VALEURS DB
pb^
i,ao
QO
o,o/,9'|8 0,02162 0,02009 0,01923 o,oi8S6 o,oi8«3 0,01888 o,o'<63''f o, 03207
On voit, par ce Tableau, que la valeur 0 = i ,25 est celle qui rend miniinumla moyenne/*; en comparant entre elles les moyennes j" relatives à o = 1 ,23 et «?= I, on reconnaît qu'elles sont clans le rappott de 93,7 à 100. La diminution obtenue quand on passe de o = i à <^ = i ,26 est doDC à peu près de 6,3 pour 100.
On peut encore se demander si la valeur '7 = 1,2 3 produit aussi une certaine réduction dans Taire du polygone mixtiligne dont nous avons parlé un peu plus haut à propos du maximum fx", et qui représente, en chaque point de la poutre, le plus grand moment dû à la surcharge seule (fig. II à 18 de l'Atlas, troisième Partie). Comme nous avons donné dans un Formulaire, à la fin de la troisième Partie, les équations des courbes qui composent ce polygone, il n'y a pas de difficulté à calculer numériquement son aire. Nous avons fait ce calcul seulement pour deux valeurs particulières de <7, et nous avons trouvé :
Dans le cas de 0 = i ,00 o^oZxc^xpV
Dans le cas de 0 — i ,25 o,o3o8o/^L\
Le rapport des ordonnées moyennes à pV devient donc respectivement 0,0319:» eto,o3o8o; par suite, la diminution en faveur de 0*= 1,26 est de 3,5 pour 100.
L'aire de la courbe qui représente les moments dus à la charge permanente seule étant exprimée, comme on Fa vu, par Lf, c'est-à-dire par o, 02009/? L* quand ^ = i, et par o,oi883/^L* quand $ = i ,25, s'il y a tout à la fois charge permanente et surcharge, la moyenne des limites absolues des moments dans les diverses sections sera :
Pour $= 1,00 (0,02009/? -H o, 03192/? )L'
Pour 0 = 1 ,25 (o, 01883/? -*- o,o3o8o/?') L*.
lH8 CHAPITRE DEUXIÈME.
1 .1 Jiiuimiiion relative, quand on passe du premier cas au second, devien-
O.OOIiO/? -h 0,00112/?' » • ui P ' J-i»x
liiint - — -,i rapport variable avec ^,» mais différant
peu de o,i)35 ( i -F , ^— : |: il serait de o,ol6 si Ton avait ^ = i.
\ 5p -h Sp / p
Nous avons aussi cherché (n° 63, III) a rendre minimum le moment Ih'n hissant moyen produit par la charge permanente seule, en supposant qu'on filt maître d'attribuer aux moments fléchissants sur les appuis telle valeur qu'on voudrait. Nous avons reconnu que la moyenne minimum, pour trois travées, a une valeur égale à o,oi849/>L', tandis que, dans les coiidilions admises ici (la section étant censée constante et les appuis de niveau), la moyenne s'élève à o,o2oo9/;L' ou à o,oi883/7L*, suivant (pi'on a (?== I ou r?— 1,25. La diminution correspondante qu'il est possible d'obtenir avec la meilleure disposition possible est, en conséquence, respectivement de 8,0 et de 1,8 pour 100.
En résumé, à quelque point de vue qu'on se place, on doit reconnaître qu'il n'y a pas de raison bien péremptoire pour s'écarter de la valeur <?= i, c'est-à-dire pour ne pas donner la môme ouverture aux trois travées. Sous certains rapports, nous avons, en elTet, trouvé avantajie à prendre â un peu supérieur à 1 , tandis que d'autres considérations conduiraient à le réduire, au contraire, un peu au-dessous de ce nombre. Dans tous les cas, le bénéfice est représenté par une diminution de quelques centièmes sur un moment fléchissant maximum ou moven. Or les moments fléchissants ne sont pas connus très-rigoureusement, puisque nous les avons calculés comme si la section était constante, tandis qu'en pratique on la fait généralement variable. D'ailleurs les calculs de ce genre sont toujours affectés par l'incertitude des hypothèses fondamentales de la théorie : on ne peut donc pas raisonnablement attacher beaucoup d'importance à une diminution aussi faible, peut-être notablement inférieure aux erreurs commises dans les évaluations des moments. Ajoutons encore qu'on pourrait la contre-balancer en pratique sans augmenter les frais d'établissement de la poutre, soit par un léger accroissement des coelficients numériques admis dans les calculs de résistance (coefficients que l'expérience ne saurait indiquer avec précision), soit par un accroissement plus faible encore dans la hauteur des sections transversales. (Foir le §V ci-après.)
Cette discussion ayant exigé d'assez longs calculs, nous n'avons pas cru devoir la répéter dans l'hypothèse où le nombre des travées excéderait trois, d'autant plus que son résultat final paraît en montrer le peu d'utilité pratique.
48. D'une disposition propre à rendre minimum le moment fléchissant moyen d'une poutre à n travées sous l'action d*une charge uniformément répartie. — 11 a été démontre
(n<*63, III) que, si une poutre de longueur donnée 2L, reposant sur n + i appuis, doit supporter une charge uniforme ûep^* par unité de longueur, on rend son moment fléchissant minimum en remplissant les conditions suivantes : !• Donner aux travées extrêmes une longueur
OU, très-approximativemenl,
jfi — 2'
2*» Donner aux travées intermédiaires une longueur commune c, égale à la précédente multipliée par un rapport ô égal
341/0(1 — 1/7)5 ou très-approximaiivement à i , ^5 ;
S'* S'arranger pour que les moments fléchissants au-dessus de tous les points d'appui intermédiaires aient la valeur commune ^pc', ou, ce qui revient au même, -pb^i 1 — \/- )•
Le constructeur dispose des longueurs des travées, et rien n'est plus facile que de se conformer aux deux premières conditions. On voit d'une manière moins immédiate comment on est maître de remplir la troisième. La possibilité existe cependant, et elle existerait alors même qu'on aurait choisi d'autres longueurs de travées, d'autres moments fléchissants sur les appuis et une loi arbitraire pour la variation des sections transversales. Pour le démontrer, concevons qu'on applique le théorème général du n° k2 à tous les groupes de deux travées consécutives : en choisissant pour axe des abscisses la ligne qui joint les deux extrémités de la fibre moyenne définitive, et nommant
ûi> fljf as, . . ., flTfl les ouvertures des travées;
/i, jj,7*3, . . . , /«, les ordonnées de la fibre moyenne définitive
pour les points répondant aux appuis intermédiaires; X„ X2, X3, . . ., X,., les moments de flexion correspondants;
igo CHAPITRE DEUXIEME.
ISj, Uj, • • • 9 t>j» — I y \-i|j LiJt • • • » V-»ll — l i "l> "l> • • • > •*^» — î» *l»
F„ ..., F«, quatre séries d'iniégrales définies, dont les trois premières dépendent uniquement des dimensions IongKudinales de la poutre et de la loi suivant laquelle varie la section transversale avec Tabscisse, et dont la dernière dépend, en outre, des charges mises sur chaque travée,
on obtiendra le système d'équations
-n ^ .iizlî:' ^ c.x. -4- D.x, + F.,
r, — r, . Ta — >'5
>'n-3 Vn ; , Vn -I IV -2 p ^ T V i 11 Y -i F
- — — ~T- — Dn 2 ^V/j 3 -r- L^/,î ^Vi : "t~ *'« 7 -«V, i -r k&. .»
Ces équations, en nombre /i — i, dans lesquelles tous les seconds membres sont calculables numériquement dès que la poulre et ses charges sont définies, déterminent les n — i momenis X, en fonction des n — i ordonnées r,, et inversement; on peul donc choisir comme on voudra la loi de variation des sections, ainsi que les moments sur les points d'appui, et déterminer les ordonnées yi de manière que ces moments se produisent effectivement.
Le calcul a été effectué ,n** 63, \\V en admettant des données conformes aux trois conditions ci-dessus exprimées et supposant, de plus, la section constante. On a trouvé que tous les points de la fibre moyenne situés au-dessus des appuis intermédiaires devaient, si celle fibre était primitivement droite, se trouver finalement sur une certaine parabole à axe vertical, tournant sa concavité vers le bas.
MM. Pierre et Renoust des Orgeries, ingénieurs des Ponts
et Chaussées, ont remarqué que la valeur -^pc^ des mo-
ments X< se produisait tout naturellement, en supposant
nulles toutes les ordonnées j/, lorsque, après avoir fixé les ouvertures des travées conformément aux deux premières condiiions, on attribuait au moment d'inflexibilité de chaque section une valeur en rapport constant avec la valeur absolue du moment fléchissant, telle qu'elle résulte, pour cette section en particulier, de raccomplissementde la troisième condition (']. Si Ton nomme
X le moment fléchissant d'une section quelconque, er* le moment d'inflexibilité de la même section, e,rj la valeur de er* au-dessus des points d'appui,
il faudrait prendre constamment
X 3pc
. fK-\/D
er^ 3260 ri "leop;
le double signe étant toujours choisi de manière à rendre po-
silif le quotient —^- Lorsque la section est de hauteur constante et qu'elle est, en outre, homogène et symétrique par rapporta Taxe de flexion, il est facile de constater, comme on Ta déjà fait au n*» 28, que la proportionnalité supposée entre X et er' est la condition nécessaire et suffisante pour que la poutre soit un solide d'égale résistance; car, E désignant le coefficient d'élasticité et h la hauteur, la tension maximum
XEA
dans une section s'exprimerait par - — -.^ (n° 20), quantité
constante en même temps que — :•
Maintenant, pour démontrer le théorème de M. Pierre, nous ferons observer d'abord que, moyennant nos hypothèses, on a, dans toute travée de longueur a,
'' X'rt — x]dx
(') Le Mémoire de M. Pierre est inséré dans les Annales des Ponts et Chaussées, 1871, !•' semestre; celui de M. Rcnoust des Orgeries fait partie du Volume suivant, même Recueil.
,> CHAPITRE DBUXlfiMB.
•N'Mi '.'4 >ïuo les abscisses x soient comptées à partir d'une .v.v*o u^ Je la travée et que celte extrémité ne termine pas u ./ouuv. On a vu, en effet (n*.63, 111), que X est positif <.i\ oa\ irons des appuis intermédiaires, sur une longueur
dans les travées extrêmes et sur une lon-
juour ,c dans les autres; partout ailleurs, il est négatif. Si
JvuK' nous nommons a la valeur absolue constante de — :>
l\'ç;alilé ci-dessus, débarrassée du facteur a, reviendra aux Miivanlcs :
Dans une travée extrême,
^ '.». ) / h — x)dx — \ [b ^ x)dx=o;
Dans une travée intermédiaire,
ç tic
( 3 ) / [c — x]dx -{- j , c — X dx — l ' c^ X \ dx = o.
On vérifie Tégalilé (2) en construisant un triangle rectangle ei isoscèlc ABC, de base et de hauteur égales à b [fig. 27), et menant DE parallèle à AC, à la distance 6 t /- du point B; si les
X se comptent à partir de A, les ordonnées de BC seront égales à 6 — Xy et l'on aura
[c — x) dx := aire DEÇA,
I (c— jr)rfj; = aireBDE,
•'.(-vi)
aires qui sont égales, parce que chacune d'elles est la moitié
PRISMES FLfiCDIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. IQS
du triangle loial BAC. L'égalité (3) se vérifie par un procédé semblable : on construit un triangle rectangle et isoscèle, de
— Ia
Fig. aS.
nr Aa
base et de hauteur c, et Ton mène les ordonnées aux points de division de la base en quatre parties égales [fig. 28). Les abscisses étant comptées du point A, on a de même
]dx
j [c — x) dx T^ai
aireADEC^-aircBHI,
x] dx — aire n IDE;
or Taire HIDE a pour base HD — - et pour hauteur
FG = - AC=:- c; par suite, elle est la moitié du triangle ABC,
et la somme ADEC 4- BHI en forme nécessairement l'autre
moitié. On voit donc que, dans les premiers membres des
égalités (2) et (3), les termes positifs détruisent les termes
négatifs, et le résultat est bien nul.
Ce lemme préliminaire établi, appliquons Téquatîon (i) du
n" 42 successivement aux deux travées adjacentes à un même
appui intermédiaire A;„, que nous prendrons chaque fois pour
dy origine des abscisses x ou a:'. En nommant Qm la valeur de -r-
en km, a et a! les longueurs (égales ou inégales) des deux
