I. 3« édit
iT.^ 7 pli cation iV U f,r;e N, TT' la ligne inconnue. Prenant v.iit.' (lircciioii KTt.i-i.:::' 5S', on tracera une série de lignes parjtli'lcs oiurc Ifs -•:.-.. -..on s extrêmes SS', S"S", tangentes au pôrirnrlre âr '.'i ■.rt- .: 'iini?e, ou n'ajani qu'un point commun avec lui s'il rsi ■;•: .^■^•.-•nù]. On cherchera, pour chacune de ces ligncTï. ro T'ir fvi'mple, le centre de percussion de la surfaco VBO -■-'■'" ->n-Jossus, en ayant égard à sa densité variable, qui sera supposée, en chaque point, ' ' ' égale au coefficient d'élaslicilé E. Le
> .' .H- lieu des centres ainsi obtenus formera
~ \ une courbe BC parlant du noyau cen-
'ii \ tral ponraller au périmètre exiérieut;
' . i - le point C répondrait à l'axe SS' etle
i,l . ^" ' ,'f" point B a l'axe S"S'". En faisant varier ". j-, - " la direction des lignes SS', on aura
'■•., '' d'autres courbes analogues qui rajon-
» ( > "■ J neroni dans toutes les directions au-
tour du noyau central; on arrivera donc, par tâtonnement, à faire passer l'une de ces courbes par le point donné H, et alors il est visible que le problème sera résolu.
f'i. Triicr lie lu tn)ij;riilc it In cniiilic ilcs rentres de perciLsxion rr/"- Hp ,1 une M-rif d'iuTi iHirnlIi-lfs. — Proposons-nous de mener une lanp-iilo il la courbe BC, dont nous venons do parler, courbe formant If jjrii des ccn 1res (le percussion d'une sOrio de sei;ments interceptés danslj suiTmc" AI'IHJ par des lignes parallèle.^, ers centres ^tant relatifs à une riil.ilitjn autour (le la ii^nc droite qui est pour ainsi dire la corde du se^mi-nl. Noua pouvons résoudre cette question fort simplement dan* l'bypolliéso d'une surface homogène, c'wl-ù-diro d'une surface dans lai|iicll<i \i: coeflicient E ne varierait pas d'un point à l'autre.
Vij l'un de ces axes parallMes;
M In p"int correspondant de la courbe BC, c'est-à-dire le centre de per-
cuwiion du se^Tnenl PBQ relativement à Taxe PQ ; Ml i-i li^-les axes coordonnés, dont l'un, Dj:, est une des positions limites
do ry;
K la distance U<i de PQ à l'axe des ,r;
/( la distance des deux positions limites de PQ, ou la longueur DS';
y, x' les abscisses des deux points où une ligne P'O' parallèle aux x.
men(''e entre PQ et S"S", coupe le périmètre de la surface ;
AUTRES CAS PARTICULIEBS. • îxSg
r,,/, les coordonnées du centre de percussion du segment;
j:„ /, les coordonnées de son centre de gravité;
'.) l'un des éléments superficiels déterminés dans la surface de ce segment
par des parallèles aux axes coordonnés infiniment voisines les unes des
autres; I le signe d'une sommation étendue à tous les éléments m.
Les formules du n** oO [n) permettent d'avoir les coordonnées du centre de percussion en prenant pour axes les lignes GQ et Gj; pour les avoir relativement aux axes coordonnés que nous avons choisis, il suffira de changer/ en /— ?;, et l'on aura
£ disparait, puisque nous supposons une surface homogène ; o) peut être remplacé par fixfir, et l'on trouve
( r. - r. )ffu'- ■'• ) ^^''•^(>' -^ fjiy - ■'-' ) '^'•^^(>s
Si l'on effectue une première intégration pour les éléments qui constituent une tranche parallèle à l'axe des JCy ces deux équations deviendront
x,j \.r'-.r") {y-r)<ly = '- J (y- ,) (^'^- .r"-')./;-.
Sous le signe / nous n'avons que des fonctions de j, et, après l'intégration effectuée, nous n'aurons plus, dans ces deux équations, que des fonctions de r,; nous pouvons donc dilTérentier,par rapport à cette variable, suivant les règles connues, ce qui donne
"mi- -.n,' .'or CCS tiquations, nous remarquerons, en premier lieu, que . j • y^r.)(i)' représente le moment total de la surface PBQ par
- -,'v'»% i ji '.:cno PQ ; secondement, que / (^'— Jc") dy est cette surface
o.TTv 'V . on Un que - / ( x'^ — x"^ ) dy est l'expression de son moment ..-. i : .vrt à l'axe des y. Donc on a
oî la substitution de ces valeurs dans les deux dernières équations donne
IMr suite,
•In
djT^
d'où résulte cette conséquence intéressante que la tangente cherchée est la ligne qui joint le centre de percussion du segment PBQ à son centre de gravité.
Au point B, la valeur —^ se présente sous la forme -; mais, en prenant le rapport des diiïérentielles de /, — >., et de x, — i\y on trouve, pour ce point.
(Li\ (l.v. — (I.V., dx.,
ce qui montre que le lieu des centres de percussion se raccorde tangentiellcmcnt avec le lieu des centres de gravité.
63. Exemples d'applications de la théorie précédente. - Nous allons appliquer la théorie du § III (n°* 60 et 61) à quelques exemples relaiivemeni simples, dans lesquels nous supposerons que la matière est homogène, ou du moins que
le coefficient d'élasUcité ne varie pas dans loule l'étendue de la surface d'appui.
1° Rectangle homogène pressé par une force qui agit sur Vun des deux axes de symétrie, — Distinguons deux cas, comme dans la théorie générale. Si le centre de pression H est à l'inlérieur du noyau central EFGK [Jig. 4^)» c'est-à-dire
si Ton a OU <;â^^^ (n" 59), on rentre dans l'application des
formules du § II, ainsi que nous l'avons vu au n** 60. L'axe
ig. /|2.
neutre est en ÏT' et sa distance au centre de gravité 0 est la troisième proportionnelle au rayon de gyration b de la surface
autour de LN et à OH, cette distance devant être portée en
sens contraire de OU, à partir de 0; ou bien, comme 6' a
pour valeur — PM (n*» 22,/), si l'on pose OU ~ n OM, on
aura
