POSÉE SUR DEUX APPUIS
El fê + C'A = 5(X-P)(ac«-ô«J + P6(x-ô) Tronçon EB ^ ^^ ^ %
EI(y + C"a: + (r)=|(X-P) ^~6«xj +P6 (|-6a:j
Nous avons donc 4 constantes à déterminer ; nous le ferons en remarquant que pour âc = o, y doit être nul ;
que pour a; = a, y doit être nul également ;
que pour a; = 6, les deux tronçons de la courbe déformée doivent se raccorder tangentiellement, c'est-à-dire que les deux équations
doivent donner pour x=b le même y et le même-p . En tout
4 équations du i** degré par rapport aux constantes, ce qui permet d'en trouver les valeurs.
On aura d'abord
C' = 0, et C = C*,
puis
EI(C''a + C*)-.|(X-P)(j-6»a)-P6(~6a)=0.
Enfin, en retranchant la seconde équation de la quatrième,après y avoir fait x = b^ et en observant que C = G'',
ElCr = 1 P6» — I P6»= - i P6».
Connûssant G'", G" s'en déduit; toutes les arbitraires sont déterminées, et la question est entièrement résolue.
9*2. Si au lieu d'un poids P unique, il en avait plusieurs, on pourrait suivie une marche analogue et tracer le polygone des moments fléchissants ; on pourrait aussi traiter séparément la question pour chacun des poids, et composer ensuite par voie d'addition algébrique les ordounées des contoui-s obtenus pour chacun*
i58 EXEMPLE DE SUPERPOSITION
Prenons pour exemple le cas particulier d'une poutre AB posée
sur deux appuis A et 6, et supportant deux poids égaux P, P en des points G et D également distants des extrémités de la pièce.
Les réactions des appids seront égales à P.
Soit
BA = a et ÂG = 6.
On aura, en prenant AB pour axe des a: et A pour origine ,
de A en C M = Pa; et A = P,
de C en D M = Px — P(x— 6) = P6 et A = P — P = 0, de D en B M = Pa;— P(a;— 6) — P[x-(a-6)] = P(a— x), et A = P-.P — P = — P.
Prenant donc sur la verticale du point G une longueur CE = Pi et une longueur ^ale DF, sur la verticale du point D, on obtient, en joignant AE, EF, FB, le polygone dont les ordonnées représentent les moments fléchissants aux différents points de la portée.
De même si Ton mène une droite HK parallèle à AB à une distance AH = P, et, au-dessous de AB, une droite LN parallèle à AB et à une distance de AB égale aussi à P, les ordonnées du contour discontinu HK, CD, LN, donneront en chaque point de la portée la valeur de Teffort traxichant. *
On peut encore vérilBer sur ces deux exemples que l'effort tranchant A est la dérivée du moment fléchissant M par rapport à l'abscisse. Cette relation est un fait général, quelle que soit la distribution des forces.
Reprenons le problème, pour le traiter par la méthode de la superposition des effets des forces. Pour cela, nous chercherons successivement les effets des deux poids P, F, et nous composerons ensuite les résultats partiels obtenus.
DES EFFETS DES FimCES.
Considérons d'abord celui des deux poids qui est appliqué au
point G, les réactions des appuis qui
y correspondent aoBt P x en A et
B P X - en B , et si Ton porte sur la verticale CE une longueur CR = P x K
le contour polygonal représentatif des moments fléchissants sera formé des deux droites AR, BR.
La force P appliquée en D, considérée isolément, donnera de même un polygone des moments formé des deux droites AS, SB, qui se coupent sur la verticale du point D, à la distance DS = CR ; car il y asymétrie de la poutre et des forces par rapport an plan qui la coupe en deux parties égales.
Il suflSt alors de composer par voie d'addition les ordonnées qui correspondent à une même abscisse, ce qui donnera le contour polygonal AEFB, que nous avions déjà obtenu. L'ordonnée CE, qui s'applique sans variation à tous les points compris entre C et D, est double de l'ordonnée IK commune aux deux contours partiels. Or
