SIMILITUDE DES ARCS

équation qui, en remplaçant sinc/O par dV, cos tfB et eosefç par l'anité, A' par A + «fA et P' par P+ «^> et en supprimant les infiniment petite do lecond ordre, ae lédnità

0) rfA=Prfe— î'df.

s* Gompoiantes anlTant une direction normale à CM :

P + jM/« eo8 cfç = F C08 dO + A 8in (fO + çdf sin cff I cette équation le réduit de même à

(2) <rp=prf#— Arf».

s» Moments par rapport à l'axe G. Appelons p le rayon de courbure CM; nous aurons

M'-M + (P— P'+prf*)p = 0, on bien

(dM— dP— prfj)p=0.

Remplaçons d? par sa yaleur (3); il Tient (8) dM + Ap6ro=:efM + A£/« = 0.

Cette dernière équation montre que -n-=— A, c'est-à-dire qu'en Talenr absolue,

l'effort tranchant est la dérirée du moment fléchissant par rapport à l'arc. On a ensuite

^ dk , ds fdk \ I d«M\

Ces équations s'étendraient sans difficulté an cas où il y aurait des forces discontinues.

8IMILITUDI DES ARCS AU FOIMT M TtJB DB LA RÉSISTANGB.

277. Soit 2a la portée de Ton é.9Ê deux arcs que Pon comparOf f la flèche, p le rayon,

9 le demi- angle an centre,

6 Tangle courant qui définit la position d'un point, . 1 le moment d'inertie de la section, homogène an produit bc*, d'une dt mension horizontale h de la section, par le cube d'une dimension e perpendiculaire à la fibre moyenne.

Considérons le second arc, semblable au premier, et appelons a le coefficient par lequel on suppose multipliés les éléments linéaires de la fibre moyenne^ saTOlr les arcs s mesurés en eette fibre, la wrde 2 a, la flèche fy le rayon p; p le coefficient par lequel sont multipliées les largeurs 6 de la section i t le coefficient des hauteurs e normales à la fibre moyenne; t le coefficient des farces.

500 PIÈCES COUBES.

Noas suppoeeroiiB poar plos de siraplicllé les matières des deux arts identiques. Le moment fléchissant M du premier deviendra pour le secoud

Mxex;

l'arc ds deviendra

dsxa et le moment d'inertie I,

IXPT*.

Or SOy variation de l'angle 6 par suite de la déformation, est homogène à \-77-, c'est-

à-dire, doit être multiplié par --?. Mais la similitude exige que les angles ne soient pu

pr altérés. Il faut donc pour que les déformations soient semblables qu'on ait t3*= py*.

P Hv La charge R par unité de surfoce est donnée par TéquaUon R = - + -p* ^ premier

s ta'

terme est multiplié par —, le second par --;, rapport égal i l'unité. Donc, pour que les

PT Pr

deux arcs soient soumis aux mêmes charges par unité de surfiice anx points homologues, il fout aussi qu'on Ait

Pï

Des deux équations

ta«=pY» et e = PY,

on tire

de sorte qu'en élévation les deux - arcs doivent avoir la similitude géométrique (Cf. § 108, !•)•

Cherchons, comme nous l'avons fait plus haut pour les poutres droites, comment il faut faire varier les dimensions d'un arc quand on fait varier à la fbis la portée et la surcharge.

Soit un premier arc, pour lequel la longueur est 2 S, la portée est 2 a, et le poids de la surcharge permanente par unité de longueur horizontale est p; soit q le poids du mètre courant de l'arc, q' le poids par mèire courant horixontal de la portion de surcharge qui ne varie pas avec la portée, ht poids total sera

Pour le second arc, dont la portée sera 2aa et la longueur 2 S a, si on appelle p* le poids par mètre courant horizontal de la nouvelle surcharge permanence, on observera que le poids q du premier arc devient égal à ç X Pr ^0* l^ second, et que la surcharge 9' reste la même, de sorte que le poids total devient

Le rapport des poids totaux est égal au rapport e des forces, et Ton a par conséquent la relation

- (^'-^y')x2«« + gPYx2S