I. 3« édit
dans un certain sens, aux environs de Tun ou l'autre appui. L'égalité subsiste encore au milieu de la poutre, rigoureusement si le nombre n est pair (n° 176), approximativement d.ns le cas contraire. Les compressions déterminées par les deux théories forment ainsi deux séries de quantités uniformément décroissantes, depuis un même maximum jusqu'à un minimum nul ou à peu près' nul ; elles restent donc toujours sensiblement égales.
On peut raisonner de même à l'égard des tensions supportées par le surplus des liges inclinées; elles passent, en effet, par les mêmes valeurs que les compressions.
Les tensions T| des côtés horizontaux inférieurs [fig>^^]i ainsi que les compressions Q, des côtés supérieurs, ont un
maximum toujours peu différent de -/?(w -+- i)Manga au mi-
lieu de la poutre (n* 17G); le maximum analogue, dans la
théorie qu'on vient de faire, a pour expression —r- Or on a, par la définition même des lettres,
a (n -~ i) Alanga, /; rrr cj/i langa; donc aussi
-p[n-\- lUanga — - cjZ/tang'a -.—^ — ~ — r»
1^^ / o ^ D Aa langea ih
ce qui démontre l'égalité des deux maxima. D'ailleurs la décroissance des fonctions T, et Q, d'une part, T et Q de l'autre, à partir du maximum, s'opère, dans les deux cas, suivant une loi parabolique exprimée par une fonction entière du second degré; enfin les fonctions T^ et Q,, si elles ne s'annulent pas tout à fait pour les points extrêmes, se réduisent du moins à une faible fraction du maximum quand n est un peu grand. Donc les fonctions!,, Q, ne peuvent jamais s'écarter beaucoup des fondions T, Q, sauf le cas où le nombre n n'aurait qu'une valeur insuffisante.
Ainsi se trouve établie la coïncidence approximative que nous avions annoncée.
L'angle a ne doit pas être choisi arbitrairement, car il influe sur le volume toial du treillis. On a, en effet, reconnu ci-des-
SUS que toutes les liges inclinées, coupées à l'inlérieur même de la poutre par un plan vertical donné AB (fig. 85, p. 672), se partagent en deux groupes égaux, dont Tun résiste à une
tension totale - et Tautre à une pression - de même valeur,
ce qui fait en tout un effort t ou • Si donc on nomme R
^ cosa
la limite des efforts longitudinaux (pressions ou tensions)
par unité de surface, les sections réunies de toutes ces tiges
donneront une somme égale à ,-t » et, comme elles ont
^ Kcosa
pour longueur commune, leur volume sera 7; • Ces
C0S5C ■ Kcos'a
mêmes liges forment une longueur /aanga de treillis, mesurée
parallèlement à l'axe de la poutre; ainsi le volume de matière
dépense dans le treillis sur l'uniié de longueur horizontale,
aux environs du plan AB, s exprime par rr- — -- -. ou
^ » I r Kcos'a II langa
par 77—. — • Son minimum, quand a varie, répond au
Usina cosa
maximum de sinacosa ou de sin2a, ce qui conduil à faire l'angle a égal à 4^^°-
11 est d'ailleurs aisé de reconnaître que les efforts ï et Q (n° 178) ne dépcndenl pas de a, en sorte que celle variable n'exerce pas d'influence sur le volume des longrines horizontales.
Le volume dépensé en treillis, par unité de longueur hori*
zoniale, aux environs d'un plan vertical AB, élant i. .- ?
' llsinacosa
c'est-à-dire -j- lorsque a prend sa valeur la plus favorable, il
est bon de le comparer à celui qu'exigerait une ame pleine qui réunirait les deux longrines pour en faire une poutre continue avec section transversale en double T. On sait (n®49)
que l'âme doit avoir une section capable de résister à l'effort
tranchant, soit une section — si Ton suppose, comme d'habitude, que la poutre est en iMe et que cette matière a le même coefflcient de résistance pour tous les genres d'efforts moléculaires considérés au n° W. Le volume par unité de longueur
S8o CHAPITRE NEUYifcKE.
ne sera donc que la moitié de celui qu'on vienl de trouver pour le treillis. Quant aux bandes horizontales, elles se trouvent soumises aux mêmes pressions et tensions dans les deux cas, puisque les valeurs du moment X sont les mêmes (n°178) et que l'équation
TA ^ X = o
pourrait s'appliquer aussi bien à la poutre en double T qu'à la poutre en treillis ('); le volume total dépensé pour ces bandes n'est donc pas plus grand dans la poutre pleine, et l'excédent trouvé pour le treillis subsiste sans compensation. Mais, comme le dit M. l'ingénieur en chef Collignon dans un intéressant Mémoire sur le sujet qui nous occupe ('), « malgré cette infériorité économique du treillis, on ne renoncera pas à ce mode de construction pour s'en tenir exclusivement aux ponts à poutres pleines. L'élégance d'un treillis bien dessiné et l'aspect repoussant d'une paroi pleine ramèneront toujours un grand nombre de constructeurs à préférer le système le plus satisfaisant pour l'œil à celui dont le bon marché constitue l'avantage. »
Poids de la poutre en treillis par mètre courant. — Quand la poutre doit supporter une charge permanente uniforme, jointe à une surcharge également uniforme, mais pouvant ne couvrir la poutre que partiellement, on a démontré (n* 176) que les longrines horizontales se trouvent soumises aux plus grands efforts sous la surcharge complète. Il n'en est pas généralement de même pour les tiges inclinées; mais nous avons posé une règle pratique d'après laquelle on doit déterminer leurs efforts dans le voisinage des appuis en supposant la surcharge complète, réduire ce maximum au quart de sa valeur pour le milieu de la poutre et enGn calculer les valeurs intermédiaires dans l'hypothèse d'une variation uniforme. En somme, on voit donc que c'est la surcharge complète qui détermine toutes les pressions ou tensions limites, c'est-à-dire celles dont on a besoin pour fixer les équarrissages des di-
(') Cela suppuse qu'on Dé(;1i[;e la résistai ce de l'àme à la flexioD; mais, ii l'on en tenait compte, la conclusion subsisterait a fortiori, (') Annales des Ponts et Chaussées, i864, i*' semestre.
verses liges. On peut appliquer, dans la recherche de ces pressions el tensions limites, soit les procédés du n° 176, soit la méthode, au fond équivalente, du n** 178; mais, dans les deux cas, il est nécessaire de connaître le poids cj, par unité de longueur, de la charge maximum, surcharge comprise. Or le poids zs renferme : i° le poids propre gj' de la poutre; a*» le poids gj" de la construction placée au-dessus, en y joignant une surcharge dont les règlements administratifs ont fixé l'intensité; on a donc
la portion xs" étant une donnée immédiate de la question, mais Tû' étant au contraire inconnu a priori. Alors on détermine souvent xs en attribuant à g/ une valeur prise un peu au hasard et arbitrairement, sauf à vérifier plus tard que le poids réel de la poutre, d'après le projet définitif, n'est pas trop audessus de celui qu'on a supposé.
M. CoUignon, dans le Mémoire déjà cité, propose une marche plus rationnelle et en développe le calcul dans le cas d'une poutre en tôle reposant sur deux appuis. Voici à peu près comment il procède.
La tension ou pression dans les longrines est exprimée en
chaque point par y> au signe près (o° 178); la section transversale correspondante sera en conséquence t-jt pour chacune d'elles ('), et leur volume total V aura pour expression
ou bien, comme X est représenté par les ordonnées d'une parabole ayant aa de corde sur -tna' de flèche,
3/tK'
(*) Suivant l'usage généralement admis en France, nous n'adoptons qu'une même valeur de l'effort limite R pour le treillis et les longrines.
58^2 CHAPITRE NEUTIÈKB.
Ce résultat suppose que X aussi bien que T el Q s'annulent au-dessus des appuis, et que, par conséquent, les Iongrines y reçoivent une section nulle; cela ne pouvant pas avoir lieu pratiquement, M. Collignon force un peu le coeffi-
cient ^ et le remplace par -• Il prend donc
Le volume du treillis, rapporté à Tunité de longueur horizontale, doit varier proportionnellement aux efforts ( el g, ou, ce qui revient au môme, proportionnellement à Tefforl tran-
chant P; il s'exprime par — > lorsqu'on donne à a sa valeur
la plus favorable, égale à ^5°. De là résulte un volume total exprimé par
l'effort tranchant devant toujours être pris positivement sous
le signe i . Or la charge complète donnerait lieu à une force P
variable entre les valeurs extrêmes o et ma; mais on vient de rappeler que, pour le calcul des tiges inclinées, il faut supposer sa variation uniforme entre le maximum et le quart
du maximum. On aura donc -cjaln-^U soit Trisj^y comme valeur moyenne de P, et, par suite,
La somme V'-f-V' donne la plus grande partie du volume V de la poutre ('); pour avoir égard approximativement aux
(*) M. Collignon calcula encore un troisième volume; mais, outre que ce volume est peu important par lui-même, son poids porte directement sur les culées et n'itiflue pas sur les tensions ou pressions dans les diverses partie* de la poutre. D'ailleurs, nous en tenons un peu compte en augmentant légèrement le coelVicient de V'-+- V, que nous prenons égal à ^, tandis que M. Collignon indique seulement i,3 comme valeur moyenne.
portions négligées, telles que rivures et couvre-joints, pièces destinées au conireventement, etc., il sera bon de poser
Le volume moyen de la poutre, par mètre courant, sera donc — ou bien "tt ( 7 ~^- ô )' 6^> si Ton désigne par II le poids du mètre cube de fer, on aura
, ^Uafa 5\ na(Ts' -hw''] fa 5\ ^ - -Tl - [h -^ V = -Il il ^' 3 ''
ou, en résolvant par rapport à rn',
lia \/i 3 On peut encore en déduire le poids ro = ro' -+- m", ou bien
W — CJ
Puisque ro" est donné, la question se trouve résolue.
On remarquera que, pour une certaine valeur de a, le dénominateur de cj' et de tjj devient nul, en sorte que la poutre aurait un poids infini (à moins de supposer zd" = 0) et que la construction serait impossible; pour une valeur plus grande, il y aurait nécessité d'attribuer à gj" une valeur négative, c'està-dire de soutenir la poutre au lieu de lui donner une charge quelconque à supporter. 11 existe donc une limite pour la portée 2a d'une poutre en treillis soutenue par deux appuis simples; on la déduira de l'équation
R fa 5\
ïï -^U"^3;^"'
qui devient
584 CHAPITRE NBUYlftlIB.
quand on fait R == 6. lo' et n = 7800. La limite dépend d'ailleurs du rapport t; pour ^ = 5, par exemple» on trouverait
ia^= ~~. -^^ =r ?.3o"' environ;
hl)
mais', comme cette solution conduit à une hauteur h de 23", qui semble exagérée, il serait mieux sans doute de se fixer d'avance une hauteur maximum, 9" par exemple; alors la limite de a serait donnée par Téquation du second degré
d'où Ton tire
M. Collignon fait encore observer qu'un calcul analogue serait applicable aux poutres en double T simplement appuyées à leurs deux extrémités et construites avec une âme pleine au lieu d'un treillis; seulement, d'après ce qui a été dit plus
haut, le volume V" devrait se réduire à moitié, et, par suite,
le nombre -r se trouverait remplacé par -^ dans les expressions définitives de cr' et d« rs. Les portées limites répondant à ^ =: 5 et à A - r 9 se calculeraient de même, et Ton trouverait des nombres un peu plus grands, savoir :
2âr:-263'", pour t^=5,
la-- i6i"\ pour /ii^9"\
180. Poutres américaines dans le système de How. — Nous prendrons d'abord un système qui sera une simple modification de celui que représente \aJig.S7. (p»557); au Heu de faire succéder à chaque tige inclinée une autre lige inclinée en sens inverse, nous lui ferons succéder une tige verticale, comme l'indique la^Fg^. 8G ci-après.
Ce système étant posé sur deux appuis et chargé de poids quelconques, il est facile, par des procédés analogues à ceux du n** 176, de connaître les pressions et tensions qui se déve-
loppent dans les divers côlés. Considérons nolammenl, entre autres distributions possibles de là charge totale, celle qui consisterait à suspendre un même poids à un certain nombre
Bi
Fi|r. 86.
Bs
de sommets inférieurs consécutifs, en commençant auprès d'un appui, et nommons
Y la réaction de Tappui Ao, laquelle se calcule immédiatement par les formules les plus élémentaires de la Statique;
Çi la pression du côté incliné A/B,, dont le bout inférieur A/ est séparé de Ao par i fois la distance Ao A, ;
/, la tension du côté vertical B, Ai-hi ayant même bout supérieur que le côté incliné AiB, ci-dessus défmi;
Qi la pression du côté horizontal B/ .B,;
T, la tension du côté horizontal A,,A,;
2p une charge constante appliquée à chaque sommet inférieur A,, A„ A3, . . -, Aô . . , Ak, la lettre k désignant un indice plus grand que /*;
a l'angle constant des côtés inclinés avec la verticale;
/i la hauteur de la poutre;
P la somme algébrique des forces extérieures verticales, prises positivement en descendant, entre Ao et A, inclusivement, c'est-à-dire TefiFort tranchant pour une section placée entre A, et A,+, ;
X le moment fléchissant calculé pour la section faite en A,, en prenant le moment des mêmes forces verticales relativement à ce point, le sens étant positif pour le moment des forces descendantes.
Si Ton imagine entre A/^i et A/ une section inclinée, parallèle à A,B|, les portions de poutre séparées par cette section ne seront soumises qu'à des forces verticales et à deux forces horizontales de sens contraires T,, Q,; donc la relation
586 CHAPITRE NEUVIÈMB.
est nécessaire pour Tcquilibre. De même, les deux forces /, et ç.cosa éiani les seules forces verticales qui agissent sur le point B/, on doit avoir
(lo) /i — g^cosa.
Si l'on fait ensuite une section verticale entre A, et A,>,, Téquilibre en projection verticale des forces appliquées entre A, et celle section donne
(il) q/cosa -4- P = o,
et enfin on a réqualion des moments des mêmes forces relativement à Ai
[l9.) Qj/i — X:i= O.
Les équations (gj, (lo), (iij et (12) renferment la solution du problème, même dans le cas où les poids 2/» seraient différents les uns des autres; en les supposant égaux, on a
X = ipli langa[i h- 2 -f-. . . -1- (/ — i)] — \ih langa '-^ i(i — i]p/i langa — Y/A langa,
cl, par suite,
1 '| — g.cosar= Y — 2/;?,
I T| "- Qi rzr /Y langa — /[/ — i)/7tanga.
La loi de répartition des poids, à raison de ^p par chaque sommet inférieur, étant supposée ne pas se maintenir au delà de A* inclusivement, les dernières valeurs qu'on déduira des formules (i3) seront
. 1 ^* — ?*cosa~ Y — 2/1/;,
''* ^ I Ta— Qi»-^/rYtanga — /r(À- — i)/>tanga.
En supposant que les sommets suivants Ai-,,, A4-H1, . . ., jusqu'à Am inclusivement, portent un poids ^p' différent de 2/^, le calcul de P el X pour un sommet A/ plus éloigné que Aide
l'origine A, conduit aux expressions
\z=z •2/?'Aianga[i -*- 2 -f . . . h- (/— /, — i)]
-f- iph ianga[(/— k) -h ;/— /r -+- i) -+-... 4- (/— i)] — Yl/i langa
~p'li[l— k)[l—k — i) langa '\- phk{9l ^ /r— i) langa —Y /A Uinga.
On en conclul, par les équalîons (i i) cl (12),
/ //r= g/COSarr: Y— 2/i/> — 2 [/— k)p',
(i5) < T/rzzQ^zr: /Y langa "/^/r(2/- /r^i) langa
( — /^l^— ^'){^ — /»--i)langa.
Les dernières formules fournironl la suile des qualre séries d'inconnues /, q, T, Q jusqu'à /„,, q„, T„, Q„ inclusivemenl.
On pourrail aussi, sans aulres calculs, éludier le cas où il y aurait une suile de sommols non chargés, ce qui arrive, par exemple, lorsqu'on suppose la poutre sollicitée seulement par un poids concentré unique; il suffirait de faire/? ou /?' = o dans les formules précédentes, en avant soin d'ailleurs d'employer la valeur convenable pour Y, suivant le cas que l'on traite.
Dans le cas où la poutre comprendrait entre ses deux points exirêmes n -+- 1 intervalles tels que ApA,, cl où les poids !ip embrasseraient la longueur entière depuis A, jusqu'à An, il faudrait faire Y =z np dans les formules (i3), et l'on aurait
( // — îicosar-^w — 2/)/?, (ib) \
( T,7- Q/= /(/i — / H i)/î langa.
Afin de fixer les idées, admettons en outre que n soit impair, et ne raisonnons provisoirement que dans l'hypothèse de la charge complète 2/1/? : on voit alors, parles formules (16), que /,• et çt décroissent comme la série des nombres impairs,
à mesure que l'indice / augmente; pour ir^-;/i — i) on
aurait
/,r= qi cosa = p;
puis, si Ton continuait à faire croître /, // et ç, deviendraient
négatifs, c'esi-à-dîre que les pressions se changeraient en tensions, et réciproquenient. Cela montre la nécessité de modifler l'arrangement des tiges, en arrivant au milieu de la pièce, quand on veut maintenir des actions de même nature, soit dans la série des tiges verticales, soit dans celle des tiges inclinées; cette nécessité est d'ailleurs indiquée par le défaut de symétrie que présenterait la Jîg. 86 si on la prolongeait jusqu'au second appui. Il faudra donc adopter une disposition analogue à celle de la Jîg. 87, laquelle est construite dans Thypolhèse particulière n =rc).
Fig. 87.
La ligne MM\ verticale du milieu de la poutre, la partage en deux moitiés symétriques; les tensions des côtés verticaux, à partir de AiBo, sont successivement 9/?, 7/?, Sp, 3/>, 7.p en MM', puis redeviennent 3/;, 5/?, 7/?, 9/?; les pressions des côtés inclinés depuis AoB» jusqu'à k^}A' sont
cosa
IP
cosa cosa cosa cosa
et se reproduisent en ordre inverse depuis a4M' jusqu'à a«6,. Les lensions T, prennent de Ao ou de a» jusqu'à M les valeurs
9/?tanga, i6/?langa, 2i/?tanga, 24/?tanga, aS/itanga;
enfin, les pressions Q, prennent les quatre premières de ces valeurs. Tous ces résultats rentrent, comme cas particulier, dans les formules (i6), en ayant soin de n'appliquer ces formules que pour une moitié de la poutre; il y a cependant exception pour la lige centrale MM', dont la tension est irrégulièrement fixée à la valeur np (*), comme on peut le voir
(' ) Si i'ou voulait considérer le cas do n pair, on pourrait supprimer lepoids l'icnientaire "2 p atlaciié en M; toutes les pressions ou tdosions dans une moitié de la pii'oo seraient alors données par les formules (i6), y compris la tension de MM', nulle dans ce cas. Mais cela produirait une petite irrégularité dans la distribution de la char^jc, puisqu'il y aurait une lacune prés du point central.
par la considération de l'équilibre entre les forces verticales agissant en M ou en M'.
Maintenant il est facile de faire dériver du système simplifié que représente la fig, 87 les poutres américaines dans le système de How. 11 faudra pour cela : i^dans chaque rectangle élémentaire tel que B3A3A4B1 ajouter la diagonale manquante BjA*; 2° la figure étant ainsi complétée par Tadjonction d'une seconde série de liges diagonales, dédoubler chaque tige verticale ou inclinée en un certain nombre de liges parallèles, qui seraient censées supporter en somme le même effort et qui se répartiraient uniformément sur un intervalle tel que A3A4, compris entre deux verticales consécutives de la fig, 87. C'est la même opération qu'on a déjà faite au n'* 176 pour passer de hjlg. 82 au treillis sans montants verticaux.
Les tiges diagonales telles que BoAj, B.A,, B^Ai, . . ., ajoutées à la^/f. 87, afin de la transformer en pouire de IIow, sont supposées n'avoir aucune pression ni tension sous la charge complète des n poids 2^; elles doivent, quand elles sont mises en place, loucher simplement les sabots qui les assemblent avec les pièces horizontales, mais elles ne leur sont point liées et ne doivent pas les presser. C'est, comme on dit dans le langage technique, une question de règlement; on parvient à la résoudre pratiquement au moyen d'écrous qui permeilent de tendre plus ou moins les tiges verticales ou boulons après que la poutre a été mise en place. Le règlement se trouvant ainsi efîeciué, les diagonales supplémenlaires ne travaillent pas, autant du moins qu'il y a une charge uniforme et complèle : elles interviennent seulement quand on fait agir des charges concentrées en certains points ou bien des charges réparties qui couvrent incomplciement la poulre. De là résulte la nécessité de leur donner une section suffisante pour résister à certains efforts, qu'il y aurait par conséquent lieu de déterminer.
Toutefois on se dispense assez souvent de cette détermination, et l'on donne à chaque diagonale supplémentaire une section dans un rapport constant avec celle de la diagonale conjuguée qui la traverse en son milieu. Par exemple, dans le rectangle élémentaire B2A3A4B3, la diagonale AsBj pourrait
Sgo CHAPITRE NEUVliUlB.
être formée de deux tiges égales ayant même projection sur le plan de la figure et laissant entre elles un certain intervalle dans lequel passerait une troisième tige B3Â4 égale à chacune des deux premières : le rapport dont nous venons de parler serait alors celui de i à 2. Il est évident qu*on lui ferait prendre une valeur quelconque en modifiant, suivant le besoin, l'intervalle libre entre les deux premières liges.
Si Ton tient à procéder moins arbitrairement, voici ce qu'on peut faire. Le poids ip placé en chacun des points A,, A., ..., M, . . ., ^i,, a, {Jig. 87) comprend généralement une portion permanente o.p' et une portion due aux charges mobiles sur la poutre; la seconde n'agit que d'une manière accidentelle, et l'on est en droit de la mettre seulement sur tel nombre de points qu'on veut, à partir de A, ou a^. En admettant celle surcharge incomplète, la poutre se divisera en deux parties, l'une chargée à raison d'un poids ip sur chaque sommet inférieur, l'autre à raison de ip' seulement. Alors on rentrera directement dans l'appliralion des formules (i3), (i4) et(i5 ; on pourra donc, en partant de chaque culée, déterminer les valeurs des compressions q subies par les côtés inclinés. Ce calcul fera reconnaître le point analogue à M' [fig. 87) où il sera nécessaire de renverser la direction des côtés dont il s'agit ï)Our éviter (|ue les pressions ne deviennent en réalité des tensions; le nouveau point M' ainsi trouvé pourra, par suite du défaut de symétrie dans les charges, ne plus être au milieu de la poutre, et la disposition qui remplacerait celle de \'<.\ Jtg' 87 présenterait alors un certain nombre de diagonales supplémentaires, dont la pression serait connue. On ré|)éterait le même calcul en faisant varier le point de séparation (les poids 2p et 2p', et l'on prendrait pour chaque dia- ^'onale sup[)lémenlaire la section capable de résister au plus f^rand elforl trouvé dans ces divers essais. Mais cette méthode n'est pas encore à l'abri de tout reproche, car on admet, assez gratuitement, que sur les deux tiges inclinées qui aboutissent à un même point de la longrine supérieure il y en a une qui supporte une pression, pendant que l'autre n'est soumise à aucun elfori; en réalité, rien ne dit qu'elles ne travaillent pas toutes deux.
Le procédé graphique exposé au n® 176 peut également
SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 5g I
s'appliquer aux poutres de How; la Jig. 88 en fournil un exemple. On a pris une poutre composée de huit rectangles élémentaires, non compris les deux triangles des extrémités; le nombre n y serait égal à 9, comme dans la poutre de
Fi(j. 88.
e -il
n 29 \l 'ii \i 37 j.'7 il ,,c 4& Je
Nw 41
la ji^. 87. Les quatre premiers sommets à gauche portent des poids égaux entre eux et triples de ceux qui agissent à chacun des cinq sommets suivants; Tun de ces derniers poids étant pris pour unité, on peut reconnaître que les réactions i et 2 ont pour valeurs respectives 10, 5 et 6,5. On a ensuite construit une figure telle, que les forces applicjuées à chacun des sommets de la poutre y sont représentées par les côtés
5g^ CHÀPITEB NBUYiItllC.
d'un polygone fermé; Téchelle étant la même pour tous ces polygones, dans lesquels figurent les forces données, on a ainsi déterminé toutes les forces inconnues, c'esl-à-dire les pressions ou tensions des divers côtés du système articulé.
La méthode suivie et les précautions prises pour arriver à ce résultat offrent une telle ressemblance avec ce qu*on a vu en détail au n"" 178, qu'il semble à peine utile de donner des explications particulières sur la^g^. 88. Nous ferons cependant observer qu'ici la construction des polygones de composition successifs doit s'effectuer en prenant successivement les points de départ a ci a; avec le premier, on suivra l'ordre a, [3, y, 0, e, Ç, r, ; avec le second, l'ordre a, b^ c, . . . , jusqu'à /inclusivement. Alors toutes les pressions et tensions intérieures auront éié déterminées, à l'exception de celle qui s'exerce suivant mn; mais il est évident, à cause de l'équilibre du point n, que cette tension égale le poids 8. On peut ajouter, par la même raison, que les tensions 25 et 29 sont égales, ce qui fournit use vérification des opérations précédentes.
En construisant les divers polygones de composition des forces, on a distingué les pressions proprement dites au moyen d'un trait plus fort, comme dans les Jig. 83 et 84.
Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la poutre de How reposait seulement sur deux appuis; s'il y en avait un plus grand nombre, on pourrait employer des considérations analogues à celles que nous avons présentées au n** 178, lorsqu'il était question des poutres en treillis.
La poutre de How exige, comme nous l'avons déjà dit, un règlement ; cette opération, faite une première fois après la mise en place, doit ensuite se renouveler assez fréquemment, en raison des déformations permanentes qui se produisent peu à peu et qui altèrent le serrage primitif des boulons. C'est un premier inconvénient de ce système, comparativement au treillis sans tiges verticales (n** 176); mais il y en a un autre qui consiste à exiger l'emploi d'une plus grande quantité de matière. Il est facile, en effet, de reconnaître d'abord que les sections des longrines horizontales sont les mêmes dans les deux systèmes; mais, à égalité de poids supporté et d'ouverture, l'ensemble des autres tiges formera un
SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMEKT. SgS
volume plus grand dans celui de How, lïiême en négligeant les diagonales supplémenlaircs.
Afin d'établir celle dernière proposition, remarquons que le volume de chaque lige varie proportionnellement au produit de sa longueur par la force (pression ou lension) qu'elle supporte; donc, si Ton nomme C un nombre constant, le volume des deux tiges Ailh, B,A,.+., (Jig-S6, p. 585) s'exprimera par
cp/,fi + -J V
en désignant par - le rapport, supposé constant, entre une
diagonale et sa supplémentaire, on devrait encore ajouter au
CPrh volume précédent un volume — — -—5 ce qui fait en tout
cos^a
CP/i I
cob'a/
La distance A, A/^-i étant h tanga, on dépense donc ainsi, pour franchir une distance horizontale égale à l'unité de longueur,
un volume
