SOLUTION

très grande F, constante ou variable, agissant pendant un tem[^s très court t — t^] de sorte que cette prétendue force P n'est autre chose qu'une intégrale

Fdt.

De même, dans la théorie de la résistance, une force isolée P est une somme de la forme

pdia.

Fig. 18.

dans laquelle le facteur/? aesigne ra force locale par

unité de surface, force constante ou variable » et M (/(o l'élément de surface; les limites des intégra-

tiws sont celles qui correspondent à un contour

GH très resserré.

Dans son Traité des voûtes , Dupuit a contesté la théorie qui vient d'être exposée, et en plusieurs endroits de cet ouvrage» il admet des forces finies portant sur des arêtes et appliquées à des surfaces infiniment petites. Le motif qu!il donne pour justifier cette étrange théorie est qu* on ne peut couper une pierre avec un rasoir^ ni la percer avec une aiguille^ fait incontestable, bien que l'induction que Dupuit prétend en tirer soit inadmissible. Si une aiguille, ou un rasoir poussé par une force finie, ne pénètre pas dans une pierre, ce n'est pas parce que la pierre résiste à des forces finies appliquées à des surfaces infiniment petites, c est parce que l'aiguille ou le rasoir se déforme, parôeque l'aiguille perd sa pointe, le rasoir son tranchant, et que cette déformation ramène les conditions ordinaires de la résistance : des forces finies appliquées à des surfaces finies.

SOLUTION DU PROBLÈME AU MOYEN d'uNE HYPOTHÈSE.

S8. Cherchons la répartition de la résultante P dans la section AB« Km point de vue analytique, le problème est indéterminé.

Prenons en effet dans le plan de la section deux axes rectangu* aires OX, OY. Considérons un point F de cette section, et désignons

AU MOYEN D UNE HYPOTHEbi:,.

Fig. 14.

par R la pression verdcale, rapportée à l'unité de surface, qui existe eu

ce point dans la matière ; R sera une fonction inconnue des coordonnées du point F, c'est-àdire des coordonnées ar == OD et y = FD. La force élémentaire développée par la déformation sur la surface du petit rectangle FGHI aura pour mesure lidxdy^ et sera verticale; nous aurons des forces analogues en tous les éléments de la section, et la résultante de toutes ces forces doit être égale et contraire à la force P. Nous avons donc à exprimer l'équilibre de forces j- parallèles* ce qui exige trois équations, savoir : l'équation des forces, et les deux équations des

moments par rapport aux axes OX, OY. De là les trois relations :

:\\R(2xdy, équation des forces,

: \ VRydxdy, équation des moments par rapport à Taxe OX,,

: \ VRxdxdy, id. par rapport à Taxe OY.

Tp X^ sont les coordonnées du point de passage G' de la force P. Les intégrales sont étendues à tous les éléments de la section. C*est tout ce que donne la statique. La fonction R n est pas déterminée par ces trois équations.

Nous pouvons considérer R comme l'ordonnée verticale d'une surface dont x et y soient les coordonnées dans le plan de la section. Les trois équations précédentes ont alors une interprétation géométrique très simple.

L'équation (i) indique que le volume compris entre la surface R == /(cr, y), le plan de la section et les arêtes du cylindre projeté suivant le contour A'B', est égal à P.

Les équations (2) et (3) expriment que le centre de gravité de ce volume est situé sur la verticale passant au point G', c'est-à-dire sur la direction de la résultante.

Le problème est donc ramené à construire une surface telle que