tension. On arriverait à un résultai tout à fait semblable pour la lige B'C inclinée en sens contraire : elle serait tendue au maximum par la réunion des poids attachés en C, D, ... jusqu'à Texirémiié droite, et comprimée au maximum par l'ensemble des poids qu'on sus pendrait aux autres sommets inférieurs sur la partie gauche.

(c) Effet d'une charge uniforme et complète. — Un poids constant 2/7 agit à tous les sommets inférieurs B, C, D, . . ., dont le nombre est n; les réactions aux deux extrémités ont pourvaleur np. Imaginons lesforces intérieures ellessommets numérotés comme on l'a dit plus haut avant de procéder à la démonstration des formules (1), (2), (3) et (4)« Dans le cas particulier actuel, on trouve pour les valeurs des quantités P et X qui entrent dans ces formules :

Effort tranchant dans Tintervaile de C à D,

p rrr: np — [n — i)2p =1 — [n — 2 / ) /; ;

Moment fléchissant en B',

X = 2p/i tanga[i H- 3 -h 5 -h . . . -!- (2/1 — 2/-^- 1)] — np/i lang 5c ( 2 /i — 2 / -f- 3 )

= ph langa [2 ; n — / -r ; )^ — n ( 2 /i — 2 / -h 3 ) ]

= ph tanga [ — n — i{i — i][n — / 4- i ) ] ;

Moment fléchissant en C,

X = ^ ph iang a\i -h 1 -h 3 -h, . .-î-(/i - i)]— 2nph langa(n— ih-i) = — 2i[n — / 4- i) ph tanga.

«^^ CHAPITRE NEOVIÈMB.

iV lîi ou tire immôdiaiement

in — ii]p

T. />langa[/i -f- 2(/ —■ i){n — i-h i)], ()^ : a/(n — /-+- i)/?langa.

f %n^mr on le voit, les pressions ou tensions des liges in- ,'ïinv^ (.. ft) décroissent uniformément des extrémités au pvii,M /îi^ la poutre : leur maximum, pour iz=o ou i = n,

pst "^ i leur minimum est o ou ^ ? suivant que n esl pair

<v»vA cosa