On a cherché à étendre aux prismes quelconques les lois

de la torsion des cylindres.

Soit AB la section du prisme, supposée la même en tous les points

de sa longueur. Par le centre de gravité 0 menons deux axes rectangulsdres OX , OY. Puis considérons au pdnt G on éiément de surface compris entre deux rayons vecteurs menés sous les angles o) et u> -f- dtù, et deux circonférences tracées autour du point 0,

324 JORSION

aux distances p et p+dp. Admettons que dans la torsion, Télément G se déplace par rapport à Télément correspondant de la section infi niment voisine, d'une quantité proportionnelle à (^0, dans une direction CD normale à OG. La résistance à la torsion développée par ce déplacement relatif est donc dirigée dans le sens CD, et oo peut l'exprimer par le produit 6 x p8 x prfwrfo ; décomposons-la parallèlement aux axes OX, OY ; il suffit pour cela de multiplier ce produit par coso) et sincoyce qui donnera, en appelant x eiy les coordonnées rectangles du point G,

G2O X pdcodp parallèlement k Taxe des y, et

Oyd X pdcodp parallèlement k Taxe des x.

Pour l'équilibre de toutes ces forces moléculaires et du couple fp^ on doit donc avoir, en étendant les sommations à toute la section 9

GO U rc X pdcodp = 0, GO \\yxpdMdp = 0»

GO \ \ p« X pdci>(f p = Pp.

Or la première équation et la seconde sont satisfaites d'ellesmêmes ; car les doubles sommes expriment les sommes des moments des éléments de surface par rapport aux axes OY, OX; et ces moments sont nuls, puisqu'on a pris pour origine le centre de gravité de la section.

La troisième équation contient une double somme qui est la somme des produits des éléments de section par le carré de leur distance à Taxe mené perpendiculairement à la section en son centre de gravité 0. C'est le moment d'inertie de la section par rapport i Vaxe central de la pièce prismatique. Représentons-le par I, et nous aurons Téquation

L'effort par unité de surface à une distance p du point 0 sera encore donné par l'expression