O'L' OL
La solution se compléterait ensuite comme dans le cas du cercle (2**) et
l'on retrouverait la môme valeur de la pression maximum en fonction
de cp, parce que les rapports —, et m sont égaux pour les deux segments
MLP, ML'P.
4" Ilf'ctti/igld homof^ènc pressé par une force agissant en dcJiors des axes de symétrie. — Il y a plusieurs cas à distinguer, suivant que la surface réellement pressée se trouve être le rectangle tout entier, un triangle, un trapèze, un penta.q;one ; ces trois dernières figures s'obtiennent en donnant diverses positions à la ligne séparative des deux parties, Tune pressée et l'autre non pressée.
(«) Le rectangle entier résiste à la pression. — Le centre de pression ost alors à l'intérieur du noyau central ; soient x, , j, ses coordonnées relativement aux deux axes Ou:-, Or (fig. 4^» P- 261 ). Pour fixer les idées, nous les supposerons toutes deux positives, ce qui ne particularise rien, car on est toujours maître de choisir le sens positif sur chaque axe, de manière à remplir celle condition. Nommons
/ et II les deux dimensions AB et BD du rectangle ; il sa surface /// ; N la pression totale.
Les rayons principaux de l'ellipse centrale d'inertie étant respectivement
à - / 1/ TT ot -/<»/- 1 la formule ( 7 ) du n° 57 donne pour valeur de la pression par unité de surface, au point défini par les coordonnées x, /,
N / \7..Tx. \iry,\
il\ /• h' )
L'axe neutre est, par rapport au centre de pression, de l'autre côté du
égaux a
AUTRES CAS PAllTICULlERS. 267
point 0, et coupe, par conséquent, les deux côtés de l'angle des coordonnées négatives ; donc le sommet B, répondant à or = - et j = -> est
le point le plus éloigné de cet axe. Donc aussi la pression maximum se produit en B, et sa valeur est
Lorsque le centre de pression varie à l'intérieur du noyau central en se déplaçant sur des parallèles aux lignes du contour EFGK, la quantité
y -4- y ne change pas, de sorte que la pression maximum reste elle-même
constante; les parallèles dont on vient de parler sont donc les lignes
d'égale pression maximum. Le môme binôme ~ -h y devient égal à -
pour an point du contour EFGK et prend une valeur positive plus petite pour les points intérieurs; la pression maximum, dans le cas où nous
sommes actuellement, se trouve donc comprise entre - et ~— •
[b] La partie réellement pressée se réduit à un triangle. — Supposons maintenant que le centre de pression II" [Jîg. 4^) se trouve dans un
rectangle A'BD'C dont les côtés M', W seraient respectivement le
quart de BA et de BD. Pour avoir la ligne tellement placée, qu'elle retranche du rectangle un segment ayant H' pour centre de percussion relativement à elle-même, on prolonixera BU" jusqu'à la rencontre de la
médiane MP en Z; on joindra I)Z; puis, ayant pris BZ'— aBH", on mènera par le point Z' une parallèle à DZ. Cette parallèle sera la ligne cherchée, et Ton n'aura plus qu'à déterminer la répartition de la force sur la surface complètement pressée du triangle homogène qu'elle forme avec BA et BD (n° 61 ). En effet, nous avons montré au n" 50 (r) que le centre de percussion d'un triangle homogène, relativement à sa base, est au milieu de la ligne joignant le milieu de cette base avec le sommet opposé; or, d'après la construction précédente, 11" satisfait évidemment à la condition dont il s'agit.
Le sommet B étant, dans la partie réellement pressée, le point le plus éloigné de l'axe neutre, c'est en ce point qu'a lieu la pression maximum p par unité de surface. On la calcule aisément. Soient, en effet, c et )î les coordonnées de H" relativement aux axes BX, BY; d'après la construction ci-dessus indiquée, l'aire du triangle pressé a pour valeur 8?>;
et — - représente, par conséquent {n° 57), la pression par unité de sur-
face au centre de gravité de ce triangle, qui est sur Z'B à la distance
tant que m est compris entre i et 2. C'est ce que montre le Tableau suivant, où Â désigne le premier membre de l'égalité précédente et B le second :
Valeors de m.
Valeurs de A .
Valeurs de B.
Dirrérence.
Erreur relative
I ,ooou
i,io33
o,oo33
i,33oo
o,oo36
o,oo3o
I ,58oo
o,oo33
ii7<79
o,ooo5
2,oi33
o,ooo3
Pour mieux établir encore le fait en question, no ns prendrons l'expression algébrique de l'erreur relative £ ou t — i ; ce sera
I ( I -f- /// -I- tjr ) [ nr' — 2 ( w — i )'' ] 3 m* — .>.(/// — i)*
— ///•' - 8 ///* — 25 nr f- 38 /;/' — -aS /w -h 8
3 ( — m^ -h Sffi — 1 2 ///■ -4- 8 /« — 2 )
Cette quantité, nulle aux deux limites m = i^ m = 2, passe par un
maximum dans leur intervalle; on l'obtient en posant l'équation — = 0, soit, après suppression du facteur [m — i) (2 — w)',
d'où l'on tire par tâtonnement
Par suite, le maximum de s, peu différent de l'erreur qu'on trouve dans le Tableau, en regard de m = i ,3, est e = o,oo365.
Comme le point U se trouve nécessairement entre 0 et C et que m ne varie que de 1 à 2, nous pouvons, en conséquence, écrire l'équation approximative
qui donne
Pour le point C, on a r— -> et, par suite, /?/ = i; pour le point com-
mun de OB et EF, on a /• — et m= i\ ces deux valeurs de m répondant aux deux limites de r sont rigoureusement exactes. Dans l'intervalle, il y aura une erreur relative, toujours très-petite, comme on peut le présumer au moyen du Tableau précédent; en faisant des comparaisons
numériques, nous avons vérifié que son maximum n'atteint pas — •
Cette erreur, insignifiante au point de vue pratique, aurait pu encore être réduite en posant
et choisissant les constantes a, p, y de la manière la plus convenable ; mais on serait ainsi tombé dans l'inconvénient d'introduire des coefficients plus compliqués dans les formules.
Il reste encore à exprimer la pression maximum /j, en fonction du nombre m, maintenant connu. A cet effet, nommons il' la surface du pentagone VIABD, d' la distance de son centre de gravité à Taxe neutre VI, r/la dislance du sommet B à la même ligne. La pression moyenne sur le pentagone d'appui et la pression maximum se produisent en ces deux points; comme de plus elles sont en raison des distances d' et d, on
pourra écrire
Le moment n'd' de VIABD par rapport à VI est égal au moment de BXY, moins deux fois celui de XAI; d'autre part, ces deux triangles sont semblables au triangle BAD ~ -il, et les rapports de similitude sontrespectivement m et /« — i. On en conclut
et, par suite,
ii m^ — 'î[m — j y
aN 6N Ce maximum de pression par unité de surface varie de — à — 7 quand
m varie entre ses limites 2 et i .
27^ CHAFITRB TROISIÈME.
Si le centre de pression, tout en restant renfermé dans le triangle mixtiligne C'FE (fig. 43, p. a68), ne se trouvait plus sur la diagonale OB, le problème deviendrait notablement plus compliqué. On en aurait une solution très-approchée par l'usage du théorème suivant :
Lorsque le centre de pression varie sur une pandlèle à la base £F d*un des triangles mixtilignes C'FE, sans sortir de ce triangle, le inoximum de pression par unité de surface reste à peu près invariable.
Comme on sait déterminer le maximum de pression correspondant à un centre H situé en Tun des trois points où cette parallèle coupe les courbes CE, C'F et la diagonale OB, on aurait par là même ce maximum pour toute situation intermédiaire de H.
Dans la pratique, il est rare qu'on ait à chercher la répartition d*ane pression totale sur une base rectangulaire d'appui autrement qu'avec on centre de pression situé sur l'une des médianes. La supposition contraire constitue un cas exceptionnel sur lequel nous nous sommes déjà beaucoup étendu : c'est pourquoi nous n'entrerons pas dans les développements qui seraient nécessaires pour établir la proposition ci-dessus énoncée, et nous nous bornons à la donner sans démonstration.
5*" Parallélogramme liomogène, — Soit donnée la base ABCD [Jlg.U],
en forme de parallélogramme, qui supporte la pression totale N appliquée au point H ; il se produit, soit sur la surface entière ABCD = a, soit sur une partie RSDB seulement, des pressions q par unité de surface, qu'on suppose varier comme les ordonnées d'un plan, conformément à la théorie des n"* 60 et 61 , et qui dès lors sont parfaitement déterminées par la condition d'équilibrer la force N. Soient encore
ÂB = /, BD = /i les deux côtés du parallélogramme;
a l'angle sous lequel ils se coupent;
X, X 1^ coordonnées d'un point M quelconque relativement aux axes
obliques Bjt, Bj; &> un élément superficiel renfermant ce point; x„ Xi I^ valeurs de x et^ pour le centre de pression H.
Cela posé, construisons à côté du parallélogramme une autre figure
dans laquelle chaque point M aura son correspondant M' défini par les
coordonnées a/ = j? y=-<-î relativement à deux axes rectangulaires
BV, B'y; on voit que ABCD se trouvera transformé en un carré ayant
pour côté l'unité. Maintenant appliquons au point H', correspondant de H,
N une force N'= - ; enfin imaginons qu'il y ait, aux divers points de la base
transformée, des pressions par unité de surface égales à celles qui existent aux points correspondants de la base primitive. Je dis qu'il y a équilibre entre la force N' et les pressions sur les divers éléments de la base transformée, et que ces pressions varient encore comme les ordonnées d'un plan.
Remarquons en effet qu'il y a, entre la surface élémentaire co et sa transformée tù\ un «rapport constant égal à celui des aires totales, soit à n, parce que l'opération géométrique de la transformation altère les deux dimensions de toute partie de ABCD dans un rapport constant; ainsi
Nous avons ensuite les équations d'équilibre de la force N et des pressions 7&>, savoir :
N r, = 2/7WJ.
Si nous divisons la première par n, la seconde par il/, la troisième paru//, il viendra, eu égard à la relation précédente et en nommant .r',, ;'j les coordonnées de H',
c'est-à-dire précisément les trois équations d'équilibre entre N' et les pressions yw'. Ces pressions varient bien, d'ailleurs, comme les ordonnées d'un plan, car, si Ton a pour la base primitive Â6CD
a, P; 7 étant des constantes, on aura aussi par cela même
au point correspondant de A'B'C'D', et q s'exprime encore par une fonction du premier degré en x' et/'. Nous devons, par conséquent, conclure de là que les pressions «yu' sont celles qui seraient produites par la force
