ir.'.jViir et répond à /= -ou / = Quant aux près

»iî/^»r»^ ou tensions (Q„ T,) dans les longrines horizontales, on v/» i 4»u contraire qu'elles croissent parabollquement des extré-

n v^sau milieu. La tension T| devient maximum pour /— 1=- /< prend alors la valeur

T = p tanga( n -{ \ z= - p ianga[(n -h i)'— i];

V), serait maximum pour /= et aurait alors la valeur

Q'=-p[n-h i)Hanga,

dont le rapport à T' sera très-rapproché de i, pour peu que n alleigne 4 ou 5. De ces deux maxima un seul d'ailleurs se réalise rigoureusement, parce que i ne peut recevoir que des

valeurs entières, et que sur les deux nombres - et il en

est un nécessairement fractionnaire; l'autre maximum ne se réalise qu'à peu près pour la valeur entière de i la plus voisine de la valeur fractionnaire à laquelle répond le maximum algébrique.

(d) Effet d'une charge uniforme et complète^ jointe à une surcharge également uniforme, mais pouvant être à volonté complète ou incomplète. — Soient 2p un poids attaché à chaque sommet inférieur, 2/?' une surcharge attachée à tels de ces

SYSTÈaiES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 669

sommets qu'on voudra choisir, en se réservant de faire le choix le plus défavorable à la résistance. Les remarques cidessus présentées (a) sur Teffet spécial de chaque poids ^pk démontrent qu'un segment quelconque des longrines horizontales éprouve, sous chacun de ces poids, des efforts toujours de même nature, et que par conséquent il est tendu ou comprimé au maximum quand tous les sommets ont leur surcharge. On rentre alors dans le cas d'une charge uniforme et complète, et les formules précédentes [c] permettent de calculer les T» et Qi avec le système de charges le plus défavorable, consistant en un poids 2 (/? + />') attaché à chaque sommet inférieur.

Mais il n'en est pas de même pour ce qui concerne les liges inclinées. Si nous éludions seulement la moitié gauche de la poutre (ce qui suffit, en raison de la symétrie), nous voyons d'abord que TeiTet de la charge permanente est de comprimer toutes les tiges parallèles à A A' [Jig, 82, p.ôS^) et de tendre toutes les tiges parallèles à A'B; l'intensité des efforts est donnée par la formule

[n — ii]p

ti — 7i

cosa

dans laquelle i ne dépassera pas -• A cet effort se superpo-

sera, dans chaque tige, celui qui serait produit par la surcharge seule, et qui varie entre deux limites, savoir :

La compression produite par tous les poids 2/?' coupant la tige en question au-dessus de la poutre;

La tension due aux poids 7,p' rencontrés par la même tige au niveau de la longrine inférieure ou au-dessous.

En déterminant ces deux limites et les ajoutant algébriquement à l'effet de la charge permanente, on aurait les limites entre lesquelles varie la tension ou pression de chaque tige inclinée sous l'action simultanée des poids 2/? et ip\ ces derniers étant pris dans toutes les combinaisons possibles. Quoique cette recherche n'offre aucune difficulté, nous ne l'effectuerons cependant pas, parce qu'on préfère suivre un autre procédé dans la pratique; voici quel est ce procédé.

Si la surcharge était complète, on a vu (c) que les forces ç,-,

i /♦.'♦: •v''-^^ 'i»5 uniformément des extrémités au milieu de la ♦..i"*»' .i-*:.n> un maximum —^^ — ^— ^ jusqua un mmimum

*^rif ;i 2^-o OU à - ' Au lieu de cela, on se borne à faire

•^^* cosa

vi.'cpjr'wre uniformément les ^i, /, depuis le même maximum

;,js4T jL\â uu minimum qui en serait seulement le quart, soii

? ^ ' ^-; on admet qu'on a, de cette manière, suffisamment

.i:iurduu\ effets défavorables pouvant résulter de la suppression pjrtiello des poids Q.p'. En réalité, celle règle tend à faire attribuer aux forces g,, // des valeurs généralement un peu trop grandes.

i77. 7.^ Poutres en treillis proprement dites, — Pour passer du système que nous venons d'étudier aux poutres en treillis, lelles qu'on les emploie le plus ordinairement, on fera usage des aperçus approximatifs ci-après. D'abord les tiges horizon* taies articulées à leurs extrémités pourront être remplacées par des poutres dont ABCD. . ., A'B'C'D'. . . (Jîg. 82, p. 557) seraient les fibres moyennes, car ces poutres, n'ayant que de petites dimensions transversales, eu égard à leur ouverture, jouiront d'une flexibilité considérable qui permettra de les assimiler théoriquement à des corps formés d'une série d'éléments joints entre eux par des articulations. £n second lieu, on imaginera que la tige inclinée AA' est subdivisée en plusieurs autres tiges de même direction, également espacées el réparties entre A A' et BB', et qu'une transformation tout à fait pareille a été opérée sur les autres tiges inclinées. On conçoit

(jue, si ÀB est une fraction suffisamment petite de la distance totale des appuis, ce second changement n'aura pas encore notablement troublé les tensions et pressions des côtés horizontaux; et, quant aux côtés inclinés, les groupes compris entre deux côtés parallèles et consécutifs du premier système travailleront, en somme, à peu près comme les côtés qu'ils ont respectivement remplacés. Ils devront donc avoir, en somme, la même section. La section de chacun d'eux en particulier pourra se calculer comme s'ils travaillaient tous également.

En venu d'une remarque faiie loul à l'heure, il conviendrait que le treillis eût une force plus grande vers les exirémilés que vers le milieu, tandis que les longrines ou moises horizontales seraient dans une condition contraire. Des expériences failes en Allemagne sur la rupture des poutres en treillis ont confirmé ce résultat, car la rupture du treillis a eu lieu dans le voisinage des extrémités.

Il est bien entendu que, pour autoriser le dédoublement fies liges inclinées au moyen duquel nous avons passé du système de \^ Jîg* 8^ à la poutre en treillis, il est nécessaire <le supposer que les tiges dédoublées ne sont pas liées à celles qu'elles traversent, en d'autres points qu'à leurs extrémilés. Cette liaison existe cependant en général dans la pratique-, mais, comme il serait difficile d'en tenir compte, on devra en faire abstraction, ce qui aura pour elfet de donner un surcroît de sécurité.

178. Autre solution du problème des poutres en treillis. — La question que nous venons de résoudre peut se traiter en adoptant un point de vue un peu différent, qui cependant conduit à peu près aux mêmes résultats, mais qui a l'avantage de rattacher la théorie des poutres en treillis à celle des poutres pleines et perqiel ainsi d'utiliser partiellement les propriétés démontrées au Chapitre II ainsi que dans la troisième Partie du Cours.

Etant donnée une poutre en treillis, coupons-la par un plan quelconque AB [fig. 85) mené perpendiculairement à son axe. Toutes les forces extérieures, y compris les réactions des i:ppuîs, qui agissent transversalement sur la poutre dans le plan de la figure, entre la section AB et une extrémité (celle de droite par exemple), peuvent toujours se réduire à une résultante de translation P et à un couple X. Ces deux quantités ne sont autre chose que ce qu'on a nommé Y effort tranchant et le moment de flexion dans la théorie des poutres droites; nous les supposons évaluées en adoptant les sens positifs indiqués par les flèches. La partie du système située à la droite du plan AB doit être en équilibre sous l'action de la force P, du couple X et enfin des réactions qu'elle reçoit dans le plan AB, en vertu de sa liaison avec la partie située à

$7^ CHAPITRE NBUVIÈMB.

gauche. Ces réactions ne sont autre chose que les pressions et tensions des liges rencontrées par ÂB (>]. Nous supposerons a /?nor/ : I® que toutes les tiges parallèles'à CD sont comprimées et que les tiges parallèles à CE sont tendues;

2° que la pièce horizontale supérieure éprouve une comprei-sion Q et la pièce horizontale inférieure une tension T. Les erreurs que nous pouvons commettre sur la vraie nature des efforts ne sauraient avoir, comme on Ta déjà remarqué {n**176\ aucun inconvénient; elles se manifesteront, dans le résuliai final, par les valeurs négatives des inconnues, et alors 11 seni bien aisé de les rectifier. Il suffira pour cela de considérer une pression négative comme représentant une tension, ei vice versa.

Toutes les tiges parallèles à CD et rencontrées par AB soni attachées en des points de la ligne A^ occupant une longueur au plus égale à A langa, en nommant A la hauteur de la poutre et a Tangie des liges du treillis avec la verticale; elles forment la moitié des liges dans lesquelles nous supposions précédemçnent (n^'lTT) qu'on dédoublait une tige inclinée quelconque de la ^^. 8i (p. 557), CC par exemple. Les compressions de ces tiges étant supposées varier d'une manière continue avec l'abscisse x, on pourra les considérer comme égales,

(') Chaque tige est ceusée articulée en ses deux pointa extrêmes; dans rintervalle elle ne supporte que son poids propre, lequel est considéré comme négligeable. Des lors il faut, pour l'équilibre de cette tige, que les deux résultantes appliquées aux deux centres d'articulation soient égales et contraires, et, par suite, ta tige n'éprouve qu'une tension ou compression directe.

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 5'j3

parce que Atanga sera, par hypothèse, une petite fraction de la longueur de la poutre (*); nous nommerons - leur résuN

tante, et q aura ainsi la signification qu'on donnait tout à Theure à Çi (n® 176). De même toutes les tiges parallèles à CE, qui viennent couper AB, pourront être regardées comme également tendues, et nous désignerons par - la tension résultante, t étant ce qu'on appelait précédemment /|. Les deux résultantes - et -> provenant de forces à répartition à peu près ■£ ^

uniforme, seront appliquées à peu près au milieu de la hauteur A.

Cela posé, nous écrirons les trois équations d'équilibre des forces qui sollicitent la portion de poutre comprise enire le |)lan AB etTextrémité de droite, savoir :

Projections horizontales et verticales,

Q — T-i--(ûf — /)sina=o,

~ (? "^ 0 (^oscc -4- P — o;

Moments relativement au point A,

TA -f- 7(/ — gfjAsina -h X — o.

On n'a ainsi que trois équations entre les quatre incon-

(*) Cette condition domine tout le calcul que nous allons faire; les résultats seraient fort incertains si elle n'était pas remplie. Au reste, la méthode exposée plus haut (n^ 177) présente le même inconvénient, car nous avons été obligé, dans le cours du raisonnement, de faire cette restriction : si AB (ou a Atanga) est une fraction suffisamment petite de la distance totale des appuis. 11 faut donc admettre que le nombre désigne par n au n® 17G est assez grand, sans quoi l'on pourrait bien calculer les forces intérieures dans le système simplilié (n" 17G); mais le passage de ce système au treillis aurait quelque chose de trop arbitraire, et l'on pourrait en dire autant de notre &ecunde méthode. Dans la pratique, n varie le plus souvent de 4 à S : c'est à peine si cela nous parait siiflisant pour la justification des procédés que nous élisons connaître et qui sont généralement re<;us.

574 CHAPITRE NBUVifcaiE.

nues T, Q, /, q, et il semble que, pour achever de les déterminer, il serait nécessaire d'avoir égard à la manière dont le système se déforme sous Taction des forces; mais, pour éviter cette complication, nous aurons encore recours à un raisonnement approximatif. On a vu (n** 176) que, si tous les poids agissent sur la longrine inférieure, il en résulte la relation g,= ti, c'est-à-dire que deux tiges inclinées aboulissani au même point de la longrine supérieure sont Tune pressée, Tautre tendue par la même force; donc / ne diffère pas beaucoup de g, car 11 s'agit ici de tiges inclinées qui descendent en partant de points assez voisins les uns des autres. Un raisonnement tout à fait analogue s'appliquerait au cas où tous les poids seraient attachés à la longrine supérieure; la conclusion subsisterait donc aussi dans le cas le plus général, en vertu du principe de la superposition des effets des forces. Si, en conséquence, nous admettons Tégalité

la première des trois équations précédentes donnera

les deux autres deviendront

(5) /cosa -h P — o,

(G) Th-hX=^o,

ce qui fera connaître les forces / et T, et partant leurs égales q et Q.

Mais il faut, pour cela, qu'on soit parvenu à trouver par un moyen quelconque l'effort tranchant P et le moment fléchissant X. Cette question ne peut offrir aucune difficulté quand il s'agit, comme au n° 176, de pièces simplement posées sur deux appuis, dont la Statique élémentaire fait connaître les réactions, car on connaît alors toutes les forces verticales agissant sur la pièce depuis une section jusqu'à rexlréraiié, et il est facile d'en conclure leur somme algébrique P, ainsi que leur moment total X, relativement à un point de la seclion. Le problème est un peu plus complexe quand la poutre n'est pas simplement appuyée en ses points extrêmes ou quand

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 5'j5

elle a plus de deux appuis. Voici comment on le ramène à un problème déjà traité dans ce Cours.

Un élément dx de la longrine supérieure se raccourcit d'une

Tdx longueur — ,-> et l'élément de la longrine inférieure, situé

Tdx directement au-dessous, s'allonge de — '-•> en nommant e

et e" les ressorts longitudinaux des deux longrines (n***! et2); les deux plans verticaux, qui comprenaient entre eux l'espace dx avant la déformation, seront inclinés l'un sur l'autre dans l'état final, et leur angle s'exprimera par le rapport à h

de Tdx ( — -H „ ) î soit par

Cet angle infiniment petit n'est autre chose que l'angle de contingence pour la poutre déformée; en le divisant par dx, on a donc l'inverse du rayon de courbure, exprimé aussi,

comme on a déjà eu occasion de le remarquer (n®37), par

d^ y — ~T—^'^ ainsi l'on a

dx^ ~^ h ^ ■' ' -" ' ' ou bien, en vertu de l'équation (5),

'^' dx^" lAe'

Imaginons maintenant une poutre fictive dont la section transversale ne comprendrait que deux éléments w', ro", séparés par la distance verticale h et doués de ressorts longitudinaux e\ e"; ce sera la poutre donnée, débarrassée de son treillis, mais conservant une entière solidarité entre les deux iongrines. Supposons-la soumise aux mêmes charges, et, la traitant comme une poutre à section continue, appliquons-lui l'équation (lo) du n°20; ré(|uation de sa fiexion sera, si l'on appelle er' son moment <rinflexibirué,

5^G CHAPITRB MEUYlÈaiB.

Or le centre d élasticité de la section transversale est en un point 0 qui divise la dislance w'w' :=A en deux segments

i}^ . . *^ ,, 0^"= - -„i inversement proportionnels

À e et e ; lionc

er^ = —

yw l icn

er^

Fn vertu de celte relation, les équations (7) et (8) deviennent i.ieniiques entre elles, et, par suite, la poutre fictive fléchit jib>o!umenl comme la poutre donnée, sous Taction des mêmes charges. Si Ton se rappelle maintenant que les réactions des iippuis d'une poutre sont déterminées par les conditions de la Statique jointes à celles que fournit l'équation (8], on en conclura que ces réactions sont égales dans les deux poutres; les charges y étant déjà supposées les mêmes, il y aura donc finalement une complète identité entre leurs moments de Hexion aussi bien qu'entre leurs efforts tranchants. Ainsi ces deux quantités X et P se détermineront comme pour une |)0utre à section continue, en suivant les méthodes et employant les formules indiquées au Chapitre II de ce Volume, ainsi que dans la troisième Partie de notre Cours.

179. Comparaison de la solution précédente avec celle du n° 176; observations diverses, — Dans la théorie du n® 176, les pressions et tensions étaient considérées comme des fonctions discontinues, changeant brusquement de valeur en certains points, tandis que nous les avons regardées, au n**178, comme des fonctions continues d'une variable x. Les résultats obtenus avec ces deux hypothèses ne peuvent donc pas être absolument pareils; mais ils se ressemblent dans leur physionomie générale. C'est ce que nous allons constater dans le cas d'une poutre reposant sur deux appuis et chargée d'un poids à distribution uniforme.

Soient ia la longueur de la poutre et xs\q poids de la charge par unité de longueur; les autres notations étant celles des

articles précédents el Torigine des abscisses x [Jig. 85, p. 672) étant placée sur Tappui de gauche, on aura

X =:: mxiia — x]^

comme il est facile de le constater de suite, puisque chaque appui exerce une réaction ascendante égale à xsa. Par suite, on tire des formules (5) el (6) du n° 178

mla — x] ^ cosa

D'après cela, la force q commence par être positive avec x = o

et égale à — - 9 ce qui prouve que les liges parallèles à

CD [Jig. 85) sont comprimées aux environs de l'appui gauche ; sa valeur absolue décroît uniformément avec x, devient nulle au milieu de la pièce el repasse ensuite par les mêmes grandeurs en ordre inverse; son signe est négatif à partir de x = a, et dans la seconde moitié de la pièce les tiges parallèles ù CD supporlenl efîeclivemeni une tension. Quant à la tension T, elle est nulle aux deux extrémités, et dans Tintervalle on peut la représenter par les ordonnées d'une parabole à axe vertical, dont le sommet se trouve sur le milieu de la pièce et a pour

ordonnée — .-• Voyons maintenant jusqu'à quel point les

mêmes choses ont lieu dans la théorie du n** 176, en nous bornant d'ailleurs à supposer le cas d'une charge uniforme suspendue aux articulations inférieures.

On a trouvé pour la compression du côté AA' {/Ig. 82,

p. 557) » ou, ce qui revient au même, » car np

" cosa cosa ^

n'est autre chose que la moitié de la charge totale soutenue

parla poutre; donc, à égalité de charge, les deux méthodes

conduisent à la même compression pour les tiges inclinées