U SIMPLIFICATION
le yoIum« cylindrique compris entre cette surface et la section AB soit égal à un nombre donné, et telle que le centre de gravité de ce volume se projette sur la section A'B' en un point donné G. Il esi bien évident qu'on peut résoudre d'une infinité de manières ce problème de géométrie.
Au point de vue physique» cependant, la répartition des pressions n'a rien d'arbitraire ; elle est réglée par une loi naturelle que nous ignorons, et qu'il serait extrêmement difficile de déterminer par l'observation directe. Pour tourner cette difficulté, on a recours à une hypothèse. La plus simple consiste à admettre que la surface cherchée R = /(ar, y) est un plan, ou que R est exprimée par une fonction linéaire de x et de y. L'équation générale du plan sera
(4)^ R = Aic+By + C,
dans laquelle A, B, G seront des constantes inconnues. Cette hypothèse réduit donc à trois le nombre des inconnues de la question, et comme nous avons trois équations, nous pouvons déterminer sans aucune ambiguïté les valeurs de ces inconnues.
Remplaçons R par cette valeur dans les équations (1)9(9) et (3), et il viendra, en faisant sortir des signes JJ les coefficients contants A, B, G,
(6) A\\xdxdy -\-B\\ydxdy •\-C\\dxdy =P,
(6) A!\{xydzdy + B\\y*dady + c[\ydxdy = PTi,
^7) A\\x*dxdy + B [{xydxdy + C {[xdxdy = PX».
Ces équations sont du premiei* degré en A, B, C, et les doubles sommes peuvent être effectuées d'après la forme seule de la section A'B'. On pourra donc résoudre ces équations, trouver A, B, G, en fonction de P, de X,, de Y, et des sommes, et enfin, introduire les valeurs de A, B, G, dans l'équation (4), qui résout entièrement la question proposée.
iO. Remarques. — Si l'on cherche les points de la section pour lesquels la pression par unité de surface, R, a une valeur détermi-
PKS ÉQUATIONS. 5o
née, R', on voit que ces points sont tous sitnés sur une droite dont l'équation est
A» + By + C = H',
L'orientation de cette droite est définie par le rapport des coeQicients A et B, et par suite, elle ne dépend pas de R'. Les lieux géométriques des points également pressés forment donc dans la section une série de droites toutes parallèles. On donne à ces droites le nom de lignes isopiéziques (lignes d^égale pression) .
iO. Les équations (5), (6) et (7) peuvent être simplifiées par un choix convenable des axes OX, OY. Prenons pour origine le point 0, centre de gravité de la section ; nous aurons
\\ydxr/y = 0* et \\xdxdy —(j.
Observons d'ailleurs que JJrf^f/y n'est autre chose que l'aire û de la section. On voit par là que la première équation (5) donne simplement
c'est-à-dire que G est égal à la pression moyenne. Les équations (6) et (7) perdent les termes en G par cette même hypothèse sur la posiUon du point 0. Les sommes ^^y^dxdy^ l^^^dydy ont reçu, par analogie avec les définitions de la mécanique rationnelle, le nom de moments dinertie de la section par rapport aux axes OX, OT. Enfin, on peut faire disparaître le terme ^ytydxdy en donnant une direction convenable à l'axe OX (1). Grâce à ces diverses préparations, les
(I) En rlTet, fii]8on8 tourner d'un ang'c a les axes coordonnés dans leur plan, et (Fig. t9.) appelons x^y, les coordonnées du polot dont les coordonnées
primitives étaient x' et y'-, nous aurons
j; = a:' cos a — ^ sin a, ysjB'sina-fy'GOsou
Done
xy = x'»cosa sina — y"co8 a sina H-^V (cos* 01 — sin» a)
= - («'• —y'-) sJn 2a +x'y' cos 2a.
^ \ xx^rfw = -. sin 2a [ ^ V ar^rfw — \ V y'*rf« j + cos 2a \ \ x'y^dio.
56 SIMPLIFICATION DES EQUATIONS.
équations (6) et (7) se résolvent d'elles-mêmes, et si l'on fait
on a, en définitive.
\\y*dxdy = xy^dxdy = I„
PY
(iO) A = ?îî.
Par suite, Féquatîon (4) devient
On peut substituer à I, le produit Ûp*, et à ly le produit Qp^; ces quantités p^^, py, en suivant toujours l'analogie avec les définitions données dans la dynamique des corps solides, sont les rayons de giration de la section par rapport aux axes OX, OY, et alors l'équation (4) prend la forme :
«') -^fê+ï-)-
Il ne faut pas oublier que l'équation (11) suppose que l'origine 0 est au centre de graVité de la section, et que l'axe OX a une orientation particulière. Si ces conditions n'étaient pas remplies, il faudrait s'en tenir aux équations générales (5), (6) et (7), et à l'équation (4).
On voit que la pression est également répartie en tous les points de la section si Xj = 0, Y^ = o, ou si la force P passe par le centre de gravité 0 de cette section. On voit aussi que la pression au point 0 est toujours égale à la pression moyenne.
On peut disposer de l'angle a de manière que VVa^efca soit nul. Il sufllt en effet de
Ufx'ff'rffù
résoudre l'équation tanga = — :-— ; elle fournit pour a deux valeurs posi*
tives^ comprises entre 0 et ic» et difféiant entre elles de -.
SECTIONS INCOMPLËTEMENT PRESSÉES. 57
il. Dans tont ce qui précède* nous avons admis implicitement que le solide MN était susceptible de subir une extension aussi bien qu'une compression ; nous avons regardé comme positives les valeurs de R qui correspondent à une pression : les valeurs négatives correspondent à une tension, et les formules seront générales, même si R devient en certains points négatif, pourvu que les tensions soient admissibles. Hais si le solide MN, au lieu d'être formé d*un seul morceau, est construit en blocs de pierre superposés, on sait que les pressions sont les seuls efforts que la matière puisse subir. Dans ce cas, si le calcul assigne à R des valeurs négatives en certains points de la section AB, ce résultat impossible indique qu'il faut modifier l'hypothèse qui a servi de base au calcul.
La force P ne peut se répartir alors dans toute l'étendue de la section A'F, et l'on admet en conséquence qu'il y a une région pour laquelle R est donnée par les ordonnées positives de la surface plane
tandis que sur l'autre partie de la section on a partout R = o. La ligne de séparation de ces deux régions est la droite
OU la trace du plan sur la section A!S. Pour déterminer A, B, G, il faudra donc reprendre les équations (5), (6) et (7), mais en étendant seulement les intégrations à la première région, en partie limitée à une droite dont la position varie avec les inconnues A, B, G. Le problème devient dans ce cas particulier beaucoup plus difficile; car les inconnues A, B, G entrent cette fois dans les limites des intégrales indiquées. Pour résoudre cette nouvelle question, il n'y a en général d'autre méthode que le tâtonnement.
Rappelons encore que la détermination de R, dans les deux cas, repose sur une hypothèse, de sorte que cette théorie n'a de valeur réelle que si elle est contrôlée par Texpérience. Hais l'accord de la théorie avec les faits observés est suffisant pour qu'on n'ait pas à chercher une hypothèse plus compliquée.
M, Superposition des effets des forces. — Nous supposerons dans
