BI).PH
(') Ici, et dans tous les exemples suivants, nous faisons abstraction du signe de N, parce que la nature de l'cllort est connue d'avance.
la force ^N se répartissait uniformément sur un rectangle de
dimensions BD et PH'. C'est ce qu'on énonce assez habituellement en disant que ce rectangle doit être capable de supporter les deux tiers de la pression totale. Il est sous-entendu que cette capacité aurait lieu dans Thypotlièse d'une réparti-
lion uniforme de la force ttN.
2° Cercle homogène, — Soit donné le cercle de rayon OL {^g. 34, p. 9.34), H le contre des tensions auquel est appliquée une force N parallèle aux arêtes du prisme dont le cercle donné est la base. Le coefficient d'élasticité est invariable dans l'étendue de cette base. On demande comment variera la pression maximum par unité de surface quand H changera de distance au centre 0 du cercle.
Soient u la surface du cercle et 11 son rayon; soit de plus // le rapport-=r-« Lorsque Ton aura « <-i la force agira dans le noyau central (n*" 59), et toute la surface il sera utilisée pour supporter la pression (n** 60). Nous en conclurons immédiatement que la pression par
unité de surface au point 0 sera - (n° 57). D'un autre côté, Tcllipse
centrale d'inertie étant un cercle de rayon - R (n" 22, /), les fibres éga-
lement pressées sont sur des perpendiculaires à 011 ( n*" 57 ) et l'axe neutre
i^WV R est distant du point 0 d'une quantité égale à - — r- = -7—' f-a fibre la plus
pressée étant celle du point L, le plus éloigné de l'axe neutre, on aura
la pression maximum p par unité de surface, en augmentant celle qui a
lieu en 0 dans le rapport de -— à -:^ — *- R, car c'est bien là le rapport
des distances des deux points à l'axe neutre. On trouve ainsi
La question devient plus complexe quand H n'est plus dans le noyau central du cercle, ce qui arrive lorsque /t dépasse la valeur 0,7.5. Soit alors MP la ligne séparative des deux parties du cercle, l'une le segment MLP résistant à la force N, l'autre ne supportant ni pression ni tension. Le point H devant être (n** 61 ) le centre de percussion du segment MLP tournant autour de MP, si Ton appelle y l'angle POL, on
yU CHAPITRE TDOIStbMB.
I o^sin^icosw — -jsin'ycos?
foU tien dans laquelle on connaît w, et d'où l'on pourra déduire ç par aïonnemeiil. Après avoir obtenu ctt angle, il est clair que MP sera délerminée. et la question reviendra à trouver la pression maximum produite dans le prisme ayant pour base le segment ULP, par une force appliquée au point H, tellement placé que Taxe neutre correspondant soit MP.
Pour arriver à la solution, nous avons encore besoin de connaître la surface O' du segment MLP cl la distance de son centre de gravité au centre du cercle. Appelant ni le rapport de cette distance au rayon, on trouve aisi^mcnt
__ a sin'y
= R'(y-sinîCosï).
Donc la pression moyen
ne sur la surface 11', ou bien^,, s'eierro sor un
élément dont la distance à la pression masimum /-, aura pour valeur
l'axcncutreWPa pour valeur— Rcos? + mR; exerçant en L à la distance maximum de MP,
Ciini/'arni-ioii ilcs rcnilliils obtenus jimtr le rectangle et jmitr le eertie. — Supposons deux surfaces liomofrènes, l'une circulaire, l'autre en forme lin rectangle. Le quotient de la charge totale divisée par l'aire de la surface ist le mi'me de part et d'autre; la charge agit sur le rectangle en un point du l'un des axes do symétrie; enlin le rapport diVigné pari (luns les deu\ exemples traitt's ci-dessus a la mémo valeur pour le cercle et [M)ur le rectangle. Il s'agit de voir celle des deux surfaces où la pres- ■.jiiti m^iMuniin liera la plus grande.
l'iiiir r.iiir celte ramparaison, on se rappellera les résultats numériques
iloiini'^ w\ II" 'ilt[i']i roncernanl quelques valeurs correspondantes de net
r le cercle. On a trouvé noiamment que, pour ? égal à
St. T t:
AUTRES CAS FARTIGULIEUS. ^65
on avait respectivement pour n les valeurs
Ces valeurs, introduites dans les formules données ci-dessus, conduiront aux résultais suivants :
l'roHsion» maxima
Valeurs de n. '— "^"i -'- ■•■ —
daD.s le cercle. dans le rectangle.
' 'il ' u
' 'il "il
0,335 2,378 — 2,oo5 —
' ' ' il ' ii
«,^89 '♦"'^u ^'"^'♦^ÏI
0,876 27,i3() — io,7j3 —
î / ^ ' ^ ii "il
On voit que si n s'écarte de zéro, c'est-à-dire que si la force n'est pas appliquée très-près du centre de gravité des sections transversales, le cercle est de plus en plus désavantageux relativement au rectangle; mais cette conclusion est naturellement subordonnée aux conditions admises dans l'énoncé du problème, savoir l'homogénéité dos surfaces et la situation du centre des tensions sur l'une des lignes médianes du rectangle.
V Ellipse pleine homogène, — Considérons l'ellipse pleine et homogène MLGPI [/îg. 35, p. 237) soumise à une force N appliquée en II. Nous n'avons rien de particulier à dire sur le cas où ce point serait à l'intérieur du noyau central, et nous renverrons aux considérations générales du n" 60. Supposons donc cette condition non remplie ; alors Taxe neutre MP divisera la surface en deux segments, dont un seul, celui où se trouve le centre des tensions, subira l'action de la force. Pour rentrer dans les cas d'application des formules données au § II, il suffit de trouver la ligne MP, et, cela fait, les pressions se détermineront comme si le segment MIP n'existait pas (n" 61 ). On a vu au n° 61 que H devait ôtre le centre de percussion du segment MLP, relatif à l'axe MP; d'un autre côté, on sait (n* 36, c) que le centre de percussion d'un segment d'ellipse relativement à sa corde se trouve sur le diamètre conjugué à celle corde ; donc, en menant une corde conjuguée du diamètre OU, on aura la direction de la ligne inconnue MP. On pourrait donc achever de déterminer cette ligne par un tâtonnement simple, car on sait trouver le centre de percussion d'un segment d'ellipse relativement à sa corde; il n'y aurait qu'à faire varier cette corde, dont la direction est connue, jusqu'à ce que
266 CHAPITRE TROISIÈUE.
le centre de percussion du segment MLP fût précisément le point donné H ; on serait dispensé de faire varier sa direction.
Voici encore, pour trouver la position de MP, l'indication d'un procédé (jui, au fond, n'est autre chose que l'application des tâtonnements dont nous venons de parler. Imaginons que, après avoir trouvé MF, on transforme l'ellipse en cercle, comme nous l'avons fait au n'' 56 (c) pour trouver le centre de percussion du segment MLP. H', 0' et L' étant les points
transformés qui répondent à H, 0 et L, n le rapport -. et y l'angle PO'L', on aura n en fonction de ^ (n° 56, c). Or n est aussi égal au rapport connu — -i donc on pourra, par tâtonnement, calculer <p. Alors
on connaîtra -7 cest-a-dire — ^î et, par suite, Q sera connu.
