DE M. LE GÉNÉRAL PEAUCELLIER

menons par les points^ et ^ des parallèles au joint Nous formons ainsi un rectangle mn rirri^ au dedans duquel on est certain que l'extrémité de la droite représentative de la poussée à la clef doit tomber pour qu'il n'y dt pas glisseiAent sur le joint HA.

Cette construction doit être répétée sur tous les joints, pour qu'on soit sûr d'avoir pour P les limites les plus étroites possible. H. Peaucellier abrège notablement ces essais successifs au moyen d'une construction auxiliaire.

Désignons par

les forces qui agissent sur chaque voussoir à partir de la clef, y compris la part de surcharge qu'on attribue à chacun d'eux. Ces voussoirs seront représentés eux-mêmes par les lettres

Gela étàntt si nous composons f^ et /*,, nous aurons une résultante que nous appellerons R^, et qui sollicite l'ensemble des voussoirs V^ et 1?,. Composant de même R, avec f^ , on aura la résultante R^^ qui sollicite les voussoirs V^9 V,, V,, et ainsi de suite, jusqu'à la résultante R^, qui est formée des forces /i, /,, /«et qui s'applique à l'ensemble des voussoirs Y, , V.. On forme ainsi

une série de résultantes

dont la première R^ ne diffère pas de la force f^. Pour avoir en grandeur ces résultantes Rp R,, , on aura recours à la construc-

Fiff. 16S. tion du polygone des forces. A

partir d'un point 0 quelconque, menons des droites

respectivement parallèles aux forces

et proportionnelles à ces forces. On obtiendra une résultante quelconque R, en joignant les points o et 6.

Chaque point tel que 6 correspond d'ailleurs à un joint de la voûte,

MËTHODE

à celui qui sépare le voussoir V^ du voussoir V,. Par le point 6 nous pourrons donc mener deux droites (6a) « (66), dont les directions fassent avec la normale à ce joint des angles égaux à ^ dans les iem sens. Ces droites coupent en a et £ Tborizontale menée par le point 0; le triangle (60a) a donc ses côtés respectivement parallèles aux forces R^, P et S, qui se font équilibre, et comme R^=: (06), il en résulte (Oaj = P ; (Oa) est donc la limite inférieure de la p0Qss(!;e qui prévient le glissement du haut de la voûte le long du joint n*" & On prouverait de même que (06) est la limite supérieure de la poussée qui ne provoque pas le glissement de la voûte sur le même joint. Répétons la même construction pour chaque sommet : nous obtiendrons sur l'épure une courbe-enveloppe des droites telles que {6a) , et il sera facile de déterminer d'après le tracé de cette courbe et en tenant compte de sa position par rapport à ses tangentes, quelle est la plus grande valeur (Oa) de la limite inférieure cherchée. Les droites telles que {6b) enveloppent aussi une courbe; mais elles restent généralement au-dessus, de sorte que la moindre valeur de la limite inférieure de la poussée correspond à la droite particulière (74'), et non à la courbe*enveloppe de toutes ces droites prises ensemble. Dans tous les cas, le tra>;é de l'épure donne les limites (Oa) et (0£'}, entre lesquelles la condition relative au frottement impose à la poussée P d'être comprise. Ce sont ces limites qui serviront par conséquent à tracer les droites mn^ m'n\

2* Condition relative au passage des réactions mutttelles dans le plan de joint.

Soit HA le joint des naissances. La réaction mutuelle S traversent

le plan de joint, si la poussée P reste comprise entre les limites qui amènent la résultante des forces P et R à passer par les points H et h.

Ayant donc mené les droites OA, OH ache-

Fig. Î69.

Diî M- LE gî:n::iul peaucellier. 571

von8 les parallélogrammes Orsp, Ors'p\ qui ont pour diagonales les droites Oft, OH. Si Or représente la force donnée R, Op et Op' seront les limites de la force P correspondantes au point de passage H, pris arbitrairement sur le joint de la clef. Ces valeurs-limites se modifient quand on déplace le point M. Soit P la valeur de la poussée appliquée à M qui donne lieu à une résultante S passant par le point h. Menons l'horizontale AK. Prenons pour centre des moments le point h^ et appliciuons le théorème des moments aux forces en équilibre S, R» P; il viendra

P X MK = R X A/,

quantité qui reste constante quelle que soit la position du point M sur la clef. Le produit P x MK étant constant, la courb^ représentative des valeurs de P est une hyperbole équilatère qui a pour asymptotes la clef KJ^ et l'horizontale AK prolongée. La portion utile de cette hyperbole est l'arc m'n' compris entre les limites du joint à la clef.

En opérant de même pour le point H, on obtiendra pour courbe des limites supérieures de P une hyperbole mV représentée par l'équation

PxMR'=RxIlF,

et ayant pour asymptotes les droites K'J^ et HK' prolongée en KV. Ces deux hyperpoles, que Ton traçait aussi dans la méthode de M. Durand-Glaye, dessinent un contour qui doit comprendre Textrémité de toute poussée P.

M. Peaucellier exécute cette construction pour le joint des naissances seulement. On pourrait la répéter pour un certain nombre de plans de jomt intermédiaires ; on obtiendrait, en superposant toute3 les opérations, un contour-résidu définissant les poussées qui ne font pas sortir de la voûte les réactions mutuelles de deux joints consécutifs* Mais cette manière d'opérer entraînerait une suite de constructions qu'on peut abréger, grâce à la remarque suivante.

Soit J/ un joint quelconque (fig. 270), et mn l'hyperbole dont les

MÉTHODE

ng. 270.

ordonnées MM' représentent , en chaque point M du joint à la clef J^;,, la

valeur de P qui, composée avec R« donne une résultante passant par le point ;.

La force Rest la résultante des forces extérieures appliquées à la portion de voûte ijjl^ Par le point;, menons une tangente /O à Tintrados, jusqu'à la rencontre en 0 avec là force R, et menons par le point 0 une horizontale OMM'. Le point M ainsi obtenu sera le point d'application» et MM' sera la grandeur de la poussée Fqui donne une réaction mutuelle tangente à l'intrados en y. Le point M' appartiendra donc à Thyperbole infiniment voisine que l'on construirait en prenant pour joint final le joint fï infiniment voisin. C'est un point de l'enveloppe des hyperboles successives correspondantes aux divers points de l'intrados. Si nous construisons cette enveloppe, nous aurons une courbe qui pourra tenir lieu de l'ensemble des hyperboles qu'on aurait tracées. La question est ainsi ramenée à construire la courbe lieu des points M', c'est-à-dire la courbe des poussées telles, que la résultante des forces P et B touche l'intrados au point où se termine la portion de la voûte à laquelle s'applique la force R. Voici comment M. Peaucellier résout ce problème au moyen d'une courbe auxiliaire.

P étant la poussée cherchée MM\ prenons les moments par rapport au joint i ; nous aurons

PxMK = Rxjf/=M,

M désignant le moment de la force R par rapport au joint/.

Cette équation doit être encore satisfaite pour le point /, avec la infime valeur de P et la même position du point M sur le joint J^;V Donc on aura, en diiférentiant,

P X J(MK) = dM.