Le théorème des trois moments peut s'énoncer comme il
suit :
Si Ton considère trois appuis consécutifs A, B, G, et qu'on s^pelle Fiff. 179. /, /, les portées AB, BG comprises entre
^ ^ le premier appui et le second, entre le
* " ^ second et le troisième;
M, H', H'' les valeurs des moments fléchissants sur les appuis A, B, G;
Enfin p, p' les charges par unité de longueur supposées réparties également dans les deux travées AB, BG; Les moments M, M't H" sont liés par la relation linéaire
j||>f«(i + r)M' + i'M" + jpP+ jf/n^o.
Ce théorème donne autant d'équations qu'il en faut pour déterminer dans chaque cas particulier les valeurs des moments fléchissants Wi* 1^ appuis, d'après l'hypothèse faite sur la distribution des charges entre les diverses travées. On remarquera que les longueurs / et / entrent seules dans les coeiTicients des moments inconous M» M 9 M •
LEMME D£ GLAPEYRON. 3il
Avant de démontrer le théorème, il est utile de poser un lemme préliminaire plus général, qui peut être regardé comme la base de la première méthode de Clapeyron.
Nous suivrons la marche qui nous a déjà servi à résoudre le pro«
blême de la flexion d'une poutre droite sur trois appuis (§ 94).
488. Considérons une travée quelconque AB, comprise entre deux
Fig. 180. appuis A et B; nous supposons que les forces
i extérieures et les réactions des appuis sont
verticales. Après avoir coupé la poutre sur
u ^ l'appui A, on rétablira l'équilibre en appli-
quant a la poutre dans la section A un couple égal au moment fléchissant M qui existait avant la coupure. Appelons A la portion de la réaction de Tappui A qui s'exerce sur la travée AB» enfin représentons par une lettre |jl la somme des moments des forces extérieures données qui s'exercent sur la poutre du point A à un certain point G, défini par son abscisse x^ cette abscisse étant mesurée sur Taxe neutre de la poutre AB à partir du point A pris pour origine ; |jl est donc une fonction connue de x.
Le moment fléchissant de la poutre au point G sera donné par l'équation
Soit f Tangle que fait en A avec l'horizon l'axe neutre déformé ; nous aurons, en intégrant une première fois l'équation qui précède ,
El(^-tang9)=Mx + Jjuix+ÎAx«.
L'intégrale T \kdx est une nouvelle fonction de x que nous repré«
senterons par p ; et nous aurons par suite, en intégrant une seconde fois ,
EI(y — X Ung 9) = i Mx« + Ç' fxfac + 1 ax».
Dans ces équations, faisons a; = I, et appelons N, Q, S, les valeurs
34a LEMME
que prennent pour cette valeur particulière de la variable les fonctions (JL, p = \ jjL(te, et \ pdUc ; pour cette même valeur a? = l, on a
cPy y = A, et El ^ = M', M' désignant le moment fléchissant au point B,
et h la hauteur de ce point au-dessus du poinf A ; soit encore f' l'angle que fait l'axe neutre déformé avec l'horizon au point B, de
sorte que,pour x = l^on ait -^ = tang <p' ; il viendra les trois équar
tions :
M'=M + N + Ai, El (tang ?'- tang .p) = M/+ Q + I AP,
EIA — El/ tang<p = 5 M/« + S + 1 A/«.
Éliminons A entre la première de ces équations et la troisième, puis entre la seconde et la troisième ; il vient
M' ^ + EH tangç = — i M/« + I NP-> S + EIA, El ^ tang ç' + jEIZ tang (p = -iM/»+iû/-S + EI^,
Les quantités N, Q, S, qui dépendent des forces extérieures, sont connues; au contraire M, M', tg(p, tgf' sont inconnues, et ces deux équations font voir que M' et tgf ' sont (Us fonctions linéaires conr nues de VL et tangf, quelle que soit d'ailleurs la distribution des forces extérieures.
Pour revenir au cas ordinaire où les forces extérieures données se réduisent à des poids uniformément répartis par unité de longueur, à raison de p kilogrammes par mètre courant , il suffit d'observer qu'on a alors :
