THÉORÈMES SUR LA FLEXION DES POUTRES DROITES
lia. — Qiiand une poutre droite est sollicitée par des forces normales^ t effort tranchant en un point donné est égal à la dérivée du moment fléchissant en ce point par rapport à C abscisse.
SUR LES POUTRES DROITES. SI
Nous allons démontrer d'une manière générale cette proposition^ que jusqu'à présent nous avons seulement vérifiée dans divers cas particuliers.
^**' **®- Considérons une poutre NN'; coupons-
la par deux plans transversaux PQ, P'Q', |w' définis par leurs abscisses a:, a/, et supposons la distance PP', ou a! — x« infiniment petite.
Soit M le moment des forces élastiques *" développées sur la section PQ dans
le tronçon PF ; il est égal, en grandeur et en signe, au moment fléchissant des forces extérieures appliquées au tronçon NPQ.
Soit de même H' le moment des forces élastiques développées dans la section FQ', et dans ce même tronçon PF ; il est égal en valeur absolue, mais de signe contraii'e, au moment fléchissant des forces extérieures appliquées au tronçon FQ^N.
Soit A la résistance à l'efibrt tranchant dans la section PQ prise sur l'élément de poutre PP' ; elle est égale en grandeur et en signe à l'eflbrt tranchant dû aux forces appliquées au tronçon PQN.
Soit A' la résistance à l'efibrt tranchant dans la section FQ', et sur l'élément PF ; elle est égale en valeur absolue, mais de signe contraire, à l'efibrt tranchant dû aux forces appliquées à la partie FQ'N.
Appelons enfin F la résultante des forces extérieures qui agissent sur la poutre dans l'intervalle PF ; cette force pourra être considérée comme appliquée en un point I de cet intervalle, si l'intervalle PF est suflisamment petit. Soit od' l'abscisse du point L
L'élément de poutre PQQ'F est en équilibre sous l'action de la force extérieure F, des forces moléculaires A, A', et des deux couples de forces élastiques M et M'. Les conditions d'équilibre se réduisent à deux, celles des forces et celles des moments.
L'équation des forces montre que
A = F' + A', ou que A' — A = — F,
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et Téquation des moments, pris par rapport à un point de la section FQ', nous donne :
Ces équations ont lieu quelle que soit la longueur PF de l'élément considéré. Supposons-la infiniment petite* Il peut arriver deux cas, suivant qu'en faisant décroître indéfiniment la distance a! — aï, la force F reste finie, ou devient infiniment petite.
i"" Si, lorsque PF est infiniment petit, la force F est aussi infini-
F ment petite, de telle sorte que le rapport pp^ soit un nombre fini,
on peut assimiler la force F à un poids également réparti de P en P, à raison de p unités de poids par unité de longueur. On aura donc dans ce cas F = p x PP'.
Remplaçons donc a! — x par rfa?, M' — M par c?M, A' — A par rfA, et F par pdx. Observons de plus que a! — â/' est moindre que X* — X ou que dx^ de sorte que le produit F (a/ — a!') se réduit à un infiniment petit du second ordre, plus petit que pdx^. Supprimant ce terme dans notre seconde équation, nous aurons en définitive
dA = — pdx, dVL = Adx.
dA
De cette dernière équation, on tire -^ s= A» ce qui démontre le
théorème.
On a de plus
dA
et enfin
Si p est une constante, Tmtégration de ces équations donnera pour A une équation linéaire, A = — j9x + C , et pour H l'équation d'une parabole,
