I. 3« édlt
8l CBAPITIB BBUXlfclB.
il en résulie
Bidx- liX pour a: 5 Cl,
j Biâxi-j [li — x)dx-^j o.(Ix—~ à partir de a: r=Ç,;
cl, par conséquent, en intégrant de nouveau les expressions qu'on vient d'obtenir,
-^ pour x<li,
f'dx f\idx == ^^' -
I dx I Bidx 1 UiX jdx -1- / —dx
. X — .. ;, ) à partir de :c — H,.
Le même calcul donne les intégrales telles que / Cidx et
Jf dx I Cidx; il suffit de mettre 6, au lieu de £i. Quant aux
intégrales introduites par les couples d'encastrement, D, étant égal à I jusqu'à x - a et s'annulant au delà, on a d'abord
/ Dfdx -- X pour X '2 Ciy
Dtdx --.- j dx i- I o,dx~.-Ci à partir de x^^d.
et, par une seconde intégration,
J' dx j Didx - ' pourj:^Ci,
I dx I Didx - - / xdx -h I Cidx — — h- Ci[x — c,)
:-Cilx Ci\ à partir de x =:=: c,.
Il est facile mainlenam d'établir le théorème que nous avions en vu€. Reprenans chacune des n-h/r-i- 2 équations du premier de^ré qui déterminent un nombre pareil d'inconnues auxiliaires, et isolons dans le second membre l'ensemble des termes connus : si nous nous en tenons à l'hypothèse d'appuis et d'encastrements suffisamment fixes pour annuler
dy
les ^ et ^ aux points correspondants de la fibre moyenne,
toutes ces équations prendront alors la forme
( ajo -f- (39p -•- y, Yi -h y^ Y, -f- . . . -4- y„ ¥«
( I ^ ) < - - (5, /Lt, -+- O2 [M -i- ... -I- ^1 Uk
\ = ÊiQi -:- ÊîQs -^- . . . -i- £/Q/,
a, (3, yi, yji . . . , yuj â,, ô„ . . . , ô^, e,, e,, . . . , e/ représentant des quantités connues, qui dépendent uniquement des dimensions de la poutre. Dans les deux équations d'équilibre, y^ et 60 n'entrent pas; de même, p.,, /zj, . . ., u* ne figurent point dans celle de ces deux équations qui se rapporte à la somme algébrique des forces extérieures; mais on pourra toujours faire rentrer ces équations dans le type précédent, en y supposant un certain nombre de coefficients égaux à zéro.
Si l'on conçoit qu'on résolve ces /i h- /r 4- 2 équations de la forme (17) et qu'on en lire les valeurs des n -h /r 4- 2 inconnues, ces valeurs seront des fonctions linéaires des seconds membres, sans terme indépendant : ce seront donc aussi des fonctions linéaires, sans terme Indépendant, des forces extérieures connues Qj, Q2, . . . , Q/. La même chose aura lieu évidemment, d'après les expressions (i4), (i5) et (16), pour X,
ây*
-7- et r, quand on aura remplacé les inconnues auxiliaires
par leurs valeurs, parce que ces inconnues n'entrent qu'au premier degré dans les expressions dont il s'agit; elle aurait ^ieu aussi, par la même raison, pour l'effort tranchant P et pour les tensions intérieures en tout point de la pièce, car ces tensions sont proportionnelles à P ou X. Toutes ces quantités peuvent se mettre sous la forme
(18) -/îiQH-yîaQa-h. . .-i-vj/Q/,
et, par conséquent, on voit que chacune d'elles est la somme
84 CHAPITRE DBUXlfeME.
algébrique des valeurs qu'elle prendrait si les forces extérieures connues agissaient successivement et isolément.
C'est en cela que consisie le théorème de la superposition des effets des forces. Il est très-important, car il permet de simplifier beaucoup les questions en n'étudiant que les effets d'une seule force à la fois; mais il faut bien prendre garde de lui donner trop d'extension et de l'appliquer dans des cas où il ne serait pas exact. La démonstration suppose essentiellement que, à part les deux équations d'équilibre entre les forces extérieures, touies les équations de la forme (17) ont été obtenues en égalant à zéro soit les ordonnées / des points de la fibre moyenne» au droit des appuis, soit les inclinaisons
dv*
~- aux points où il y a encastrement, les y étant d'ailleurs
mesurés par rapport à la ligne qui joint les points de l'axe placés sur le premier et le dernier appui. Cette condition essentielle peut ne pas être remplie. Elle ne le serait pas si l'on avait, par exemple, une poutre primitivement droite, chargée de poids et reposant sur trois appuis non en ligne droite, dont les deux extrêmes se trouveraient sur un même plan horizontal, pendant que celui du milieu serait un peu au-dessous; il pourrait se faire alors que chaque poids, pris à part, fût insuffisant pour amener la poutre à toucher l'appui intermédiaire, tandis que ce contact s'établirait sous l'ensemble des poids. Dans ce dernier cas, la réaction de l'appui intermédiaire ne serait pas nulle, et cependant elle le serait sous l'action séparée des divers poids : le théorème de la superposition serait donc en défaut. L'exception subsisterait encore si chaque poids partiel suffisait pour produire le contact avec l'appui intermédiaire; car, en nommant/ la valeur de X 6n ce point, il est aisé de voir que la réaction dont il s'agit aurait une expression de la forme (18), modifiée par l'addition d'un terme proportionnel à/. Ce terme se retrouverait dans la réaction due à chaque poids particulier; en faisant la somme de ces réactions, on le multiplierait par le nombre des poids, au lieu de le prendre une seule fois, comme on aurait dû le faire.
Nous terminerons ici la théorie générale des poutres droites chargées transversalement et suivant les conditions définies
PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSTERSALES. 85
au début (n"* 18); nous allons maintenant traiter une série de questions qui en seront des applications particulières. Notre but principal sera toujours de rechercher les moments fléchissants et efforts tranchants qui ont lieu dans une seclion quelconque de la poutre, parce que la connaissance des tensions intérieures en dépend; accessoirement, nous étudierons les déformations produites. La section de la poutre sera généralement supposée constante, sauf mention contraire. Enfin nous ferons connaître les résultats d'expérience, et nous indiquerons comment on doit procéder à la vérification de la stabilité d'une poutre construite ou au calcul des dimensions transversales d'une poutre à construire.
§ II. — Poutres droites soutenues par deux appuis, considérées
à rétat d'équilibre.
27. Poutre reposant sur deux appuis simples, — On admet quelesupport placé en A {/ig. i3) est tellement disposé, qu'il ne peut fournir qu'une réaction verticale passant par le point A; le support B est également assujetti à une condition analogue. *^* *
Dans ce cas, la Statique élémentaire fait immédiatement connaître les réactions exercées sur la pièce en A et B. Si, par exemple, on suspend un poids 2Q au milieu de la pièce, ces
réactions consisteront en une force égale à Q pour chaque appui. Elles seront de même exprimées par pa, dans le cas d'une répartition uniforme de la charge , en appelant a la demi-longueur de la poutre et p le poids par mètre courant qu'elle supporte, y compris son poids propre.
Déterminons maintenant la figure de la fibre moyenne, après la déformation produite par les charges. A cet effet, il faut appliquer la formule (10) du n° 20. En supposant le cas de la charge unique 2Q appliquée au point milieu C, prenant les axes de coordonnées indiqués sur la ^g*. i3, et désignant par er» (comme au n*» 26) le moment d'inflexibilité IEm'w de
l*Ù CHAFITRB DBUXifcHB.
U hdctiony celle fonnale devieni ici
Daus le cas d'une section consiânie, il est facile d'effeciuer l'inlégration, et Ton trouve
sans constante dans le second membre , attendu que, pour
dy X -o, -- esl nul à cause de la symélrie. Inlégrant une seconde fois ei remarquani que y doit s'annuler pour j: = a, on aura
^/ ax" x^\ 0«' 0
équation qui est celle de la courbe AC'B. La flèche cC— / s'obtient en faisant x -o^ ce qui donne
Quand la charge est uniformément répartie, on a, d'après la même formule (lo) du n° 20,
^' -r~. ~- - v« — ^, -— pci a — X zzsz — ^ a^ — x^] , dx^ 2 ' / V . ^ V ; »
er
d'où l'on tirera de même
La courbe AC'B s'écarte alors assez peu de la parabole repré sentée par l'équation
PRISMES FLÉCHIS FAR BKS PORCBS TRANSVERSALES. 87
caria différence j' — j a son maximum répondant z x^^ - a^
ouk X =:ax/ ~i ce qui donne
va* g , pa* 5
•^ 94 er* 4 24 ^r* 2
et, par suite,
La valeur de la flèche devient
5pa*
i^er^
Le moment fléchissant a pour valeur, comme on vient de le voir,
X — — Q[a — x] dans le cas de la charge unique 2Q,
Xr- p[a^ -x"^] dans le cas de la charge uniforme-
ment répartie.
La première expression ne s'applique qu'à la partie CB; du côté des X négatifs, on aurait 5 prendre en compte le moment de la charge 2Q, ce qui modifierait la formule algébrique; mais on peut ne pas s'occuper de la partie CA, car il est évident, par raison de symétrie, que les moments y sont les mêmes que dans CB et reproduits en ordre inverse à partir du milieu. Les valeurs absolues des moments sur la poutre entière seraient représentées par les ordonnées d'un triangle isoscèle ayant pour base AB et pour sommet un point situé sur Cjà la distance Qa du point C; celte dernière ordonnée serait la plus grande. La seconde expression, prise en valeur absolue,
a de même son maximum -pa? répondant à x — - o, ou au milieu de la pièce; elle décroît jusqu'à o, valeur en A et B; dans l'intervalle, elle est représentée par les ordonnées d'une parabole ayant 2a pour corde et - pa} pour flèche. On voit
88 GHÀPITRB DEUXIÈME.
d^ailleurs que, dans les deux cas, X esl constamment négatif;
-j~ Test donc aussi, et, par suite, la courbe A C B tourne partout
sa concavité vers Taxe des x. On peut ajouter que, dans toutes les sections, les fîbres du haut sont comprimées et celles du bas tendues.
L'effort tranchant a les valeurs
P - Q si la charge est concentrée au milieu, P : px si la charge est uniformément répartie:
la première valeur ne change pas dans chacune des deux moitiés; seulement, quand on franchit le point C, Tintroduction ou la suppression de la force 2Q appliquée en ce point fait brusquement changer le sens de P; la seconde expression varie uniformément avec x et prend ses valeurs extrêmes pour ^ — zb (I, en passant par zéro pour x :^o.
Quand on compare entre eux les clTeis des poids t^pa et 2Q,
on voit que, pour avoir la même flèche, il faudrait assujettir
ces poids à la relation -pa ~ Q, c'est-à-dire que, au point de
vue de la /lèche produite, un poids uniformément réparti sur la longueur entière de la poutre est l'équivalent des cinq huitièmes de ce poids condensés au milieu. Si l'on voulait, au contraire, que le moment fléchissant maximum fût le même, ce qui entraînerait comme conséquence l'égalité des plus grandes tensions ou pressions longitudinales développées à l'intérieur de la poutre, il faudrait poser le maximum de
Q(rt - x) égal au maximum de ^- p[à^ — x^), c'est-à-dire
Qa -- pa\ ou bien Q — -pa.
Donc, au point de vue de la tension ou pression maximum produite suivant la longueur des fibres, le poids uniformément réparti sur la longueur entière de la pièce équivaut à la moitié de ce poids condensée au milieu.
Dans le cas mixte où Ton aurait à la fois la charge ^pa et le poids isolé 2Q, on trouvera facilement ce qui se passe, en se
PRISMES FLÉCHIS PAR DRS FORGCS TRANSTERSALES. 89
reportant au théorème du n° 26. li suffira d*ajouter algébriquement les effets dus à ces deux charges agissant isolément. On peut encore supposer que le pofds iQ agit, non plus à égale distance des appuis, mais en un point quelconque, à la distance x' de l'appui A. Les réactions en A et B sont alors respectivement
-[2a — x') et ^^— ; a ' a
par suite, on voit que le moment fléchissant, dans une seclion quelconque définie par sa distance x à l'appui A, a pour valeur
X =^ — [7.a — x') pour x variable de 0 à x\
Qx'
