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L'équation (3j nous a donné V — 0 par une quadrature ; cette équation contient une constante arbitraire (V^ — 0 J ; substituant dans les équations (8) et (g), on trouvera, par de nouvelles quadratures, les valeurs de a! — x et y' — y ;

(10) «' - ac= - J (O'-e)dy- J ^ dr + Ç «rdx,

(11) y'-y=+ J (ô'-e)dx- J è^y+ J «^»

sans nouvelles constantes arbitrahres, car 5 = 5^ correspond à l'extrémité de la pièce , c'est-à-dire à l'un des appuis A, où les coordonnées sont supposées invariables.

Navier obtenait seulement le premier terme du second membre de ces deux équations. C'est le terme qui correspond à la flexion. Le second correspond aux variations de longueur de la fibre moyenne ; le troisième, aux variations de la température. La sonune de ces termes indique que ces petits effets partiels se composent algébriquement pour former l'effet total. Le principe de la superposition des effets des forces aurait pu conduire directement à poser les équations (io)et (ii).

DE Là fibre moyenne. 439

Ces équations renferment la constante introduite par l'intégration dans l'équation (3) ; cette constante est généralement inconnue. De plus» on doit regarder comme inconnue l'une des composantes de la réaction de l'un des appuis. En effet, décomposons les réactions des appuis A et B en deux composantes, l'une horizontale, l'autre verticale. L'équilibre extérieur de la pièce exige trois équations, qui sont fournies par la statique; trois des composantes peuvent donc s'exprimer en fonction de la quatrième, qui restera dans les questions, et entrera dans l'expression du moment M et de la force P. Il y 'a, en résumé, deux inconnues à déterminer.

On les déterminera au moyen des équations (lo) et (ii), en exprimant que la courbe après la déformation passe encore par son second appui fixe B. Si l'on fait s égal à sa plus grande valeur ÂB , on devra donc trouver ,

2' — x = 0 et y'— y = 0.