ax

— /?' -'^1^^. Il y aurait quelque chose d'analogue pour la

dernière travée; mais dans une poutre symétrique elle est inutile à considérer, car elle reproduirait symétriquement ce qui existe dans la première.

n. Du rapport le plus convenable entre Vouverture des travées de rive et celle de la travée centrale, clans une poutre reposant sur quatre appuis, — Considérons une poutre supportée par quatre appuis A,^ A,, A,^ A3, symétriquement disposés par rapport à son milieu : nous aurons ainsi deux travées extrêmes avec une même ouverture b^ et une travée centrale d'ouverture c. La poutre est soumise à la charge permanente et aux surcharges définies plus haut ( nMl ) ; sa longueur totale ib-^c étant de plus supposée constante, il s'agit de déterminer la valeur la plus con-

venable du rapport 7 = <^.

PRISaiES FLÉCniS PAR DBS FORCKS TRANSVERSALES. l8l

Or on peut pour cela s'imposer diverses conditions à remplir. D'après ce qu'on a dit au n"" 19 sur le peu d'influence qu'ont en général les efforts tranchants, on peut d'abord demander que le maximum de tension ou pression dans le sens longitudinal soit le plus petit possible, toutes choses égales d'ailleurs. Ce maximum est proportionnel à celui du moment Qéchissant (n° 19), et, par conséquent, c'est cette dernière quantité qu'il

faudrait diminuer autant que possible par le choix du rapport j ou S,

Déterminons donc le plus grand moment fléchissant produit par la charge permanente ou les surcharges, et voyons comment il varie avec ^.

Si l'on a seulement la charge uniforme de p^^ par unité de longueur sur toute la poutre, le moment X en un point quelconque se calcule par les formules données dans la troisième Partie (n"' 35 et 37, III). On

trouve , en faisant /î=3, q = -i /< — i,

et par suite :

Dans la première travée,

(») X = X ^ - â/'^l'- -•'•' = - 4 P''-^ -û-^^ -^Z'""' Dans la seconde travée,

(3) X = X, px IbS — x) = - pb'--^ pbox -\ — px\

L'origine des abscisses est en A^, dans la première travée et en A, dans la seconde.

L'expression (2) a pour dérivée

—- = — -pb — -^ h px,

dx 4 '^ 3 j -H 2 '

quantité négative, nulle ou positive, suivant que l'on prend x inférieur, égal ou supérieur à l'abscisse particulière

^ " 4 ~3(ÎH-2 '

donc le moment X dans une travée de rive, nul d'abord sur la culée, commence par être décroissant algébriquement (c'est-à-dire qu'il est négatif et augmente en valeur absolue) jusqu'à x = $; il atteint alors une limite — u, et l'on a

iHa CHAPITRE DEUXIÈME.

Au delà de X = Ç jusqu'à x = i^le moment varie de — p à zéro, puis il augmente de zéro à X, ; ses valeurs extrêmes, abstraction faite du signe, sont donc X, et p. Quant à l'expression (3), on pourrait la représenter par les ordonnées d'une parabole à axe vertical ayant son sommet sar l'ordonnée du milieu de la travée; ses valeurs extrêmes répondront donc

à X = o, qui donne X = X,, et à j: = - ^(î, qui donne un moment — a' ayant pour grandeur absolue

(5) y^-lp^^'-^p^'h^ = ip^

Ce dernier moment — tx' est négatif avec les valeurs habituelles de 5, et c'est pour cela que nous l'avons écrit en changeant son signe.

Le maximum absolu du moment fléchissant dû à la charge permanente, dans la demi-poutre (et par conséquent dans la poutre entière, puisqu'il y a symétrie), sera Tune des trois valeurs X,, p, p', toujours prises avec le signe -h. Afin d'exprimer ces quantités en fonction de la seule variable S^ soit 2 L la longueur totale de la pièce; on aura

iL = ib -\- bo -- ^(2 H- •?),

d'où résulte

Par la substitution de cette valeur, les formules (i), (4) et (5) deviendront

(8) ^^IpV ^^-^^-'^

Voici le tableau des résultats que donnent diverses substitutions de nombres à la place de 5 dans ces dernières formules :