CD

Le centre de percussion répondant à Taxe CD serait le point E (n« 56, c)\ ce serait F pour l'axe AC. D'après ce qu'on vient de voir, il parcourra la droite EF pendant que divers axes neutres, ayant le seul point C commun avec le périmètre, passeraient de la direction CD à la direction CA. En poursuivant le même raisonnement, on verrait que le noyau central se continue par les droites FG, GK, KE. C'est donc un losange concentrique au rectangle donné, et dont les diagonales sont les tiers intermédiaires des deux médianes.

2** Couronne circulaire ou cercle plein homogène, — Soient R le rayon extérieur, r le rayon intérieur. On sait (n° 22,/) que Tellipse centrale est

un cercle de rayon - y/R- f- r ; par conséquent, tous les demi-diamètres

de cette ellipse ont pour carré 7(R*-f-r^). D'ailleurs la quantité désignée

par OF' au commencement du n^ 59 est ici le rayon R du cercle exlé- R^ -^ r

rieur; donc

iR

représente la distance constante du centre d'élasti-

cité au périmètre du noyau central. Ce périmètre est donc un cercle concentrique à ceux qui limitent la section donnée; son rayon est sensiblement -R si la couronne est mince; il est -R si le cercle est plein. •2 4

3" Couronne elliptique comprise entre deux ellipses semblables ou ellipse pleine homogène. — Appelons, comme au n° 22 (/), /le grand axe et h le petit axe de l'ellipse extérieure, ml et mh les dimensions homologues do l'ellipse intérieure; les axes de l'ellipse centrale d'inertie seront

-l\/i-i-m^ et ~ h \/i ~hm\

Ainsi donc, si l'on désigne par p un demi-diamètre quelconque de la première ellipse, -p \/i -^ m' sera le demi-diamètre homologue dans Tellipse

centrale d'inertie, lequel est désigné par OP au commencement du n* 59. Ce diamètre coupera le contour du noyau central à une distance du

ceDire d'élasticité ép:ale à

[Ljjy/y^nt'y

, c'est-à-dire à -/»(i -f-m').

Donc enfin le noyau central aura pour périmètre une ellipse semblable à celles qui terminent la section; le rapport de similitude avec la plus

srande sera -Ai-^m^), soit environ - ou bien -» suivant qu'il s^a^it ° 4 2 4 1 D

d'une couronne très-mince ou d'une section pleine.

§ m. — Répartition d'une charge totale sur la base d'nn prisme n'ayant pas d'adhérence avec son appui.

60. Généralités. Deux cas à distinguer. Solution du premier cas, — Le problème général traité au n° 57 présente un cas particulier dont nous allons maintenant nous occuper el dont la solution exige des considérations d'une nature tout à fait spéciale : nous voulons parler du cas où la section transversale, dans laquelle on cherche les tensions ou pressions, se trouve précisément à l'une des extrémités du prisme el supporte une force résultante équilibrée par les réactions d'un plan fixe, ce plan étant supposé n'avoir avec le prisme aucune adhérence el ne pouvoir produire, par conséquent, que des pressions proprement*diies. Pour que l'équilibre existe dans cette circonstance, la Statique rationnelle nous apprend d'abord qu'il y a deux conditions nécessaires : i" la résultante doit passer à l'intérieur du polvgone convexe formé par les points d'appui ; 2° elle doit tendre à serrer le corps contre sa base. Ces conditions devront être remplies par le prisme dont nous nous proposonsd'éludier l'équilibre intérieur; maisil faut de plus ajouter, quand on a égard à la résistance limitée des matériaux, que la pression maximum par unité de surface ne doit pas être trop considérable.

Supposons donc un corps P sensiblement prismatique aux environs de la section normale AB {Jig. 4^), à laquelle il se termine et sur laquelle il est porté. Les forces exercées sur ce corps donnent une résultante N satisfaisant aux deux premières conditions ci-dessus énoncées. On demande la pression en un point quelconque

Fi g. 40.

^^ CHAPITRE TROlSlfcMB.

dr h surface AB, afin de pouvoir décider si la troisième est rplcnuMU remplie.

II \ a dans ce problème deux cas à distinguer. Le prisme

^uîiî tiriivemeni prolongé en A'B' dans l'intérieur de son

<■ nn.>ri de manière que AB devienne ainsi une section nor-

T^fi.c iniormédiaire, il peut arriver, premièrement, que la

•hivrie exposée au § II conduise à reconnaître Texislence de

rvrossions dans toutes les fibres élémentaires qui traversent AB;

ô'osi co qui aura lieu si la force N agit à l'intérieur du noyau

*vn:ral (n'^SQ), car, d'une part, toutes les fibres supporieronl

ilos violions de même nature, et, d'autre part, ces actions se-

t\mU bien des pressions, puisque, d'après le sens admis pourN,

}$ lîbrc moyenne doit être comprimée. Or il est naturel de

supposer que les choses se passeront encore de même si la

pn>lonj;ation fictive du prisme est remplacée par un appui ne

ûisant pas corps avec lui, car ce défaut d'adhérence n'empêche

ivïs les actions répulsives nécessaires à l'équilibre de s'exercer

lout aussi bien que s'il s'agissait d'un corps continu. Ainsi

donc le cas où la force agirait à l'intérieur du noyau central de

la base n'a pas besoin d'une étude particulière; il se trouve

compris dans la théorie du § 11, qui permettra d'en calculer

toutes les circonstances. *

Mais il en sera différemment quand la force N, tout en satisfaisant aux deux premières conditions générales de l'équilibre, rencontrera la base en dehors du noyau central. Si l'on voulait procéder encore comme nous venons de le faire et appliquer la même théorie, on trouverait dans la base un axe neutre qui la couperait; pour les points situés du même côié que la force et le centre d'élasticité, par rapport à cet axe neutre, on trouverait une pression , comme pour la fibre moyenne (n°57); et, de l'autre côté de cet axe, on serait ccr.duit à reconnaître une tension. Or cela ne peut pas être admis, car l'appui qui supporte le prisme est bien capable d'exercer sur lui des actions répulsives, mais il ne saurait, par hypothèse, donner lieu à des forces attractives, puisque l'adhérence est nulle. Les points qui ne sont pas pressés n'ont pas de tension à supporter. La base AB doit donc alors se diviser en deux parties, l'une résistant à des pressions, l'autre ne résistant à aucun effort.

AUTRES CAS PARTICULIERS. QlS']

61. Solution générale du deuxième cas. — On voit, par les considérations précédentes, qu'une nouvelle théorie est nécessaire pour résoudre le problème posé au n° 60, dans le second cas, celui où la résultante des charges agit en dehors du noyau central. Nous aurons recours à une hypothèse assez naturelle, consistant à admettre que la partie pressée se comporte comme un prisme isolé et que le surplus est juxtaposé sans exercer aucune influence.il en résulte immédiatement que, dans la partie pressée, la pression par unité de surface suivra les mêmes lois que celles auxquelles est soumise la pression ou la tension en un point quelconque de la section transversale d*un prisme droit. La seule difficulté consiste à trouver la ligne de séparation des deux parties; une fois cette ligne connue, on peut faire abstraction de la partie non pressée et déterminer, dans l'autre, la pression en chaque point, comme nous l'avons fait au n*" GO, pour le premier cas.

Nous voyons d'abord que la ligne de séparation dont il s'agit est une ligne droite. En elîet, c'est le lieu des points pris dans la partie résistante de la base pour lesquels il n'y a ni pression ni tension; or dans cette partie la théorie du § II est applicable, ainsi que nous venons de le voir. La ligne des points où la pression s'annule est donc une ligne droite, car cette ligne n'est autre chose que l'axe neutre de la partie résistante (n° 57). Nous savons, de plus, que le centre de tension, c'est-à-dire le point d'application de la force N, doit cire le centre de percussion de la partie résistante de la base.

En conséquence, le problème consistant à déterminer la ligne séparative des deux parties, lorsque le point d'application de N est donné, peut être posé en ces termes :

Etant donnés une surface plane {la base du prisme] et un point de cette surface [celui où agit N i, tracer une ligne droite qui coupe cette surface en deux' parlions telles que celle des deux qui contient le point donné ait ce point pour centre de percussion relatif à la ligne demandée,

La solution générale de ce problème sera obtenue par des tâtonnements. Voici l'idée de la manière dont on pourrait les diriger. Soient AÏBT' {fig. 40 la surface donnée, Il le point