IX

(là

ou bien

3o'(2 H- 3y(Zo -h 2) - (0' -:- i) [3(2H- ^)' -h 2{-x-^r7) (3o ou encore, en supprimant le facteur 2 -+- ^, et réduisant,

iJ^Q^ -r-iio' — 90 — 10 = o.

Cette équation se résout par tâtonnement; elle n'a qu'une racine positive

qui est le nombre cherché.

Ainsi donc, si la poutre ne devait jamais être soumise qu'à une charge unifornie sur toute sa longueur, et si l'on avait seulement en vue de diminuer autant que possible la plus grande tension ou pression longitudinale de la matière, il faudrait donner moins d'ouverture à la travée centrale qu'aux travées de rive et prendre pour le rapport S la valeur 0,859. Comparativement à ce qui a lieu pour ^ = i , l'avantage ne serait pas d'ailleurs bien grand, car le maximum absolu du moment X, égal à o^oHHpV pour 5 = 1, s'abaisserait seulement à o, 04367/^ L^ pour

iH^ CHAPITRE DKUXIÈMK.

u - (>,Hj9; on aurait donc une diminution relative de 1,75 pour 100 (Miviron.

La considération des surcharges peut conduire à modiGer ce rapport de 0,859. Supposons une surcharge p* par unité de longueur, agissant, abstraction faite de la charge permanente, sur une, deux ou trois travées choisies comme on le voudra. Il se produit alors, dans chaque section de la poutre, divers moments fléchissants, dont le plus grand en valeur absolue peut se représenter par l'ordonnée d'une courbe. Nous avons dessiné ces courbes pour une moitié de la poutre (ce qui suffit, à cause de la symétrie) en attribuant à <^ les huit valeurs inscrites dans le Tableau précédent : ce sont les polygones mixtilignes tracés au-dessus de Taxe 01 des abscisses, dans les Ggures numérotées de 11 à 18 et composant les Planches I, II, III de l'Atlas joint à la troisième Partie du Cours. L'inspection de ces figures montre que le plus grand moment se produit toujours au-dessus de la pile, et l'on sait (n** 26, III) qu'il répond à la surcharge des deux travées adjacentes à cette pile. Son expression algébrique a été donnée ci-dessus, au n** 45 : on a, en appelant fx" le moment dont il s'agit,

'^'^V'^ V3"dT-7-^^^)^T^^^^3r;-^.)(à- + .)^

ou bien

9 v- =^p ^ rr - M ^ ;- •

Voici le Tableau des valeurs que prend t/" pour les huit valeurs de 0 déjà essayées :

Valeurs de d Rapport - ' . r <

*^* pi L»

Ce tableau montre que u!' passe par un minimum aux environs de r? = 0,9, et ce minimum donnera la plus grande réduction possible du maximum de X. Pour trouver la valeur correspondante de ^ on posera l'équation

PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. l85

qai, toutes réductions et siroplifications faites, devient

-]§' -h aoc?^ -+- 3<?' - i6(y - 8 =• o.

On en tire ^ = 0,913, valeur qui, portée dans l'expression (9), fournit le minimum de fx", égal à o,o5i59/?'L'. Pour <?= i, a* est égal à o,o5i85/>'L'; la diminution relative obtenue en posant B ~ 0,913 est donc de o,5o pour 100 environ.

Il résulte de cette discussion que, si Ton déterminait les dimensions transversales de la poutre uniquement d'après le maximum de tension longitudinale, il y aurait avantage à faire en sorte que l'ouverture d'une travée de rive fût à celle de la travée centrale dans un rapport peu différent de 0,9. Il convient d'ajouter que, comparativement avec ce qui se passerait dans le cas d'un égal espacement des appuis, l'avantage obtenu serait très-faible ; il consisterait dans une réduction du maximum absolu de tension ou pression longitudinale, variable entre i ,76 et o,5o pour 100, suivant l'importance comparative de la charge permanente et des surcharges.

Mais, ainsi qu'on l'a déjà dit au n° 41, les constructeurs ont habituellement égard aux valeurs du moment fléchissant X dans toutes les sections, et non pas seulement au maximum. En se plaçant à ce point de vue, il convient de chercher à réduire autant que possible, non le maximum, mais bien la moyenne des valeurs absolues du moment fléchissant. C'est ce que nous allons faire, dans l'hypothèse où il n'y a qu'une charge uniforme, dont le poids est p par unité de longueur.

Soit d'abord t?= i; le moment X est alors représenté par les ordon-

Appui A,

nées de la courbe A.RESFT [fi^. 26), qu'on peut facilement construire, puisque nous avons les expressions (2] et (3) de X dans une travée de

^>s^ CHAPITRE DKUXlfiMB.

* : r:^ «1 .ri\èo Centrale. Le sens positif des ordonnées est censé

' , . » - .\-\K>nnée moyenne en grandeur absolue, il faut calculer la ^ » "v .t.> j r\^> A^RE -h ESF h- FTH et la diviser par A,H. Or on a

. * \, <y \ A.EGÏÏ = o,o4267/?/>';

.. vv y *-A,g(â^h-gk) -h îgê.gr—â7g.gr = 0,00933/?^';

..;. XV K iÂ7ri(Â;SH-HT) -h ^HF.HT — Â7H.HT = o,oi207y?A^;

K\ïw loî* ordonnées moyennes seraient:

IVn^uno travée de rive.. ( 0,0 j'^Oj -+- 0,00933)^^' ou 0,00200/?^'; IMuH la travée centrale.. 2(0,01207 h- 0,00373 )/?Z*' ou o,o3i6o/>6';

iMus la poutre entière. . ;c (0,10400 -t- o,o3iGo)/;^' ou 0,04520/^';

V l, ('(unme b= - L, la moyenne pour la poutre entière pourrait encore se uK'Ure sous la forme

-• o,o4520/>L'=: o, 02009 /pL'.

Lorsque â prendra une valeur différente de i, on conçoit sans peine, par rot oxemple, comment on pourra calculer l'ordonnée moyenne de la courbe représentative des moments. Ce calcul ne saurait présenter aucune difficulté analytique, puisqu'il se réduit à la quadrature d'aires paraboluiucs dans les conditions les plus simples. Sans entrer dans aucun détail à cet égard, nous nous bornerons à indiquer, dans le Tableau ci-après, les résultats relatifs à un certain nombre de valeurs particulières de â. Nous désignerons par y, r\ y les trois moyennes respectivement calculées pour la travée de rive, la travée centrale et la poutre entière.