CONVERGENCE DES TANGENTES AUX JOINTS DE TÈTE

Donc au point (a:, y, z), pour lequel Téquation (i) est satisfaite, la fonction

qui repréaeûtie Yovà(maH à Tmigine de b tangenie à la ooorbe (4)

et (5) , est égale à

8icR« .

quantité indépendante de Tangie a, et qui, par duite, convient à toutes les positicNtis de rh^icoîde autour de Taxe OZ, ou à toutes les surfaces des joints continus.

Donc, les tangentes aux courbes et intersection des surfaces des joints continus avec les plans de tête^ menées aux points oit ces courbes d intersection sont rencontrées par une surface cyUndriqtie concentrique à t intrados^ concourent en un même points situé sur la verticale passant par le sommet de tite^ au-dessous de taxe de t intrados.

Ce théorème a été découvert sur les chantiers de construction par

le tracé même de T épure. L'expression

-ïî-tgp peui se transformer en

en appelant <p l'angle constant des hélices avec les génératrices du cylindre de rayon R; en effet

(1) Il est remarquable qu'on trouve une expression semblable à Rtgftgp eu traitant «D autre problème relatif à l'helicoïile gauche à plan directeur : celui où l'on cherche

APPAREIL UËLIGOIDÂL. 619

3&7. Si Ton pas&e d*un cylindre de rayon R à un cylindre de rayon R' pour obtenir une autre série de points des joints de tète, la distance au point 0 du point de rencontre commun & toutes les

la projection sor l6 plan dlf«oUiir de la courbe de contact de la anrfàce avec un c]flindre cIreoDscrit.

Soient

IX =z tnzl vas: m 9

lea équations d'une direction donnée, parallèlement à laquelle on doit mener nn cylindre tangent k la surface. En général, si F (a;, y,z) = 0 représente l'éqnaUon d'une surface, les équations de la coaite de contact avee le cylindre circonscrit mené parallàlement à cette direction, sont

F(ar,y.<)=0 tfF (/F éfF

Lorsqu'il s'agit de lliélicoide gauche à plan direoteur, la fonction F a pour expressioià

F=-g-+«-arctg|,

et par suite la seconde équation de la courbe de contact est

»*(«• + 1*)+ H(jwy-*n«) ta 0,

Cette équation, ne contenant pas s«est Téquatlon de 4a pro|ecUon sur le plan directeur de la courbe de contact cherchée; elle représente une circonférence qui passe par l'ofiglne des coordonnées, et dont le centre est situé stir une dMtts tiy -f rat t±£ 0, per* peodieulaire k la proJection,my — lur x= 0,de la direction donnée sur le ylan des â^. La diaaiétre de cette circonférence est égal à

on à

BeotrtgTi

en appelant 7 Tangle de la direction donnée avec l'axe OZ de lliélicolde, et f l'angle constant formé par l'hélice directrice tracée sur le cylindre de rayon R avec les génératrices de ce même cylindre. Ces deoz théorèmes se démontrent géométriquement aree une grande facilité.

Fig. 289.

tangentes varie dans le rapport de R* à R" ; cette remarque fournit un moyen de construire les courbes de joints sur la t6te,en y substituant des tangentes successives.

Faisant d'abord R égal au rayon de la section droite de l'intrados,

on prendra sur la projection parallèle à la tête, au-dessous du centre, une quantité OI = Rtg<ptg^. Si M est un point de division de la courbe de tète, la droite IM sera tangente au joint de tète en M.

Coupons le plan de tête par un cylipdre concentrique à l'intrados, qui donnera sur ce plan une ellipse A'B'C semblable à l'ellipse de tète ABC; le rayon R' de ce nouveau cylindre sera égal au demi petit axe OB' de cette ellipse. La tangente IM prolongée rencontrera cette ellipse en un point H', que Ton pourra sans erreur sensible regarder comme appartenant à l'intet^ection de la surface du joint. Pour mener une nouvelle tangente à l'intersection en M, il suffît de déterminer le point de concours r des tangentes qui correspondent au rayon R'. Pour cela, prenons OD = R = OB; joignons ID, et élevons sur cette droite au point D la perpendiculaire D£, qui rencontre en E Taxe OB prolongé. Prenons ensuite OD' = OB' ; joignons £D' et élevons une perpendiculaire Dl' sur ED' au point D'. Cette droite rencontrera la dii-ection 01 en un point V qui sera le point cherché.

En effet, les triangles rectangles EDI , EDT, où les droites OD, OD' sont abaissées perpendiculairement des sommets de l'angle droit sur l'hypoténuse, donnent les égalités

donc