PRESSEE PAR SES A BOUTS
pour axe des y une perpendiculaire à OA menée dans le plan où la flexion s'est produite, et supposons que les deux extrémités 0 et A de la tige soient assujetties à rester sur l'axe OX; Tune est fixée au point 0» l'autre est mobile le long de la droite A0« Considérons une section transversale M. Cette section supporte
une compression- par unité de surface. Quant au moment fléchissant, il est nul dans l'état naturel de la pièce, et il ne commence à avoir une valeur difiérente de zéro que quand la pièce est déjà fléchie. On ne peut donc pas ici faire entrer dans Téquation les moments des forces prises dans l'état naturel, comme nous Pavons fait dans tous les problèmes précédemment traités.
Admettons donc que la poutre ait pris une certaine courbure AM'O, assez faible pour que la corde AO = a soit sensiblement égale à l'arc AM'O. Le moment fléchissant au point M' sera le produit de la force F par le bras de levier MM' de la force, lequel bras de levier est égal à l'ordonnée de la courbe AM'O prise positivement, c'està-dire à — y. L'équation de la fibre neutre sera donc
ou bien
Cette équation est une équation difl'érentielle linéaire du second ordre. A un coefficient constant près, la seconde dérivée de y par rapport à x doit être égale à y changé de signe ; on voit immédiaiement que y peut être exprimé par une fonction linéaire du sinus et du cosinus d'un arc proportionnel à a:, et comme l'intégrale gé> nérale que nous cherchons doit renfermer deux constantes arbitraires, nous poserons
^ = A ces mx + B sin fiiar,
en appelant A ei B ces deux constantes, et m un facteur complètement déterminé.
Prenant en effet la seconde dérivée de y par rapport à a: , il vient
250 PIÈCE DROITE
-^ = — - Am« cos mx-^Bm* sin mac = — m'y,
et comparant à Téquation
on \oit que l'on doit prendre
=*Vâ-
Adoptons le signe supérieur, et substituons dans l'intégrale générale ; elle deviendra
y = Aco8\/gjfl;+ Bsin V/gj^:.
Dans cette équation, il y a deux arbitraires A et B qu'on doit chercher à déterminer d'après les conditions particulières du problème. Si Ton fait a: = o, on doit avoir ^ = o. Or l'intégrale générale donne alors ^ = A. Donc A= o, et l'équation de la courbe se réduit à
y=B8inyi^x.
Faisant ensuite x:=a^ on devra avoir aussi y = o. Donc, ou bien 8 = Ot auquel cas la pièce reste complètement rectiligne, ou bien
■ce qui exige que l'arc ^ X \/pT soit un multiple quelconque de la
demi-circonférence ic; K étant donc un entier quelconque, on doit avoir
ax <l'où l'on tire
P=Elx5!^ a*
PIIESSËE PAR SES ÂBOUT&
L'analyse nous conduit donc à trouver une infinité de valeurs pour F» toutes comprises dans la formule
EIx*
il »
et dont la moindre correspond à la moindre valeur admisâble pour l'entier K, c'est-à-dire à K = i. On trouve, pour cette valeur deK» .
EW
Telle est la moindre valeur qui puisse faire fléchir latéralement la poutre. Si F est au-dessous de cette limite, l'équilibre exige que B soit nul, et la flexion latérale est impossible ; dans ce cas, la compression ne compromet pas là stabilité de l'équilibre. 132. Si la pièce était assujettie à passer par un point fixe G
au milieu de sa longueur, l'ordonnée y devrâdt
Fî«. lîT.
X s'annaler pour a: = - et pour x = a.ll faudrait donc
que l'on eût
in YpïXs = 0»
sm
et par suite
