EI^Î

OU enfin

F=EIx

4R*ic*

La moindre valeur de F serait donc alors El X -^- , c'est-à-dire

qu'elle serait quadruple de celle qui suflSrait pour produire la flexion

si le point G n'était pas fixé ; résultat facile à prévoir, car en réalité,

chacune des moitiés AM'C, GM"0 de la pièce peut être considérée

comme une pièce isolée, ce qui revient à remplacer a par - dans la

PIÈCE DROITE

El-

formule F = -— Ç- » relative au cas où il n'y a aucun point fixe entre

les extrémités de la poutre.

Fig. 128. On reconnaîtrait de la même manière que, si la

pièce avait deux points fixes, l'un au tiers, D, et l'autre aux deux tiers, E, de sa longueur,- la moindre force F qui pût la faire fléchir serait égale à neuf fois la limite qui déterminerait la flexion si la poutre n'avait aucun point fixe entre A et 0.

L'équilibre d'une pièce comprimée est donc stable lorsque la compression est moindre qu'une force

Fï«'

égale à — 5- X (n + 1)*, n étant le nombre de points

équidistants, ou de nœuds, qui, d'après les liaisons auxquelles la pièce est assujettie, doivent rester fixes entre ses deux extrémités.

133. Dans cette formule, figure le moment d'inertie I de la sectioD par rapport à une droite menée dans son plan par son centre de gravité, perpendiculairement au plan suivant lequel la flexion tend à se Fig. 129. produire. Pour appliquer la formule à la re-

cherche de la limite inférieure de F, il fau-

r- dra prendre celui de tous les moments d'inertie qui a la moindre valeur. Par exemple, si la section est rectangulaire, et si ses dimensions sont c et 6, on devra

prendre pour I le moment d'inertie I = — cd', par rapport à la

droite II', la dimension b étant supposée plus petite que la dimension c.

Soit I = Q X p*, p étant le moindre rayon de giration de la surface ; on aura pour la plus basse limite de F

d'où l'on tire

F = EÛp»x^,

Fa p'-* liû~ a

Or =- est le raccourcissement total de la tige Oâ sous l'action de la force F (§ 12). II faut donc que le raccourcissement de la tige soit

PRESSEE PAR SES ABOUTS. 2ô3

moindre que la quantité — — pour que la flexion ne soit pasàcrainclre«

Si la force F est égale à sa limite, l'équation ^=6 sin l/== donne

pour forme d'équilibre une sinusoïde indéterminée ; car le coefficient B reste arbitraire. Dans ce cas, l'équilibre est indifférent, et, chose remarquable, les points fixes A et 0, et les points înterme diairés, s'il y en a, ne subbsent malgré la flexion aucune tendance latérale.

Si F est supérieure à sa limite» l'équilibre a lieu lorsque 6 = 0, mads il est instable, et si la flexion commence, non-seulement l'analyse ne détermine pas le coefficient B, mais elle montre que l'équilibre est impossible, quelque courbure que la pièce prenne. A mesure que la pièce fléchit, les ordonnées y augmentent en valeur absolue , et par conséquent les moments fléchissants Fy croissent

aussi en valeur absolue, de aorte que la tendance à la déformation s'accroît en vertu de la déformation même. Lorsqu'une poutre droite

fléchit sous l'action de forces normales , la déformation ne fait pas varier sensiblement les moments des forces; la poutre quitte donc son état naturel pour marcher vers un nouvel état d'équilibre qu'elle atteint, parce qu'il est à peu près fixe et qu'il ne se modifie pas à mesure que la déformation s'accuse davantage. Ici, au contraire, la déformation a pour conséquence l'augmentation des^ moments fléchissants, et les moments d'élasticité ne s'accroissent pas assez vite pour les rejoindre. •

En résumé, les pièces chargées par leurs abouts sont dans des Fiff. 130. conditions de résistance très défectueuses, dès qu'elles sont exposées à une flexion latérale par suite d'une compression trop grande : elles sont en danger de rupture. Nous ajouterons que cette coticluston suppose que la force F soit une f force donnée^ constante; car si la force F était variable avec la corde OA, de manière à diminuer quand OA diminue, l'analyse pourrait assigner rigoureusement la forme OMA ^ prise par la lame flexible, les produits Yy ne s' accroissant plus aloi*s indéfiniment avec y.

PIÈCE DROITE

L'étude expérimentale des conditions d'équilibre des pièces char, gées par leurs abouts a conduit à des formules empiriques très fréquemment employées par les constructeurs. Nous citerons plus loin les principales.

ISA. L'équation delà pièce fléchie est y = Bsinmx^ en faisant

- VEr

Si la force F n'est pas constante, et si elle varie avec la corde OA de la pièce fléchie, on peut déterminer le coefiicient B, qui autrement reste inconnu.

La moindre valeur de la force F qui fasse fléchir la pièce est don- ' née par Téquation

EIt:«

où a est la distance OA de deux points fixes consécutifs.

Si F est exprimée en fonction de a, on aura ¥ = <f{a)^ et la distance a s'obtiendra en résolvant l'équation

/F- iï une fois a connu, on en déduit m = 1/ ?? = -, et il ne reste pi

qu'à déterminer la constante B.

Nous y parviendrons en cherchant la longueur de la pièce déformée.

Chaque élément ds = mm' de la fibre moyenne subit un raccour- Fig. 131. cissement dû à la compression produite par la force F.

x| Menons la tangente mT, et soit Q Tangle qu'elle iait

avec l'axe OX. La force de compression due à F est égale à F cos 0 ; elle produit sur l'arc mm^ un raccourcissement 8^ donné par l'équation

Fcos6=— -; — , ds

(i> désignant la section.

Donc

FcosOd* __ Fdr.

8dj =