So't a la portée d'une poutre
P, P, P", ••• les forces normales qui y sont appliquées, en des points dont les abscisses, mesurées sur la poutre^sont p, p', p'',^.;
û, la section transversale de la poutre;
I, le moment d'inertie de cette section par rappoi*t à la droite menée par son centre de gravité perpendiculairement au plan de symétrie.
Considérons une seconde poutre dont la section ait la même forme que la première, et supposons qu'on puisse passer de l'une à l'autre en multipliant.
Toutes les longueurs «,/>,/)',/>", ... par un même coefficient a ; Les dimensions en largeur de là section par un coefficient ^ ; Les dimensions en hauteur de la section, par un coefficient y $ Les forces par un coefficient c
DES POUTHES DROITES. ^^"^
Supposons enfin que le coefficient d'élasticité soit E pour la première poutre et E^ pour la seconde.
La seconde poutre aura une portée aa; elle sera soumise à des forces normales Pt, Fe, F'e,... appliquées en des points dont les abscisses seront pa, p'a, p"a, ... la section sera égale à ûx^y ; le moment d'inertie de cette section, somme de produits dans lesquels entrent trois dimensions en hauteur et une dimension en largeur, sera égal à I x P^\ i
Les moments fléchissants M de la première poutre deviendront
El Mxae pour la seconde. Or on Siz= — ; les rayons de courbure
seront donc multipliés, quand on passe de la première poutre à la seconde, par
E ot
La résistance par unité de surface, R = -y-^sera multipliée par le
produit
^, ou par p.
La résistance moyenne à l'effort tranchant est donnée pour cha-
ïP que section par une expression de la forme — ; elle sera doue multipliée par
Pt-
L'angle très petit, -^ , qui mesure la déviation de la fibre neutre . est donné par l'équation
E.(S-tg,)=jMd.
Cet angle est donc homogène à
"ET' et par suite il est multiplié dans la seconde poutre par le nombre
MX a £ a*c
Enfin, les flèches, y sont données par l'équation
EI(y-xtg?) = \\M(ix«;
elles sont donc multipliées par
Quand on a étudié la déformation et la répartition des pressions dans la première poutre, on peut en déduire par de simples multiplications les résultats relatifs à la seconde.
Nous donnerons deux exemples de l'emploi de cette méthode.
1* Cherchons à quelles conditions les coefficients a, p, y, e, doivent satisfaire pour que les deux poutres, supposées formées de la même matière, subissent les mêmes pressions aux pouits homologues.
Il faut et il suffit pour cela que R et R' soient respectivement les
;r- soient
mêmes, et par conséquent que les multiplicateurs g-; et g- soi égaux à l'unité. On aura donc
•=Py, et «=sT-
Si ces conditions sont remplies, les flèches prises par les deux poutres seront entre elles dans le rapport exprimé par le nombre a.
On a, en effet, pour le rapport des flèches le nombre r-| , puisque E
est supposé égal à E'; or
DES POUTRES DROITES
c-' = r. et p = t;
donc
2* Une poutre de section rectangulaire, ÂBGD, chargée de poids, Fig. 109. repose sur le côté CD ; on lui donne quartier sans rien changer aux charges qu'elle supporte, c'est-àdire on la couche sur le côté AD ; on demande les modifications qui en résultent dans la distribution des pressions et dans les flèches prises par la poutre.
Les longueurs sont les mêmes dans les deux poutres, ainsi que les forces et que les coefficients d'élasticité.
Donc
o = 1, • = 1 et E = E*.
La dimension horizontale CD de la première poutre devient égale
AD à AD dans la seconde ; le rapport ^ est donc ég^ au rapport j^
CD des côtés du rectangle* Le rapport y est au contraire jr: ; donc
Y=g. Il en résulte que les charges R, qui correspondent à la
flexion, sont multipliées par le rapport ^ , ou par le facteur p ;
Que les charges R', qui correspondent à l'effort tranchant sont maltipliées par g- , c'est-à-dire par l'unité;
Que les flèches sont multipliées par ^-^ , ou par -;, ou enfin par^*.
rT T
109. Une circulaire ministérielle du 9 juillet 1877 a fixé, pour les ponts des chemins de fer français, les surcharges uniformément réparties qui peuvent être considérées comme équivalentes au poids des trains les plus lourds, au point de vue du maximum du mo-
ment fléchissant réalisé dans les poutres. Nous donnerons ici la table de ces surcharges, qui diminuent à mesure que la portée augmente, et tendent vers une limite de 5,ooo kilogrammes par mètre courant de simple voie.
Artées.
mètieB
SURCHARGE
par mètre eonrant de simple Toie.
PORTÉES
lilog.
mitres
SURCHARGE
par mètre cotyrant
PORTÉES
de simple voie.
kil'^g.
mètres
et au delà
SURCHARGE
par mètre conrjut de simple voie.
kilo:;.
Pour les ponts métalliques sur routes de terre, la même substitution ne peut pas se faire d'une manière générale , parce que les charges qui passent sur le tablier des ponts dépendent des habitudes locales, et ne peuvent être déterminées d'avance. Aussi la circulaire ministérielle du 9 juillet 1877 ne détermine pas les surcharges uniformes équivalentes aux chargements réels. H. Kleitz, dans un mémoire inséré aux Annales des ponts et chaussées^ année 1877, a cherché la solution du problème, en admettant des chargements arbitraires, savoir :
Une file de voitures à deux roues, pesant 1 1 tonnes par essieu, et traînées par un attelage de 5 chevaux en file, pesant chacun 5oo kilogrammes , occupant ensemble une longueur de 2i'*,5o ;
Ou une file de voiture à quatre roues, à 10 tonnes par essieu» traînées par un attelage de 8 chevaux attelés deux par deux et occupant une longueur de i7",5o.
DES POUTRES DROITES
Il est arrivé aux résultats suivants :
PORTÉES
mètres
& bO
SURCHARGE PAR METRE C0DRA1«T pouvant rempUrer un ronroi simple.
Voitures à 2 roaes.
Itlog.
Voit m es à 4 roaes.
kilog.
Ces nombres vout nous servir à résoudre un problème qui montrera l'nsage que Ton peut faire du principe de la similitude.
110. Supposons qu'on ait fait le projet d'une poutre de portée a^ destinée à porter, outre son poids propre égal à q par unité de longueur, une surcharge accidentelle également répartie, et égale à p par unité de longueur. Le poids q doit être décomposé en deux parts : la première q' est le poids propre de la poutre proprement dite, poids variable avec la portée; la seconde, q", est le poids propre qui reste constant et qui se retrouve le même quelle que soit la portée; c'est le poids des accessoires, pièces de pont, rivures, contreventement,
On veut transformer cette poutre en une autre dans laquelle la portée sera multipliée par a,
les dimensions horizontales de la section transversale par p, les
les dimensions verticales par 7,
et oà la surcharge p serait remplacée par une autre surcharge p\ Ces surcharges p et p' sont prises, par exemple, eu fonction des portées
212 SlUflJTUDE
a et aa dans la table des surcharges pour les ponts de chemÎDS de fer.
On demande, connaissaot a, de déterminer |i et y de telle sorte, que les charges de la matière R et R' soient les mêmes dans les deux poutres.
Le poids total supporté par la première poutre sera le produit
«te' + ^ + P).
Le poids total supporté pai* la seconde sera de même
en appelant q\ le nouveau poids , variable avec la portée , da mètre courant de la seconde poutre. Or ce poids q\ est égal à ç' x ^y , puisque les dimensions de la section sont multipliées Tune par ^, l'autre par 7. Le poids total qui pèse sur la seconde poutre est, en définitive,
aa(ç'xpT + î" + P')-
Le rapport des deux poids totaux représente le rapport e des forces. On a, par conséquent :
Cela posé, pour que R et R' restent les mêmes, il faut et il suffit qu'on ait tt = Y et e = Py.
Substituant à Py sa valeur e dans l'équation ( 1 ), il vient
et par suite Oa à d'ailleurs
DES POUTRES DROITES. 213
et
Les équations (3) et (A) font connaître les facteurs par lesquels il convient de multiplier les dimensions de la section pour passer de la première poutre à la seconde.
Pour la discussion de cette formule, supposons a > i, c'est-à-dirr admettons que la seconde poutre soit plus longue que la première.
Le dénominateur commun à la valeur de c et de ^ est égal à la différence
et comme il ne peut être ni nul ni négatif, il y a impossibilité à satisfaire aux conditions de similitude toutes les fois qu'on a
ç'(a— i)>9" + p OU
On voit donc que la théorie de la similitude des poutres ne permet pas de faire des poutres d'une portée indéfinie, car si le coefficient a dépasse une certaine valeur, les coefficients e et ^ deviennent infinis ou négatifs, ce qui indique une impossibilité.
Prenons comme exemple un pont de ao mètres, à s voies, porté par deux fermes. La surcharge accidentelle pour cette portée de so mètres est 4*900 kilogrammes, d'après la table*
La surcharge permanente 9^ peut être évaluée à 5oo kilogrammes.
Admettons que le poids propre de la ferme soit de 800 kilogrammes. On aura ^ = 800.
Pour passer de là à une ferme semblable pour une portée de 80 mètres, on observera que la surcharge accidentelle p n'est plus que de 3,4oo kilogrammes, tandis que la surcharge q" reste la même. On aura donc
2n SIMILITUDE
On saura donc par quels nombres il faut multiplier les dimensions transversales de la ferme, et le même projet pourra servir aux deux ouvrages, moyennant un simple changement des échelles applicables aux diverses dimensions.
On peut voir aussi jusqu'à quelle limite de portée le projet pourrait servir par une simple variation de ses cotes. Il faudrait faire
a = 1 + / f ce qui donne a = 7,76. La portée correspondante
est 20 X 7,75 === i55 mètres.
Pour les très grandes valeui*s de la portée a, le poids p de la surcharge accidentelle tend vers la limite constante de 3,ooo kilogrammes ; en même temps le poids propre de la ferme ^ augmenta de plus en plus avec la portée, et devient infini pour une portée déterminée ; de sorte que la limite supérieure du coefficient a est l'unité; ce qui montre, d'une autre manière, qu'on ne peut pas augmenter au-dessus d'une certaine limite la portée admissible pour un type déterminé de poutres droites,
DÉFINITION DE L4 RAIDEUR d'uNB POUTRE.
m. La flèche /, prise par une poutre aous l'action d'une force unique P ou d'une charge également répartie pa^ est donnée par les formules
f V^^ ^ ^' s/- Jl it pg X g* 4
•^ "■ El ^ 384 ° El ^ 384'
DES POUTRES DROITES. SIS
suivant qu'elle est simplement posée ou encastrée à ses deux bouts, ou bien
fia X g» 1
si elle est encastrée par un bout.
La raideur est mesurée par le rapport, -7 ou ^, de la force à la
flèche qu'elle produit.
On voit que, toutes choses égales d'ailleurs, la raideur est propor-
EI tionnelle au produit -7. Or I est proportionnel au produit 6'c, b
désignant la dimension verticale de la section et <; la dimension ho* rizontale; I s'exprime par ce produit multiplié par un facteur numérique qui dépend de la forme de la section. La raideur d'une poutre est donc proportionnelle au rapport
ou à Ec
Si E et tf restent les mêmes, elle est proportionnelle au cube
h du rapport de -, qui mesm'e pour ainsi dire le surbaissement de la
poutre en élévation.
De là l'utilité qu'il y a à augmenter la hauteur de la poutre proportionnellement à sa portée. Le rapport * ne descend guère audessous de — , et il atteint quelquefois -•
PIÈCES LÊOÊREMENT COURBÉES.
112. Tous les problèmes que nous avons traités supposent que la pièce considérée est droite dans son état naturel. Mais cette hypo-
216 TIIËORËMES
thèse n'est pas ÎDdispensable. On sait que le principe général de la superposition des effets des forces consiste en ce qu'un nouveau groupe de forces appliqué à une pièce déjà fléchie, y produit un effet partiel qui s'ajoute algébriquement aux effets déjà produits. Si la pièce a naturellement une légère courbure, les forces qu'on y appliquera feront subir de même aux ordonnées de la pièce des variations égales à celles qu'elles produiraient sur la poutre supposée rectiligne, et les mêmes équations subsisteront pour ces deux pièces, pourvu que Ton compte les abscisses sur la fibre neutre dans son état naturel, ou sur un axe rectiligne parallèle à sa direction générale, et les ordonnées parallèlement aux forces à partir de la fibre neutre non fléchie.
