I. 3«édlt

Il4 CHAPITRE DBUXiftMB.

inégalité qui ne saurait être satisfaite par des valeurs positives de n comprises entre o et 2, à moins de poser

4 — /2<v/8, ou bien /?> 1,172.

Ainsi la plus grande flèche produite par la charge isolée 2Q se trouvera ou ne se trouvera pas entre rencastrement et le point d'application de cette charge, suivant qu'on aura n plus grand ou plus petit que i ,172. Si /i est > 1 ,172, la flèche maximum s'obtiendra en faisant, dans Téquation (6),

Lorsque /î sera au-dessous de 1,172, ce sera dans la partie CB qu'on devra chercher la flèche maximum. On fera donc -^ ~ o dans l'équation (9), et l'on aura, pour déterminer l'abscisse correspondante à ce maximum,

(6 — n)x' — 4(6 — /i)rtx-f- i6fl' - 0,

d'où l'on tire

= *«(■- s/'Ir-i)

Dans le cas particulier où la charge agirait à égale distance des points d'appui, il faudrait faire n= i\ l'abscisse déterminée par cette relation serait

.r — 2rt I I — 1/7] I , ioG« ; la flèche correspondante donnée par l'équation (7) serait

3/5er'

Le coefficient 3 y/S est compris entre ceux qu'on a trouvés (n*** 27 et 30) pour le cas de deux appuis simples et pour le cas de deux encastrements. Considérons maintenant le cas de la répartition uniforme de la charge, dont nous désignerons la valeur totale par ipa^ p étant toujours sa valeur par unité de longueur. Alors on a pour l'expression du moment fléchissant, dans une section quelconque,

PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSVERSALES. Il5

OU, en substituant la valeur de Y',

\ ^^ Jfp =-p{ia-xi'- ~pn[ia-œ)

On en conclut par l'intégration

er^-^ = - n la'x ax' h- - jt

Pour avoir le point où / est le plus grand, il faut faire -^ = o, ce qui, à part la solution étrangère x o, donne Téquation

4^* — iSax -h \ia^ --- o,

d'où

x = a[ —g — ) ^ i,i56fl;

le signe -+- du radical doit être rejeté, parce qu'il donnerait x > a a. La flèche maximum se calculera en intégrant ^- , et substituant cette valeur de X dans l'expression de j. On aura ainsi

er'

y — -p[ arx' — - ax" -j- - x' ) - — r vx^ \ia— x\ i 3/7 — x) , 4\ o 0/24

/= , ^f ■ ( 39 -t 55 yjYs) =---- 0,08666 ^' .

La valeur de /est comprise aussi entre celles qu'on a obtenues précédemment (n*^ 27 et 30) quand on avait deux appuis simples ou deux encastrements aux points extrêmes.

Afin de compléter l'étude du problème actuel, il ne nous reste plus qu'à chercher comment varient le moment fléchissant et l'effort tranchant pour chaque section de la poutre, lesquels sont nécessaires dans le calcul des pressions et tensions. Le moment X est facile à obtenir, car on connaît complètement, dans chaque cas, les forces qui agissent sur la poutre. On voit que, si la charge isolée aQ existe seule, ce moment sera représenté par deux fonctions du premier degré en x, applicables, l'une entre A et C, l'autre entre C et B; de telle sorte que ses trois valeurs limites répondront à x = Of x = na^ x = 7,a^ et seront exprimées respectivement

Il6 CHAPITRE DEUXIÈME.

par

aQ/7fl-+-2û[Y' ou 7/1(4 — 'ï) (2 — «)Qfl, pour le point A,

Y'/i(a — w) ou — Q /i(2 — /?) (6 — /ï)Qa, pour le point C,

zéro, pour le point B.

Ainsi ce serait en A ou C que se trouveraient les plus grandes pressions ou tensions longitudinales.

Lorsqu'au contraire on suppose Q = o et que p subsiste seul, on a déjà trouvé la valeur du moment fléchissant, qui n'est autre que le second membre de l'équation (10). Il peut se mettre sous la forme

sous laquelle on reconnaît qu'il s'annule pour x = - et pour x — 2^, et

que ses limites de grandeur absolue répondent à x ;- o et à x— - 1

cette dernière valeur de x étant celle qui rend égaux les deux facteurs ^a — ix et 7.x — a^ dont la somme est constante. Les limites du moment fléchissant sont donc

-/?rt\ répondant à ,r--o, — f-pci^i répondante x~--a.

et (P Y

Ce moment est d'ailleurs positif entre .r =^ o et o: = -5 par suite -^4 l'est

aussi, et la courbe tourne sa concavité vers le bas. Dans le reste de la

pièce, le fait contraire se produit. Entre x ^ o et x = -^ ce sont donc

les fibres du dessus qui sont tendues et celles du dessous comprimées,

tandis que l'inverse a lieu entre x = - oi x = ia.

Dans le cas mixte oii p et Q existent tous les deux, le moment fléchissant est exprimé par deux fonctions du second degré en x, aisées à trouver d'après ce qui précède. Nous laissons au lecteur le soin de les discuter. Nous donnerons feulement les expressions de l'effort tranchant, qui sont :

Entre A et C, P = aQ - Y'-p(^a - x) - r IQi- 16 -t- Ori'-n') -f- ^/?(4j:- Sa);

Entre C et B,

P est donc toujours une fonction du premier degré en ar, dont les valeurs limites répondent, par conséquent, aux limites de x. On les obtient en faisant x = o et x = na dans la première expression, x - na et x = ^a dans la seconde ; on trouve ainsi les valeurs

-Q(— 16 -h 6/2= — /i^) — --pa pour Teffort tranchant en A,

r:Q{—i6-^6n'^n^)^'pa(Jin—5) » en C, *

^Qn\& — n) -h -pa(in— 5) » en C,

^Qn^(6 — n) -n -pa » en B.

P varie uniformément dans chacune des deux parties AC et CE; mais il éprouve en C un changement brusque, parce qu'on doit cesser d'y comprendre la force 2Q dès qu'on a dépassé ce point.

§ in. — Poutres droites soutenues par deux appuis , considérées

dans l'état de mouvement vibratoire.

33. Observations générales; questions à étudier, — Nous n'avons considéré, jusqu'à présent, Teffel des charges transversales sur les poutres droites, supportées par deux appuis, que dans i'élal d'équilibre; or ces poutres peuvent être aussi à l'étal de mouvement, et il se présente alors, à l'égard des charges, deux hypothèses distinctes, toutes deux fréquemment réalisées dans la pratique, i'' Les charges, d'intensité constante, restent toujours appliquées aux mêmes points de la poutre. Il existe alors pour celle-ci une figure d'équilibre définie par l'équation (10) du n'' 20; mais, les divers éléments de la poutre n'y arrivant pas simultanément ou n'y arrivant pas sans vitesse acquise, cette figure (si elle se réalise à certains instants) sera incapable de se maintenir, et il se produira un mouvement vibratoire dans lequel il y aura, pour chaque point matériel, prédominance alternative des forces extérieures qui tendent à l'éloigner de sa position première et des forces

Il8 CHAPITRE DEUXIÈME.

moléculaires qui lendent à l'y ramener, tp Les charges, toujours d'intensité constante, parcourent la poutre avec une vitesse V sensiblement constante en grandeur et direction; la position des charges relativement à la poutre se modifiant sans cesse, la fîgure nécessaire à l'existence de l'équilibre change elle-même, et par ce seul fait l'équilibre devient impossible, sauf dans quelques cas exceptionnels qui seront étudiés plus loin : il y a donc encore alors mouvement produit. Maintenant on peut aborder deux questions avec les données de l'une ou de l'autre espèce, i** Lorsqu'une pièce métallique a été soumise un grand nombre de fois à des flexions réitérées, à des secousses, à des vibrations, s'opère-t-il dans l'arrangement de ses molécules quelque modification qui diminue sa résistance, et notamment les pièces en fer passentelles de l'état fibreux à l'état cristallin? 2° Quels sont les effets mécaniques immédiats dus aux vibrations de la poutre, et quelles augmentations en résulte-t-il dans les flèches ou dans les tensions intérieures?

34. Résultats d'expérience concernant la première question, — Dans rétat actuel de nos connaissances relativement à la constitution intime des corps, la réponse à la première des deux questions ci-dessus ne peut être demandée qu'à une étude expérimentale. Cette étude a été faite en Angleterre^ d'une manière aussi complète que possible, au moins pour le fer et la fonte, et nous allons rendre compte de ses résultats.

En 1847, '^ gouvernement anglais, à la suite de plusieurs accidents arrivés à des ponts de chemins de fer, nomma une Commission pour faire une enquête sur les conditions que les ingénieurs doivent observer lorsqu'ils emploient le fer ei la fonte dans les constructions exposées à de violentes secousses et à des vibrations. Ce programme comprenait nécessairement la question que nous avons en vue. La Commission a constaté d'abord, en interrogeant un certain nombre d'ingénieurs et de constructeurs en renom, que les hommes de pratique avaient sur ce point dos opinions très-diverses; les uns se prononçaient pour raffirnuuivo, les autres pour la négative, et attribuaient rétat cristallin soit au mode do fabrication, soit au

mode de rupture. La Commission a ensuite exécuté des expériences nombreuses, dans des conditions variées, i® Une barre de fonte à seciion carrée, de o",o76 de côté, a été placée sur des supports écartés de 4"", 27; une boule pesante, suspendue à un fil de fer de 5"',43 de longueur, était ensuite écartée de la verticale du point de suspension et venait, en retombant, frapper la barre par le milieu. Le nombre de chocs ainsi produits sur une même barre est allé jusqu'à 4000; on en faisait varier l'intensité, en changeant soit le poids de la boule, soit simplement son écart de la verticale. 2*» On a plié des barres de même force au moyen d'une came tournante, qui les fléchissait lentement et les laissait ensuite reprendre leur forme primitive; d'autres fois on employait un moyen par suite duquel la flexion était accompagnée d'une violente trépidation. Ce genre d'épreuves a été répété, dans certains caS| jusqu'à 100 000 fois sur chaque barre. 3"* Enfin, on a fait promener lentement, et jusqu'à 96000 fois sur certaines barres, un poids égal à la moitié du poids de rupture.

Dans les deux premiers genres d'épreuves, on a reconnu que les barres de fonte n'avaient subi aucun affaiblissement tant que la flèche passagère, prise sous l'action du choc ou de la came tournante, ne dépassait pas le tiers de celle qui aurait eu pour conséquence la rupture instantanée, et l'on s'assurait du fait en constatant qu'il n'y avait pas de diminution dans la charge morte capable de produire la rupture immédiate. Au contraire, les barres étaient affaiblies quand la flèche passagère atteignait la moitié du maximum, et dans ce cas moins de 900 flexions suffisaient pour briser la pièce. On conclut de là que la flèche passagère, mais réitérée, prise par une poutre en fonte, ne doit pas dépasser le tiers du maximum; et, comme les chocs aussi bien que le mouvement imprimé à la charge peuvent augmenter beaucoup la flèche déjà produite par le poids mort, il suit de là qu'en réduisant le maximum de la charge totale au sixième de celle qui entraînerait la rupture, on aura une limite à peine suffisante pour la sécurité, même en admettant que la poutre soit parfaitement saine. Le troisième genre d'épreuves ne conduit pas à modiOer celte conclusion, car la flèche passagère pourrait alors atteindre la moitié au lieu du tiers de la flèche de rup-

I20 CHAPITRE DBUIIÈMB.

ture. Ainsi se trouve justifiée en partie la règle pratique posée au n^ 11, relativement à la limite que ne doivent pas dépasser les eiforts de tension ou de compression longitudinale, pour qu'on puisse compter sur la conservation indéfinie des pièces qui les supportent.

Le Rapport entre dans moins de détails au sujet du fer. Cependant il mentionne ce fait qu'aucun alTaiblissement notable n'est résulté, pour les barres en fer forgé, de loooo flexions produites par une came tournante, chaque flexion étant due à la moitié du poids qui, par sa pression statique, produirait une grande flexion permanente. Nous ne savons quel est ce poids, et il reste ici un peu de vague. D'ailleurs la Commission conclut, pour le fer comme pour la fonte, qu'il faut limiter la charge au sixième du poids de rupture (').

On voit, en résumé, que la Commission anglaise ne paraît pas redouter beaucoup les altérations du métal résultant des secousses et déformations passagères, pourvu cependant que ces causes n'agissent qu'en restant au-dessous de certaines limites. Mais la question est-elle bien de celles qui peuvent se trancher par une expérience de quelques mois, de quelques années même si l'on veut, et ne faut-il pas plutôt une expérience séculaire? L'avenir nous donnera sans doute la réponse; il montrera si les constructions métalliques, employées aujourd'hui si fréquemment dans les chemins de fer et dans une foule d'édiflces publics ou privés, finissent par cristalliser et perdre leur résistance après une certaine durée. En attendant, sans vouloir méconnaître les mérites spéciaux de ces constructions et les ressources précieuses qu'elles donnent aux ingénieurs, il est peut-être prudent de réserver un peu son opinion.

L^ Commission a également fait diverses expériences sur la seconde question, concernant les elîets mécaniques immédiats des chocs ou du passage des charges mobiles. Avant d'en exposer les résultats, nous allons d'abord traiter cette même

^') Le Rapport de la ('.ommissiuii, trailuit par M. Kusche, ins|>ecteur général des Ponts et Chaussées, est inséré dans les Annales <irs Ponts rt Chaussées, i85i, 1 *' semestre.

PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORCIS TRANSVERSALES. 121

question théoriquement dans divers cas particuliers se rapportant aux deux genres de données définis plus haut (n'^SS).