X -= (ia— x] pour x variable de x' à 2a

Ces valeurs sont représentées par les ordonnées d'un triangle ayant AB pour base, et pour hauteur comptée suivant la ver-

ticale du poids iQ une longueur égale à [2a — x']; celle

hauteur donne le moment maximum. Quand x^ varie de o à 2a, ce maximum varie lui-même et passe par un maximum maximorum répondant à a:' — a, c'est-à-dire à la supposition que nous avions d'abord admise en plaçant le poids 2Q au milieu de la pièce.

Remarquons enfin que, la suite de grandeurs du maximum

Qx'

— (2a — x' ) étant représentée par une parabole à axe vertical dont AB serait la corde et Qa la flèche, les ordonnées des moments produits par la charge 2Q dans toutes positions possibles entre A et B sont toujours celles de divers triangles ayant deux sommets en A et B et le troisième sur la parabole. L'ordonnée de cette courbe fournit, par suite, en chaque point de AB, le moment limite dû à la charge mobile 2Q. Or la même parabole représente aussi les momenls produits par une charge uniformément répartie ^pa, sous la condition de

prendre -pa'~Qa ou -•2/?a = 2Q; sous ce point de vue de la génération des moments limites, on peut donc dire en-

go GBAPITHB BKUXltlE.

cove que la charge concentrée et mobile forme réquivalent d'une charge doubk^ fixe et onifc^mément distribuée.

28. Même problème, dans le cas d'un solide d'égale résistance. — Il peut arriver que la section transversale de la poutre ci-dessus considérée (n^'âT), au lieu d*être constante, varie d'un point à l'autre de la fibre moyenne, sous la condition d'engendrer un solide d'égale résistance (n"23), c'est-à-dire une poutre telle, que la tension maximum reste la même dans toutes les sections. Cela ne changera rien aux moments de flexion et aux efforts tranchants que Ton vient de calculer, car les réactions des points d'appui, étant déterminées uniquement par les équations générales de l'équilibre, ne subiront elles-mêmes aucun changement; mais ce qui pourra être plus ou mobds altéré, c'est l'ordonnée y et notamment la flèche prise par la pièce en son milieu. Le moment d'inflexibilité ef n'est plus constant, et l'intégration de l'équation différentielle entre / et ^ ne peut plus s'effectuer de la même manière. Nous allons voir comment on y parviendra dans quelques cas simples.

Supposons d'abord une section rectangulaire homogène de hauteur variable c et d'épaisseur constante 6, la première dimension c étant mesurée parallèlement aux charges. Si la charge concentrée aQ agit seule, le moment de flexion sera proportionnel à a ~ ^, et la condition d'une égale résistanGe (n^ 23) s'exprim.era ici par

— -- = const., c'

ou, en désignant par l'Indice o les valeurs des variables pour

ou bien encore

La section étant un rectangle homogène de largeur constante, le moment d'inflexibilité varie proportionnellement

PRISVBS FLtCHlS PAR DBS FORCES TRANSYERSALES. 9

à c' ; donc

er» — e,

L'équation différentielle de la fibre moyenne déformée devient donc

ou bien

dW - -'

On intégrera deux fois celte équation, en ayant soin de déterminer les constantes de manière à avoir -^ = o pour x ~ o, yrr=o pour X =r a, et Ton trouvera successivement

e^rly^^iQa^ \ — -[a — xY — xa' -^ a^ y

Pour avoir la flèche/n^ CC'(/ig. i3), il suffit de fairexr^o dans la dernière équation, ce qui donne

c'est-à-dire le double de la flèche qui se produirait si la section restait partout la même qu'au milieu de la poutre.

Si nous répétons le même calcul en substituant à la charge 2Q une charge uniforme 2/7^, sans rien changer d'ailleurs, le moment de flexion deviendra proportionnel à a* — x' au lieu de a — X, ce qui conduit, pour exprimer l'égalité de résistance, à la relation

Parsuite^ l'équation différentielle sera

ga CHAPITRE DEUXIÈME.

Il en résulte par riniégration

e^r; -;- — p^'arcsin-^

ax 9. '^ a

e^rly ^- - pa* \ arc sm i / i 1

La flèche CC, répondant à r — ^ o, sera

•^ ' 2^,ri \2

comparée à la valeur — ^-— qu'elle aurait si la poutre conservait partout sa section du milieu, on voit que cette flèche

a été augmentée dans le rapport de - ( - — i ] à -- ou de

Dans les exemples qui précèdenl, nous avons obtenu Tinvariabilité du maximum de tension pour toute section transversale, en faisant varier seulement la hauteur quand on passe de Tune à l'autre; mais on peut tout aussi bien (et cela se fait souvent) laisser la hauteur constante en faisant varier d'autres dimensions. Si nous supposons, en outre, que les sections restent symétriques relativement aux axes de flexion, il faut alors, pour remplir la condition d'égale résistance, que le moment fléchissant soit dans un rapport constant avec le moment d'inflexibilité de la section correspondante; car, en nommant toujours c la hauteur, le maximum de tension

s'exprimerait, avec les notations du n° 23, par —, ? soit par

X.Er . . , , -; et, puisque celte quantité est constante, par hypo-

thèse, ainsi que Ec, il en résulte bien que le rapport - ; ne

change pas. Sa valeur serait toujours la même que dans la sec-

tion centrale, c'esl-a-dire , s'il y a la charge unique 2Q

pu} concentrée en C, et — - — : dans le cas de la charge uniforme ;

désignons-la généralement par D.

PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSVERSALES. q3

Ce même rapport, d'après Téquation fondamenlale (loj du n« 20, doit être égal à -j—^* Donc on a

el, par conséquent, la fibre moyenne affecte la forme d'une parabole du second degré à axe vertical ('). L'intégration donne successivement

La flèche CC'-r/^s'exprimera donc par — Da'; elle serait: Avec la charge concentrée f=^ : )

fUI^

Avec la charge uniforme / - y- — ., •

En la comparant avec celle qui se produirait si la section restait partout égale à celle du milieu, on trouve des rapports

respectivement égaux à - et v-

Les flèches d'un solide d'égale résistance posé sur deux appuis étant toujours évaluées au-dessous de leur grandeur réelle, quand on les calcule comme si toutes les sections araient les mêmes dimensions que celle du milieu, on peut se demander quelle est la position occupée dans le solide par la section qui donnerait lieu à la même flèche, en supposant qu'elle fut prise pour section invariable dans toute l'étendue de la pièce. Cette question se résout facilement. Nommons, en effet, x, l'abscisse de la section dont il s'agit et <?, rj son

{*) II serait plus rigoureux de dire que la fibre moyenne se courbe en arc de

cercle; car — ^ n'est autre cliose que la courbure produite par la dcformalion

(n" 19 et 20) ; la courbure est donc conslanlef propriété qui caractérise le cercle. Le changement du cercle en parabole provient des approximations employées pour démontrer l'équation (lo) du n® 20; il est d'ailleurs insensible, par suite de la petitesse que nous attribuons à la variation de forme, un arc de cercle à flèche très-petite pouvant être confondu avec un arc parabolique.

94 CHAPITRE DBUXI^B.

moment d'inflexibilité : la flèche étant —^ — r ou , ,> sui-

3 e, r; 24e,rî

vant qu'on fait agir la charge concentrée ou la charge uniforme, il faudra que le rapport -^^- prenne, dans les quatre cas ci-dessus analysés, les valeurs respectives

inverses des rapports trouvés précédemment. Or on connaît, dans chaque cas, l'expression du rapport — ~ en fonction de

- : on pourra donc trouver --• Voici les équations à poser

pour cela :

i" Cas de la charge concentrée agissant sur le solide à profil en long parabolique.

î d'où --— -^i— (-] 7-0,370;

2° Cas de la charge uniforme agissant sur le même solide,

a^ I () ^ ;: — 2 ; d'où

3® Cas de la charge concentrée agissant sur le solide à hauteur constante,

— ,> d OU — r- I — ,- zi:; o,333;

4° Cas de la charge uniforme agissant sur le solide à hauteur constante,

PRISMES FLÊGUIS Pl.1l BBS FORGES TRANSVERSALES. 96

29. Moments de flexion produits dans une poutre à deux appuis simples par un ensemble de charges auquel on fait prendre sur la poutre toutes les positions possibles. — Lorsqu'un convoi de voitures, traîné par une locomotive ou par des chevaux, stationne sur un pont, il exerce sur les rails ou sur la chaussée, aux points en conlact avec les roues ou avec les pieds des chevaux, une suite de pressions verticales dont les intensités et les distances mutuelles sont connues a /?r/or/, par la déûnilion du convoi; nous admettons qu*elles se iransmeltent sans altération, par les corps intermédiaires, aux poutres qui soutiennent le pont et qui reposent elles-mêmes sur deux appuis simples placés à leurs extrémités. Pour chaque position attribuée au convoi et pour chaque section de la poutre, il existe un moment fléchissant qui est ainsi fonction de deux distances variables : on peut donc se demander par quels états de grandeur passera ce moment, soit en prenant une position fixe du convoi et faisant varier la section, soit dans une même section quand le convoi prend toutes les positions imaginables.

Le calcul algébrique des moments de flexion dans une poutre à deux appuis simples, sous des charges définies en

Fig, i/|.

grandeur et position, peut être plus ou moins long, mais le principe en est toujours fort simple. Soit une poutre BC [fig. i4), ayant une longueur BC :=: / entre ses appuis B et C, et supportant des charges Q,, Q,, ..., Q^; on les suppose au nombre de cinq, pour fixer les idées, mais on opérerait de

g6 CHAPITRE DEUXIÈME.

même avec un nombre difTérent. Les réaclions Y, Y' des appuis se calculent d'abord au moyen des équations de la Statique. En nommant X|, Xr^ ..., Xs les abscisses, relativement à B pris pour origine, des points où la ligne BC est coupée par les lignes Qi, Q„ ..., Qk, on a d'abord l'équation des moments par rapport à B :

(1) Y/: Q.O:, 4- Qa^j-r . . .-h QsXi;

puis, connaissant Y, on en déduirait Y' par l'équation

(2) Y ^ Y' = 0.^0,^ . . r^Qs.

La première équation fait voir que Y a une valeur positive plus petite que la somme S des forces Q, puisque or,, or,, .. ., x^, sont moindres que /; la même chose peut ensuite se dire de Y', en vertu de la seconde équation.

Après avoir déierminé les réaclions, on écrit immédiatement la valeur du moment fléchissant X dans une section quelconque M faite à la dislance x du point B. Suivant que M se trouve dans l'un des intervalles CQ,, Q.Qj, QjQa, Q3Q4, ..., on trouve les expressions successives

(3) { \- \{l-.x\-^Ç\,[x,-x)~i^,\x,--x\ X--- ViV- .r) 0.;^.-- X - (i^\x, ^•'-Q3'>s--.r),

Toutes ces expressions sont du premier degré en x\ si donc on représente X par les ordonnées d'une ligne dont jr serait l'abscisse, entre deux ciiargcs consécutives celte ligne se réduit à une droite, et l'ensemble de ces droites forme un polygone ayant ses sommets sur les lignes d'action des forces Q„ Qî, ..., Qi. Les ordonnées extrêmes en B et G sont nulles; on le voil pour ce dernier point en faisant x=.l dans la première équalion (3); pour B, il faudrait faire :r — o dans la dernière équation du groupe, ce qui donnerait X égal à la différence entre le premier et le second membre de l'équation (i), c'est-à-dire à zéro. Ainsi B et G sont les extrémités du polygone représentatif.

Afin de nous faire une idée plus nelie de la forme de ce polygone, prenons les dérivées -7—? égales en valeur absolue aux eiforls tranchanls (n** 24). On aura successivement

4) i rfx

dx rfX

---Yh-O.,

dx^--^^^'-^^^-^^-

DansriniervalleQiC, la dérivée -.- est négative et Tordonnée

décroissante avec x; la même chose peut exister sur un ou plusieurs intervalles suivants QjQi, Q2Q7, ...» parce que rien

n'empêche Y d'être plus grand que Q,, Qi -i- Q2 Mais cela

ne peut pas continuer indéfiniment; car, à mesure qu'on passe d'un intervalle au suivant, un terme positif s'ajoute au second membre, et finalement on a dans ce membre la différence positive S— -Y : il y aura donc une certaine charge,

Qs par exemple, telle que son introduction dans -j- fera

passer cette dérivée du négatif au positif. A partir de là, le signe -h se conservera toujours. Le polygone aurait donc ses ordonnées croissantes dans l'intervalle BQ., et décroissantes au delà; il ne présente, par conséquent, aucun angle rentrant et affecte une forme convexe. Si le second membre de Tune des équations (4) était nul, la dérivée passerait par zéro avant de changer de signe, et le polygone aurait alors un côté horizontal. On peut remarquer encore que, d'après la forme convexe du polygone, son ordonnée ne peut s'annuler en d'autres points que B et C; par suite, tous les moments de flexion sont de même signe, et leur sens est partout celui du moment de la réaction Y.

Voici maintenant une propriété qui fournit un moyen de

ï. S* édit. 7

tracer le polygone sans calculer les ordonnées de ses divers sommets.

Théorème. — Le polygone représentatif CDEF...B des moments est la figure d'équilibre d'un polygone funiculaire soumis aux forces Q,, Q,, . . . , Q^ et à deux tensions convenablement choisies, qu'on appliquerait en B et C.

Soii, en effet, U le rapport constant du moment fléchissant à l'ordonnée du polygone; appliquons en B et C deux forces U égales el contraires, dirigées suivant BC et avec les sens indiqués par la figure. Considérons le polygone CDEF,..B comme un polygone funiculaire soumis, en ses divers sommeis, aux forces Oi, en B à la résultante de Y' el de U, en C à la résul- . tanie de Y et de U. Il s*agit de démontrer que ce polygone funiculaire sera en équilibre. D'abord on voil que la résultante de translation des forces est nulle, car les deux forces U se dctruiscnl, et les réactions verticales Y, Y' ont une somme égale à celle des charges Q,. De plus, la somme des moments, relativement à un point quelconque M' du polygone, de toutes les forces comprises entre M' et Textrémiié C aura pour valeur

Y I / -. :c) - Q, [x,-x]-Q,x,-x]--.,.~'\} X MM',

c'est-à-dire zéro, car U x MM' est égal, par définition, au moment fléchissant en M, el Tensemble des termes qui précèdent celui-là exprime aussi ce même moment. Cela montre que la résultante de Y, U, Q,, Qj. ... passe en M', et, comme M' est quelconque sur EF, elle'esl dirigée suivant EF. La même chose ayant lieu pour un côté quelconque, toutes les conditions d'équilibre de CDEF...B, considéré comme polygone funiculaire, sont bien satisfaites.

Quand la réaction Y est une fois calculée, ce théorème permet de tracer le polygone représentatif CDEF...B par le moyen de la construction de Varignon. Partant d'un point O arbitraire (fig, i5), et après avoir choisi pour U telle grandeur qu'on voudra, on prondra les longueurs Ojc, jC(3, -^y, yd, de, eÇ, In, ... respectivement égales et parallèles à Y, U, Q,, Q„ Q„ Q«, Qm .... cl l'on mènera les diagonales 0^, Oy, Oà, Oe, OÇ, Or,, On mènera ensuite CD parallèle à 0^3 jusqu'à la ren-

contre D avec Q, [fig, i4), puis DE parallèle à Oy jusqu'à la rencontre E avec Qj, etc. Comme vérification, le dernier côté issu du point H et parallèle à Oti devra passer par le point B.

Le premier inconvénient de ce procédé, c'est d'exiger la recherche préalable de la réaction Y; quand le système des charges prend une autre position sur la travée, il faut recommencer celte recherche. Le polygone qui s'en déduit subit aussi des modifications et sa construction doit être refaite à nouveau, ce qui est aussi un inconvénient sérieux, car toutes ces constructions, quoique bien simples, deviennent longues et pénibles à cause de leur multiplicité. Or on peut éviter ces défauts et employer une méthode géométrique qui n'exige ni le calcul des réactions ni la construction de plusieurs polygones funiculaires.

Construisons, en effet, le polygone funiculaire qui s'obtiendrait par la composition successive d'une tension initiale arbitraire Ti (yîg*. 16) avec les forces données Q,, Q,, Qj, —

Fi{j. 16.

y V > y V Q» Q4 Q, «. Qi

Pour cela, nous prenons 0/, égal et parallèle à T,, puis sur la

verticale de ti nous prenons /iÇi^^Qi, 9i?j="Qi» Çj^s^Qa, ...; nous joignons ensuite Oçi, Oja, 0^3, — On obtient ainsi les directions des côtés DE, EF, FG, ... du polygone, ce qui permet de le tracer facilement, comme on vient de le voir un

lOO CHAPITRE DEUXIÈME.

peu plus haut. On connaît, de plus, les tensions de ces côtés, successivement égales aux longueurs 0^,, O^i, UÇs, .... Supposons maintenant que le convoi QiQ.Qj... entre totalement ou en partie sur une poutre, et soit BC la longueur de cette poutre, placée comme elle doit Tètre, à un instant quelconque, relativement aux charges; menons les verticales BB', ce jusqu'à leur rencontre avec le polygone, et joignons B'C. Les choses étant à ce point, on obtiendra le moment fléchissant produit en un point quelconque M, par le convoi dans sa position actuelle, en multipliant la partie d'ordonnée M'M" comprise entre B'C et le polygone par la composante horizontale de toutes les tensions, laquelle est égale, comme on le sait, à la perpendiculaire abaissée du point 0 sur /iÇs.

Imaginons, en effet, qu'on décompose les tensions T' et T, aux deux points B' et C du polygone respectivement en deux forces verticales Y', Y et en deux forces U', Ui dirigées suivant B'C; l'équilibre delà partie B'HG ... C exige que U' et U, se détruisent, car autrement ces forces auraient une résultante qui ne pourrait être équilibrée par les autres forces, toutes verticales et nécessairement réductibles à une force verticale unique ou à un couple. Puisque U' et U, se détruisent, l'équilibre existe séparément entre les forces verticales Y', Y, d'une part, et les charges Q,, Q„ . . ., Q„ d'autre part; d'où nous concluons d'abord que Y' et Y sont les réactions des appuis placés en B et C, car le système de ces deux réactions est déterminé, tout comme le système Y', Y, par la seule condition d'équilibrer les charges comprises entre B et C. Donc la construction faite en dernier lieu donne déjà, sans calcul, les réactions des appuis de la poutre, caries tensions T' et T, sont connues dès que le polygone est tracé-

Considérons actuellement l'équilibre de la partie M'EDC ei concevons qu'on prenne l'équation des moments relativemeni à M'; cette équation exprime que la somme algébrique des moments des forces verticales (laquelle est précisément le moment de flexion au point M de la poutre) est égale au moment de la force U,. Afin d'avoir ce dernier, on peut, après avoir transporté U, en M", décomposer cette force en deux autres, l'une verticale dont le moment sera nul, et l'autre horizontale ayant un moment égal au produit de son intensité par le bras de

PRISMBS FLÉCHIS PAR DBS FORCES TRANSVERSALES. lOI

levier M' M". Noire proposition se trouve ainsi démontrée, car la projection horizontale de Ui est égale à celle de T,, et, par conséquent, à celle de la tension d*un côté quelconque du polygone.

On voit que, outre la recherche préalable des réactions sur les appuis, nous avons bien évité la construction de plusieurs polygones se rapportant chacun à une position du convoi sur la poutre. Quand cette position changera, le polygone T,DEF. . . ne changera pas, mais les points B et C varieront sur Thorizontale indéfinie xx; en faisant, par exemple, avancer le convoi d'une quantité d vers la droite, ce sera comme si BC rétrogradait de la même quantité vers la gauche, pour prendre la position B,Ci, telle qu'on ait BB, = cf. La droite B'C éprouverait, bien entendu, un changement correspondant. Il est d'ailleurs bien évident que le polygone funiculaire T.DEF... ne dépend aucunement de la longueur BC, mais seulement du système de charges Q,, Qa, Q,, . . . , de sorte que le même polygone peut servir à la détermination des moments fléchissants dans des travées d'ouverture quelconque, lorsqu'ils sont produits par le passage d'un même convoi. On n'est limité, quant à l'ouverture des travées, que par des considérations pratiques relatives à l'exécution du dessin et à la mesure des lignes qui s'y trouvent tracées (').

Quand il s'agit de savoir comment varie le moment fléchissant dans une même section de la p.

poutre, avec les diverses positions que peut prendre le convoi, on peut avoir recours aux considéralions suivantes. ^..s—

Soient BC [Jig. 17) Taxe de la b^I i:V^ H

poutre, M la section dont on s'oc- \ cupe; désignons par \

/ la portée BC:

X la distance BM ; ^

Q' l'Intensité de l'une quelconque des charges qui portent sur la partie BM, et q' la distance de cette force à l'origine B ;

(*) rdr, pour plus de détails, une Note insérée dans les Annales des Ponts et Chaussées, 1877, 2* semestre, p. 3ao el suiv.

102 CHAPITRE DEUXIÈMB.

Q"" et (^' les quanliiés analogues pour l'une quelconque des

charges de la pariie MC; Y la réaction de Tappui C; X le moment de flexion en M.

Pour avoir X, on calcule d'abord la réaction Y par l'équation (i), qui donne

toutes les forces dont le moment compose X sont alors connues, et Ton obtient facilement

X-. :Y[/--xJ-2Q"(9''-jr) : -: ^ ~ - (2QV ^ -Q"Ç") - 2Q"ç" -h x^ÇH'

Lorsque le convoi change infmiment peu de position en avançant de B vers C, toutes les dislances ^', ç" varient d*une même quantité dqj et la variation correspondante du moment X s'obtient par la différentialion de la dernière équation, qui donne .

Les quotients —et 7^ représentent respectivement les

charges moyennes par unité de longueur sur chacune des parties BM, MC; tant que la première restera prédominante, la progression du convoi de B vers C fera croître le moment de flexion en M, et Tinverse aura lieu dans le cas contraire. Tout passage de la prédominance d'un côté à l'autre du

point M correspond à un changement de signe de -7—5 le

moment deviendra décroissant après avoir été croissant, ou inversement, de sorte qu'il aura passé par un maximum ou un minimum.

Quand le déplacement du convoi ne modifle pas les charges

PRISMES FLÉCHIS FAR DBS FORGES TRANSVERSALES. lo3

loules 2Q', 2Q" de chaque partie BM, MC, la dérivée — est

constante, de sorte que X varie uniformément; son accroissement total se déduit de Téquation (5) en faisant le produit

de '-T— par la longueur dont le convoi s'est avancé. Si Ton

part d'une valeur initiale relative à une position particulière, on arrive ainsi, par le calcul des accroissements successifs, à connaître toutes les valeurs remarquables de X.

Les théorèmes qu'on vient de démontrer rendent assez facile la détermination par un nombre limité d'essais, et quelquefois sans aucun tâtonnement, du plus grand moment fléchissant que le convoi puisse produire en M. Par exemple, supposons un convoi de quatre poids égaux chacun à Q et

espacés d'une longueur 6, moindre que yl : on demande les

moments limites au milieu et au quart de la travée. Pour le premier point, il est clair, d'après ce qu'on vient de voir, que le moment ira en croissant jusqu'à ce que deux des poids y aient passé; alors il restera quelque temps stationnaire, pour commencer à décroître à l'instant du passage d'un troisième poids. Celte décroissance persistera toujours, parce que la charge moyenne par mètre, dans la partie MC, l'emportera irrévocablement sur celle de la partie BM; le plus grand moment existe donc au milieu quand il y a deux poids Q de chaque côté, et l'on reconnaît facilement, par un calcul direct, que sa valeur est alors 40^- On verrait de même, en prenant le point M au quart de la travée à partir de B, qu'il faut supposer un seul poids Q sur BM et trois sur MC; le maximum est alors 3Q6.

Après avoir déterminé le plus grand moment de flexion pour un point M quelconque, si l'on mène en M une ordonnée MK représentant ce moment, le lieu des extrémités K dessinera une courbe BAC à laquelle on a donné improprement le nom de courbe enveloppe des moments; on veut dire par là, non pas que BKC est tangente à une série de courbes variables d'une manière continue, mais simplement que l'ordonnée représentant un des moments produits par une position quelconque du convoi tomberait à l'intérieur du con-

lour BKC. Les moments qui répondent à ce contour sont les seuls auxquels on ait besoin d'avoir égard dans les calculs concernant la stabilité de la poutre, puisque ce sont ceux qui produisent en chaque point la flexion la plus grande ainsi que les plus grandes tensions moléculaires (n°* 19 et 20). Or, en faisant un grand nombre de calculs sur des poutres d'ouvertures très-diverses, soit lorsqu'il s'agit des convois circulant sur les chemins de fer, soit lorsque le convoi consiste en voitures traînées par des chevaux, on a reconnu que la courbe enveloppe BKC s'écarte toujours assez peu d'une parabole ayant son axe vertical et son sommet sur l'ordonnée du milieu de la poutre, c'est-à-dire que l'ensemble des moments limites serait reproduit d'une manière suffisamment exacte si l'on substituait aux charges réelles une charge uniforme ayant une intensité par mètre courant p convenablement choisie.

La coïncidence approximative sera établie en égalant à ô/^/S

ordonnée du sommet de la parabole (n°27), la plus grande ordonnée de la courbe BKC, car la parabole et la courbe qu'elle doit remplacer auront ainsi même corde BC et même ilèche,

La circulaire ministérielle du 9 juillet 1877, approuvant une délibération du Conseil général des Ponts et Chaussées sur le Rapport d'une Commission spéciale, a autorisé cette simplification dans les calculs relatifs aux ponts de chemins de fer : elle a, de plus, indiqué les valeurs de p, variables suivant la portée de la poutre, qu'on doit adopter dans ce cas. Ces valeurs résultent du Tableau suivant, qui donne l'intensité totale des poids p pour l'ensemble des poutres supportant une des voies :

io5

PORTÉE

POIDS p

PORTÉE

POIDS p

par mètre courant

par mèlre coarant

de simple Tole.

de simple toIo.

loSoo

55oo

83oo

43oo

G5oo

4oof)

PORTÉE

POIDS p

par mètre courant

simple Tole.

39oo''«

38oo

35oo

33oo

et plu« \

Ces chiffres ne comprennent pas la charge permanente résultant du poids propre de la construction ; ils indiquent seulement ce qu'on doit lui ajouter pour remplacer les charges accidentelles pouvant circuler sur les poutres, en raison de la destination de celles-ci. On obtiendrait par interpolation les valeurs de />,poi>r des ouvertures intermédiaires entre celles du Tableau. La substitution d'un poids uniforme au poids réel est d'ailleurs facultative; les auteurs de projets conservent la liberté de prendre la composition effective des convois pour base de leurs calculs.

Dans un Mémoire inséré aux Annales des Ponts et Chaussées (1877, 2" semestre), M. l'inspecteur général Kleitz a examiné la question de savoir si la même simplification ne pourrait pas être admise pour les poutres supportant des pontsroutes, et il s'est prononcé pour l'affirmative. Il a supposé d'abord que ces ponts peuvent donner passage à des convois formés par des files continues soit de voitures à deux roues pesant 11 tonnes et traînées par 5 chevaux, soit de voitures à quatre roues pesant 16 tonnes et traînées par 8 chevaux; dans ce dernier cas, les chevaux sont sur deux rangs. La charge produite par chaque cheval est censée pouvoir se remplacer par un poids de 5oo^* concentré au centre de gravité de l'ani-

io6