OUVERTURE
POIDS p PAR MÉTRÉ COCRA!ïT
pouTant remplacer un convoi simple de Toitures
à deux roues.
à quatre roaet.
ii35
ff
tf
En supposant que les poids maxîma des voitures ou des chevaux ne soient plus ceux qui ont servi de point de départ au calcul du Tableau ci-dessus, ou même qu'on change la composition des attelages, M. Kleitz a établi que les chiffres de ce Tableau doivent être modifiés à peu près en raison directe des plus grands poids accidentels, attelages compris, que les travées peuvent recevoir.
30. Poutre droite encastrée à ses deux extrémités, — Rien n'est modifié dans les données de la question traitée au n** 27, si ce n'est que les appuis placés en A et B [Jig, 19), au lieu d'être de simples points fixes, sont des encastrements qui maintiennent la pièce horizontale en ces points. On peut ima- ^'^' '^* giner que cet effet se produit t^^'" ' '^^^^^ au moyen de pressions verti- î cales descendantes exercées sur c les prolongements de la pièce au delà des sections faites en A ^^q et B, oii continueraient à se
développer des forces verticales ascendantes. Si donc nous transportons au point B toutes les pressions exercées vers l'extrémité de droite, il faudra joindre un couple à ces forces transportées, et la même chose aura lieu pour l'appui de gauche. Ainsi donc les réactions des deux appuis, évidemmeiil égales en intensité (par raison de symétrie), seront remplacées chacune par une force verticale Y appliquée en A ou B et par un couple dont nous appellerons fj. le moment. Pour déterminer Y, nous remarquerons que, si la charge consiste en un poids npa uniformément réparti sur la longueur aa de la pièce et en un poids ^Q concentré au milieu, chaque appui doit fournir une réaction verticale égale à Q -h pa, car, autrement, les forces extérieures ne se feraient pas équilibre en projection verticale. Dès lors, il reste seulement à chercher la grandeur du couple fx.
Pour cela nous prendrons encore, comme dans le problème
d^y du 0*27, l'expression de la seconde dérivée -7-=-, 5 en fonction
des forces qui agissent depuis le point correspondant jusqu'à
Io8 CHAPITRE DEUllfcME.
rexirémilé de la pièce. Nous aurons ainsi
On lire de là, par l'iniégralîon depuis la limite ^ = o,
dy ^ ( X
Or ->- doit s'annuler pour x^ ^a comme pour jr-i^o; donc
on a
o=r— -Q«'— ^pa'-f-/^^,
ou bien
y.— -(^a-\- :^pa\
Le couple ix élant maintenant déterminé, on peut facilement avoir la courbe affectée parla pièce, ainsi que la tension en un point quelconque. Ainsi l'on substituera [/. dans Tex-
pression de -y-? et Ion aura
, dy - / x' ax\ I / , ^' 2
-- - — --Qiax — x^] — -. p 1 a^ ^ - a:' ) ;
intégrant ensuite et déterminant la constante par la condition que j soit nul pour ^ = a, on trouvera
I ^ / ax^ x^ n^\ \ I a»x» x^ a* \
et, par conséquent, l'expression de la flèche CC sera
Ici Ton voit que, pour la production de la flèche, la charge
uniforme équivaul à sa moitié que Ton concentrerait au milieu. On voit aussi, en supposant successivement p = o, Q = o, que la substitution, en A elB, des encastrements aux appuis simples diminue la flèche dans les rapports respectifs de 4 6t de 5 à i.
Il faut maintenant étudier comment varient, pour une seclion quelconque, le moment fléchissant X et TefTort tran-
chant P. Le moment X, qui a été égalé ci-dessus à er» —»
a pour expression, dans la section définie par l'abscisse x,
Xr--Q(«-^)-~p(a'-ar2)-l-^,
OU, en substituant la valeur de u,
\ -~ — - la — 2x] — -xpia^ — 3x'],
Cette quantité, d'abord négative pour x = Oy est croissante, c'est-à-dire qu'elle diminue en valeur absolue et devient nulle pour une valeur or' de x facile à déterminer. On aurait à résoudre l'équation du second degré
— la — 7.x'] -î- 7i pî a- — 3x'^] -- o,
d'où Ton tirerait une seule racine positive, comprise entre - et-rr ou entre o,5oort et 0,577^, valeurs qui correspondent
à /) — o et Q -— p. Pour l'abscisse x', le moment X serait nul
ainsi que ^,-, par suite, la courbe présenterait une inflexion.
Au delà, X change de signe, mais reste toujours croissant. Ainsi ses plus grandes valeurs absolues, intéressantes à connaître pour calculer les pressions et tensions maximum (n'^»19 et 20), répondront à x ^=^0 ei x^=a; elles seront
^^P!^ et ^-H-^'.
Le premier de ces moments est d'ailleurs négatif, c'est-à-dire
I lO
GHAPITRB DEUXIÈME.
qu'il agit pour faire tourner de Cj vers Cx; le second agit en sens contraire. Donc le premier comprimera les fibres du haut de la section faite en C et étendra celles du bas; vers les appuis, c*est Tinverse qui aura lieu.
L'effort tranchant P ne donne lieu à aucune remarque particulière; sa détermination serait la même qu'au n*' 27, puisque rien n'est changé aux forces extérieures, sauf Tintroduction du couple [j.y qui n'influe pas sur la valeur de P.
31. Poutre droite encastrée à une extrémité et appuyée à Vautre, Recherche de la réaction des appuis. -- Soit AB [Jîg. 20) la fibre moyenDe de la pièce, laquelle est supportée en A et B par deux appuis qui rendent
invariable la position de ces points, et dont l'un, l'appui A par exemple, maintient la section faite en A dans sa direction première. Supposons, en premier lieu, que la pièce ne soit soumise qu'à une charge 2Q, devant laquelle on néglige son poids propre. Appelons 2/7 la longueur AB, na l'abscisse du point C où est appliquée la force aQ. Il s'agit d'abord de déterminer les réactions des appuis, lesquelles consistent en deux forces verticales Y, Y' appliquées en A et B, et en un couple /x à joindre à la force Y pour tenir compte de l'encastrement.
On aura les équations suivantes, fournies par la Statique des corps solides :
Fig. ao.
Y-hY'-h2Q=o, 2rtY'-4- iQna -\- p =r o.
L'équation qui manque encore pour trouver les trois inconnues doit exprimer que le point B de la fibre moyenne est resté immobile. Pour la trouver de la manière la plus commode, il convient de supposer un instant que l'appui B n'existe pas, et de chercher quel serait alors l'abaissementy à l'extrémité B de la pièce AB encastrée en A et soumise en C à la charge unique 2O. On applique, à cet effet, l'équation (16) du n** 26; l'origine étant placée en A, il faut y faire ;>„ et 0^ ^^ids, et l'on a ainsi
J/>2rt /»
By/r
er
La quantité B, a pour valeur nn — x entre x - o et x — na\ au delà de X = /la, elle est constamment nulle. De plus, er^ sera constant si nous
PRISMES FLÉCHIS PAR BBS FORGES TRÀlfSYRRSALES. III
admettons, comme aux n^ 27 et 30, que la poutre a sa section invariable; alors on effectue l'intégration par le procédé indiqué au n" 26, ce qui
doDDe
eF^y= aQ [ia— .^na\ ~ ^~ (6— /?).
Maintenant, si Ton supprime la force 2Q, et qu'on la remplace par la force Y' appliquée en B, ce point éprouvera un abaissement y qu'on peut calculer en faisant dans la dernière formule aQr.Y', n~i, d'où résulte
er'r = S"«\
Or, quand aQ et Y' agissent simultanément, l'abaissement du point B est (n«26)y-+-^'*; donc, si le point B est rendu fixe par un appui dont Y' représente la réaction, on doit avoir j'-i-y — o ; donc enfin l'addition des deux équations précédentes, membre à membre, fournit la relation
,ÎQ/iV/»(6-//)-H -YV/^»: o, et, par suite, (3) Y' --= - <?^^g- "1- .
Vêtant connu, on tirera des équations (i] et (2) Y---aO-Y\
Lorsqu'il y a seulement une charge uniformément répartie a/^^r, on pourrait trouver ces réactions en employant les équations d'équilibre et exprimant en outre, au moyen de l'équalion (10) du n* 20 intégrée deux fois, que l'ordonnée j s'annule au point B; les calculs seraient même
assez simples, parce que —-^ se représenterait par une seule fonction
de X dans toute l'étendue de la pièce. Mais on peut, plus simplement encore, faire usage du théorème établi au n" 26. A cet effet, la charge T^pa sera décomposée en une infinité de charges élémentaires />a^///, n étant une variable comprise entre o et 2; chaque charge padn produirait dans les appuis des réactions infiniment petites exprimées par
dY -^ - ^pan^(^ - n)dn,
dY = — padn - dY',
d^i = — -/>fl'/7(8 — (jn -+ n^)dnj
112 CHAPITRE DBUXIÈHE.
ainsi qu'il résulte des formules qu'on vient d'établir. En vertu du théorème cité, pour avoir les valeurs de Y, Y', p qui répondent à la charge a/w, il faudrait faire la somme des valeurs que prennent ces expressions quand n varie par degrés insensibles de o à 2. On aura donc
Y'-- -/^fl/ n^[(^~n)dn --pa, *• 0 ■'
fX
pa'
Il est clair qu'une méthode analogue serait applicable si les charges étaient distribuées sur la pièce suivant une loi quelconque, continue ou non.
32. Suite (lu problème de la poutre encastrée à Vune de ses extrémités et appuyée a Vautre, Figure de la fibre moyenne déformée. Moments de flexion et efforts tranchants. — Supposons d'abord que la force 2O existe seule, concurremment avec les réactions qu'elle engendre au-dessus des appuis. En vertu du théorème général sur la superposition des effets des forces (n** 26), l'ordonnée y en un point quelconque est la somme algébrique de celles qui se produiraient si les forces 5»Q et Y' agissaient l'une après l'autre sur la poutre, celle-ci étant encastrée au point A pondant que B serait censé libre, et la force Y' ayant la valeur ci-dessus trouvée. Or TelTet de la force 2Q se calcule par le même moyen qui nous a déjà donné (n'' 31) l'abaissement y' du point B sous l'action de cette force ; l'emploi des formules du n° 26 donne :
Dans la partie AC,
Dans la partie CB, ( ) ) cv' j — Q /i V/M X — - na \ •
Si nous prenons, au lieu de 2Q, une force Y' agiïisant en B, il est clair que son effet s'exprimera par l'équation (4), en y mettant Y' au lieu de 2 Q et faisant n = 1. On aurait donc, sous l'action isolée de Y',
ef^y = Y' (cix-^ - -^-) ----- - 1 0,1^(6 - /O («^' - '^y
PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSYBBSALBS. Il3
Saperposant enfin les effets, nous trouverons : Dans la partie ÂC,
er^y — 2
Ol'r-î)-?!"-»)»!!.^-!)
M { == ~[6/wx=>'-6/î-f-8)- jr'(«'-6/i'-f-i6)]
Dans la partie CB,
= ~r-r(6 — /?)x^-6(6 — /i)ax=-h48«'x— i6/iaM.
Pour avoir la flèche maximum, on doit chercher le point où l'inclinai-
dy
son -^ s'annule. Or on a, en prenant les dérivées des deux équations
précédentes,
expressions respectivement applicables aux parties AC et CB de la fibre moyenne. L'expression (8) devient nulle pour .r ~ o et pour
^= r -: cette valeur fera réellement connaître la situation du
point où la tangente à la courbe est horizontale si Ton a
4/îfl(4 — /?) ^
car autrement la valeur de x se rapporterait à un point auquel ne s'applique pas l'expression (8). Or, le trinôme S -h in — n^ restant toujours positif pour n compris entre o et 2, l'inégalité précédente donne
ou bien
ou encore
