APPAREIL DES VOUTES BIAISES

mn^ m^n,, m,n,,..., parallèles aux plans des tètes. Noos nous propo- Pig. tt4. serons de déterminer le tracé d'un appareiltel

que, considéré dans un anneau quelconque m^njijn^^ cet appareil soit celui d'une voûte droite. Il faut et il suffit pour cela : i* que les joints discontinus dessinent sur l'intrados des courbes parallèles à la courbe de tète; 90 que les éléments des joinis continus coupent à angle droit les joints discontinus ; 3* que les faces des voussoirs entre deux plans m^n^, m^n^^ consécutifs, soient normales à Tintrados. Donc, !<" les joints continus dessinés sur l'intrados ne sont autre chose que les trajectoires orthogonales des courbes parallèles aux tètes; a* Les joints discontinus sont des arcs de ces dernières courbes; 3* Les faces des voussoirs sont des surfaces réglées engendrées par une droite qui se meut normalement à l'intrados en suivant le pourtour de la douelle de chaque voussoir (i). Le parement vu des voussoirs de tète fait seul exception à ce mode de génération.

ÉPURE DE l'appareil ORTHOGONAL.

339. Pour que la projection d'un angle droit sur un plan soit un angle droit, il faut et il suffit que Tun des côtés de l'angle soit parallèle au plan. Dans l'appareil orthogonal, les courbes de tète et

(1) RigoureDsemeDt^ il faudrait dire quo les sarfaces des Joints continus dolT^ntétre engendrées par une droite parallèle aux plans de iéte, et perpendiculaire à la courbe de joint continu; eu cTest ainsi qu'on définirait les plans de joints des voussoirs de la Yoûte droite infiniment mince eubetituée aox dirers éléments de la Toûte biaise. Mais œ ▼erra plus loin qoe la surface ainsi obtenue est tangente, tout le long d'un Joint contioa» à la surface engendrée par une droite mobile qui suit ce joint en restant normsle I l'intrados. On pent donc sans inconvénient snbstitaer la seconde surface à la première

APPAREIL ORTHOGONAL. 607

les sections parallèles à ces cowbes sont rencontrées à angle âroh par les courbes des joints continus. Il y a donc intérêt à prendre pour plan vertical de projection un plan parallèle aux têtes, car la projection- sur ce plan des joints continus coupera à angle droit les projections des courbes parallèles aux têtes, ou des joins discontinus.

Soit d\i!d (pi. III) la projection verticale de la courbe de tète; cd* ^ est la trace horizontale du plan qui contient la tête ; ac^ bd sont, dans le plan horizontal, les génératrices des naissances.

On obtiendra la projection verticale é^^f d'une courbe quelconque parallèle à la tête, intersection du cylindre d'intrados par un plan vertical ef parallèle à cd^ en fusant glisser de la quantité cV, parallèlement à la ligne de terre, la courbe d^^d. Les projections verticales des joints continus sont donc les trajectoires or-^ * thogonales des positions successives de la courbe d^d^ donnée de grandeur et d'orientation, quand elle glisse le long de la ligne de terre â^y.

La courbe d^d est en général une ellipse dont les axes sont connus; soit a le demi-axe suivant xy^ et b le demi-axe perpendiculaire à cette direction ; appelons m l'absdsse variable du centre O' de Tellipse, x l'absdsse d'un point quelconque de rellipse, ces abscisses étant comptées à partir d'un point fixe pris sur la ligne de terre 3cy\ soit enfin y l'ordonnée du point de l'ellipse qui correspond à l'abscisse x\ l'équation générale de l'ellipse dans une quelconque de ses positions sera

Différentiant cette équation sans faire varier m, et éliminant ensuite m entre l'équation précédente et l'équation différentielle qui s'en déduit, il vient pour équation commune à toutes les ellipses

L'équation dififérentielle des trajectoires orthogonales s'obtient en

n^marquant qu*an point d'intersection d'une ellipse et d'une trajectoire, les deux courbes ont le même x et le même y, mais que le coefficient différentiel de l'une est égal à l'inverse du coefficient dif- (érentiel de l'autre changé de signe. Il suffit donc de changer

^ en r- dans l'équation précédente pour avoir l'équation cher-

ïlx dy ^

cliée s

L'intégration s'opère aisément et donne pour équation générale des trajectoires orthogonales

2x = C+ .y6î^«+ i6 lognép. ^7^^;.

Dans cette équation, G est une constante arbitrsûre.

Toutes les courbes VixW représentées par cette dernière équation se composent de deux branches symétriques par rapport à la verticale qui leur est tangente à toutes deux en leur pomt le plus élevé, {i'. Elles ont un rebroussement en ce point, et ont pour asymptote commune la ligne de terre xy. Elles sont toutes égales entre elles. L'équation donne l'une ou l'autre branche de la courbe suivant qu'on prend le radical positivement ou négativement

Lorsque a = 6, la tête de la voûte est une demi-drconférence; dans ce cas, la trajectoire orthogonale est une des développantes de la chaînette ; c'est la courbe appelée iractrice^ dans laquelle la longueur de la tangente à la courbe, comprise entre le point de contact et la droite fixe xy^ est constante. Cette longueur est en effet représentée, dans une courbe quelconque, par la fonction

dy

et l'équation différentielle des trajectoires orthogonales montre que

aRTHOGONAL.

cette fonction se réduit à

quantité constante et égale à a lorsque a = b.

Après avoir tracé par points une de ces courbes, en faisant abstraction de la constante arbitraire, laquelle influe sur leur position et non sur leur grandeur, on pourra en découper un patron, et se servir de ce patron pour tracer sur Fépure toutes les projections verticales des joints continus.

La table qui suit donne les valeurs absolues du rapport -rr

pour certaines valeurs particulières du rapport ^, abstraction faite

de la constante.

Pour tracer la courbe en vraie grandeur à l'aide de cette table, il

A* suffit de prendre b pour unité des hauteurs, et — pour unité des

bases.

ax

8A0. Les projections verticales une fois obtenues, on peut en déduire par des constructions graphiques les projections horizontales. II suffit pour cela de déterminer les intersections du cylindre d'intrados avec les cylindres projetants conduits par les courbes tracées sur le plan vertical* Les projections horizontales sont aussi la reproduction d'une seule et même courbe, Xiji'td^, qui a un centre, et par suite une inflexion, au point [x où elle rencontre la projection de la génératrice culminante de l'intrados, et qui a pour asymptotes les deux projections des naissances.

11 est nécessaire aussi de construire le développement du cylindre

610 APPAKFIL

d'intrados et d'y tracer les joints continus ; les courbes de têtes se transforment en courbes sinusoïdales, ^MC, dM,A, et les transformées des joints continus, AMn, sont les trajectoires orthogonales des positions successives de ces courbes lorsqu'elles glissent parallèlement aux génératrices droites du cylindre. Elles ont un centre et une inflexion sur la ligne médiane du développement de l'intrados, et sont asymptotes aux deux arêtes droites extrêmes de l'intrados développé.

Les joints discontinus se projettent horizontalement suivant des droites parallèles à la projection des têtes; verticalement, suivant des arcs appartenant aux diverses positions successives de la courbe é]i!f'^ ils se transforment sur le développement en arcs de courbes

sinusoïdales*

ih\. Pour faire Fépure de l'appareil orthogonal, on commencera

par tracer la courbe de tête, et par construire le patron des projections verticales des joints continus. On en déduira le patron des

projections horizontales des mêmes joints, et ensuite, le patron des transformées de ceô mêmes joints sur le développement. Aloi*s on opérera la division des têtes en parties correspondantes aux différents voussoirs. Ce partage exige un certain tâtonnement, pour que les points de division sur les têtes se trouvent deux à deux, autant que posâble, sur une même ligne de joint continu. Quand on est parvenu à assurer approximativement cette corrélation des deux partages, on trace les joints continus sur le plan vertical, sur le plan horizontal et sur le développement, en altérant un peu le tracé là où cela est nécessaire pour retomber rigoureusement sur les points de division préalablement fixés. Les joints «fisconthms seront ensuite tracés dans lestroispartiesderépure, en seservant des courbes de tête pour patrons de ce nouveau tracé. Le tracé du développement de l'intrados domse la mesure exacte des dimensions des voufisoirSt et fournit les panneaux de douelle de chacun d'eux.

342. Les faces de jrâit des voussoirs sont engendrées, avons*nous dit, par une droite mobile qui se déplace normalement à l'intrados en suivant les lignes de joints continus et de joints discontinus.

Il sei*ait plus conforme! l'esprit du problème d'employer pour gêné-

ORTHOGOiNÂL. 611

ratrice des surfaces de joints continus une droite parallèle aux plans de tête ec normale aux Jœnts continus. Au poÎDl (fn,m') de Tintrados menons un plan tangent ; ce plan sera parallèle aux génératrices du cylindre et contiendra de plus la tangente (mp, m'^') à la courbe {tf^ (f^\f) qui passe par ce point sur la surface. Il aura donc pour traces les droites /}/ sur le plan horizontal, et /^ sur le plan vertical. La normale à Tintrados a pour projections mn, niri, droites respectivement perpendiculaires aux traces du plan tangent, et elle a pour trace horizontale le point q. La droite normale à la courbe (e/, «'[a,'/*), menée dans le plan de cette courbe, a pour projections mjo, mV, et sa trace est le point à Par le pcnnt [m^rri] enfin, menons une tang^te à la courbe de joint continu. Elle aura pour projection verticale la dix)ite my, et pour projection horizontale la drofite mv^ qui joint le point m à Tintersection v des traces horizontales du plan tangent j9/z' et du plan projetant ni^q. Ces trois droites ont m'^ pour projection verticale commune ; elles sont donc dans un même plan, et par suite la surface engendrée par la normale au cylindre est tangente en m à la surface engendrée par la normale à l'ellipse menée parallèlement au plan de tête. La substitution de Tune de ces surfaces à l'autre est donc sans inconvénient au point de vue de la résistance. Les surfaces engendrées par une normale à l'intrados dont le pied suit les joints continus coupent les plans de tête suivant des courbes qui limitent le parement vu des voussoirs de tête. Nous appellerons ces courbes joints de tète ou de parement. On les construira pour découpes les panneaux de taille de ces voussoirs. Généralement elles auront une courbure assez faible pour qu'on puisse y substituer des lignes droites.

De la démonstration qui précède résulte que, dans t appareil

orthogonal^ le joint de parement rencontre la courbe de tête à angle droit. On peut le démontrer directement : le plan tangent P à la surface de joint continu, en un point M pris sur la tête, contient à la fois la tangente T menée à la trajectoire orthogonale, et la normale N élevée pai* le

point M sur le plan tangent à l'intrados. Ces deux droites sont, par leur définition même,perpendiculaires à la courbe de tête au point H, et par suite le plan qui les contient est normal à cette courbe. Or le plan P contient aussi la tangente T au joint de parement J, qui est .racé sur la surface de joint continu; donc la courbe de tête est perpendiculaire au joint de parement qui passe par son pied dans ce plan.

3A3. L'épure de l'appareil orthogonal fournit les panneaux de douelle de chaque youssoir, et les panneaux de tête. On donnera facilement à l'aide d'une cerce la courbure de l'intrados aux panneaux de douelle; mais pour tailler les voussoirs de tète, il est nécessaire de déterminer, soit graphiquement, soit par le calcul, les angles formés par les joints de parement et les joints continus qui y font suite.

Le calcul de ces angles se fait très simplement, en observant que

le joint de tète MJ et le joint continu MJ' (fig. a85) tombant normalement sur la courbe de tête, l'angle qu'ils forment mesure l'angle dièdre compris enti-e le plan de tète et le plan tangent à l'intrados au point H.

Menons par le point M (fig. 286) la génératrice Ma de Tintrados; par le même point, une droite M* horizontale dans le plan de tête, et enfin une droite Me tangente à la courbe de tête. Nous formons ainsi un angle trièdre, ayant pour sommet le point M,et pour faces les angles plans aM6, 4Mc, cMa; l'angle ûMô est constant et égal au complément de l'angle du biais, que nous désignerons par P; l'angle bUc est l'angle formé par la tangenteà la courbe de tête avec l'horizontale; c'est un angle variable d'un point à l'autre de la courbe de tète, et donné par la formule générale

Fig. 186.

dx'

le pétant tiré de l'équation de l'ellipse AMB, rapportée à son

ORTHOGONAL. 613

ceotre 0 et à ses axes OB, OY. L'angle dièdre M6 est droit : car il est formé par la rencontre du plan vertical 6Mc, qui n'est autre que le plan de tète, avec le plan àiAb qui contient deux horizontales Ma et VLb. La question est donc ramenée à trouver l'angle dièdre Me, opposé à la face aM6, connaissant la face aM6=9o* — ^, et la face 6Mc=^, et sachant que le dièdre compris entre ces deux faces est droit. La trigonométrie sphérique fait connaître l'angle dièdre Mc=tt) au moyen de la formule

. cet p •

tgw=-:— Ç.

Dans toute la région comprise entre la clef et la naissance du côté de l'angle aigu de la culée, l'angle a> donné par cette formule est l'angle aigu du plan tangent à l'intrados avec le plan de tête ; dans la portion comprise entre la clef et la naissance du côté de l'angle obtus, r angle cherché est obtus, et l'on doit prendre tgtù négativement dans la formule ; ce qui revient à prendre ^ positivement, et à substituer aux valeurs trouvées pour (o, comprises entre o* et 90*, les valeurs supplémentaires i8o* — w.

Dans une voôte droite ^=0, et la formule donne constamment <i)=9o*; le plan tangent à l'intrados est partout perpendiculaire au plan de tète.

Dans une voûte biaise, ^ n'est pas nul ; co est égal à 90* pour ^ = o, c'est-à-dire à la clef. Puis co décroît à mesure que ^ augmente, et a pour limite l'angle 90"" — ^, complément du biais, pour <p=9o% c*est-à-<lire aux points de la courbe de tète où la tangente est verticale. Le plan tangent à l'intrados fait donc avec le plan de tète un angle égal à 90* — p du côté de l'angle aigu des culées, et à 90*+^ du côté de l'angle obtus. Ce sont les limites extrêmes de cet angle.

L'appareil orthogonal est une solution entièrement rationnelle du problème des voûtes biaises, et s'il n'est pas universellement adopté par les constructeurs, c'est qu'il présente quelques difficultés de détail, savoir : la difficulté du tracé, qui se complique d'altérations et de balancements pour établir une correspondance entre les divisions des deux tètes ; la variété des youssoirs, qui sont tous différents les uns

6i4 APPAREIL

des antres, et dont la tatlle exige des panneaux 8{)éci«ux ; enfin le rapprochement des joinlB continus vers les naissaivces, d'où résulte la nécessité d'interrompre une on plusieurs lignes de joint, pour substituer, par exemple, à tvm cours de roussoirs dnix GOar»',ou même un seul^

APPAREIL OETHOGONAL CONVERGENT.

am

SJi- ■- .-.-^-^ f ---

344. Cet appareil s'emploie pour raccorder une voûte biaise avec Fi^. t87. nne voûte droite de même berceau. Il

consiste à prend re pKKir lignes de joints continus lestrajectoii^sorthagomles, non pas des sections faite» parallti&* Tneât aux têtes, mdih de» sections faites dans l'intrados par des plans conduits pa^ une verticale fix?e 0, prise à une certaine distance de la voûte. On donne à ces divers plans toutes les orientations intermédiaires entre celle de la tête biaise et ceUe de la section droite. L'épure de la division de l'intrados se fait par tAM^ nement au moyen dû développement du cylindre d'inU'ados^

On peut aussi passer d'un appareil biais à un autre, ou à un appareil dr(nt, en interrompant d'une manière lMiis<|ue (es deux appareils contigus par une clin!ne de voussoirs particuliers, im'mant «ne harpe de raccordement; ces voussoirs présentent dans leur forme une brisufe, et cbÈ^é partie est taillée à la demande de Taqf^iarei) îiuquel die fait suite.

APPAREIL HÉLICOTÙAL.

845. L'appareil hélicoïdal, imaginé par les tonstruefeurs anglais, est en réalité une imitation suffisamment approximative de Tappii^ reil orthogonal. Dans ce nouvel appareil, les joints continus et les