LA DISTRIBUTION DES SURCHARGES

220. Nous avons reconnu que les hypothèses à faire sur la distribution des surcharges, pour déterminer les valeurs limites des moments fléchissants, sont deux à deux complémentdres, c'est-à-dire qu'à une hypothèse dans laquelle plusieurs travées sont chargées et les autres vides, correspond une hypothèse dans laquelle les premières travées restent vides, et les autres reçoivent la surcharge. Appelons p' le poids par unité de longueur de la travée vide, p" le poids par unité de longueur de la surcharge. Dans Tune des deux hypothèses complémentaires, la travée sera supposée avoir le poids p\ et dans l'autre le poids p = p'+p". Si l'on ajoute les deux moments fléchissants obtenus pour un point quelconque dans chacune de ces deux hypothèses, on obtiendra le moment auquel conduirait le calcul pour une charge totale égale kp+p'^ouk ^p' -f p"\ également répartie dans toute la longueur de la poutre.

Si donc on a calculé les moments fléchissants pour une hypothèse particulière, on pourra obtenir les moments correspondants à l'hypo-

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ihëse complémentaire, en retranchant les moments obtenus des moments correspondants à la charge p+p\ également répartie dans .oute la longueur de la poutre.

Or, an est le nombre d'hypothèses utiles pour une poutre non oy métrique de n travées; elles se groupent deux à deux en hypothèses complémentaires. On pourra « en appliquant la remarque précédente, calculer seulement les moments pour n hypothèses distinctes, et calculer ensuite les moments qui correspondent à l'hypothèse auxiliaire où la charge est partout égale k p+p'. Des soustractions donneront les moments pour les hypothèses complémentaires. Le nombre d'hypothèses distinctes est donc réduit kn+ i.

Si la poutre est symétrique, le nombre d* hypothèses utiles est réduit à n -|- 1. L'introduction de l'hypothèse auxiliaire p +p' permet de réduire encore ce ùombre; msds il y a lieu distinguer le cas de n impair, et le tas de n pair.

4* Si n est impair, le nombre n + 1 6st pair, et les n+ i hypothèses sont complémentaires Tune de l'autre. Elles peuvent donc se réduire à moitié, pourvu qu'on ajoute l'hypothèse auxiliaire p+p';

ce qui fait en tout — -^ + i ou ' hypothèses distinctes.

2* Si n est pair, le nombre n^ i est impaû*, et de ces n + ^ hypothèses il y en a une qui est symétrique de son hypothèse complémentaire ; celle-ci ne peut donc pas être supprimée, car elle l'est déjà par la réduction due à la symétrie, de sorte que Ton ne peut réduire

à moitié que les n autres hypothèses ; il en reste donc — f- i distinctes, plus l'hypothèse auxilisûre p + p\ce qui fait en tout - + ^

hypothèses, ou o

Ces deux formules rentrent l'une dans l'autre en prenant pour le nombre cherché le plus grand entier contenu dans , ou dans