DÉFINITIONS

1 . Les oiatériaux qui entrent dans les constructions appartiennent en général à la classe des corps solides.

Un corps solide est un corps qui oppose une résistance appréciable aux diverses déformations qu'on veut lui faire subir.

Dans la mécanique rationnelle on étudie l'équilibre et le mouvement de corps solides invariables^ c'est-à-dire indéformables, quelles que soient les forces qu'on leur suppose appliquées ; mais ce sont là de pures conceptions géométriques qu'on ne rencontre pas dans la nature*

Un corps fluide^ liquide ou gaz, oppose une résistance appréciable aux déformations qui ont pour résultat de réduire le volume total occupé par ce corps; mais les changements de forme qui ne sont pas accompagnés d'un changement de volume peuvent s'effectoer sans effort, du moins sans effort sensible.

La définition des corps solides qui vient d'être donnée distingue donc à la fois les corps solides naturels des corps solides géométriques, et les corps solides des fluides, soit liquides, soit gazeux.

Certains systèmes peuvent se comporter comme des solides à

l'égard de quelques déformations particulières, tout en n'opposant

qu'une résistance insignifiante aux autres déformations. Un /!/, par

aemple, peut être courbé sans effort, et ne peut être allongé sans

ï ' INTRODUCTION.

travail. Un tissu résiste aux déformations tendant à allonger Fan des deux systèmes de fils qui le couiposerit, et se laisse infléchir sans résistance. /

THfiORIE MOLÉCULAIRE. — ÉLASTICITÉ.

2. On conçoit tous les corps naturels, qu ils soient solides, liquides ou gfizeux, comme formés de molécules infiniment petites, séparées les unes des aunes par des intervalles dont la grandeur est comparable aux dimensions de ces molécules ; elles exercent les unes sur les autres des actions du même ordre de grandeur que les molécules elles-mêuies, variables avec leurs distances mutuelles, et dirigées suivant les droites qui les joignent deux .à deux. Dans les corps solides eu particulier , chaque molécule • a par rapport aux autres une position qu elle ne peut abandonner sans un effort plus ou moins grand. Dans les fluides, au contraire, les molécules ont une liberté presque absolue de tourner les unes autour des autres, ou de fouler les unes sur les autres sans frottement sensible.

Lorsqu'on appli(|ue à différents points d'un corps solide des forces extérieures qui se font équilii)re, l'équilibre des actions mutuelles intérieures est tro.iblé, et une déformation se produit; cette déformation entraîne une variation des distances mutuelles des molécules, et en même temps un^^ vari uion des intensités et des directions des actions intérieures. L'équilibre se rétablit, par la déformation, entre les forces intérieuies et les forces extérieures. Si, une fois la déformation opérée, on supprime les forces extérieures qui l'ont produite, la déformation, en général, ne peut persister, et le corps tend à revenir à saforiAe primitive; les molécules, dans ce mouvement rétrograde, arquièrent dts vitesses qui leur font dép isser leurs positions d'équilibre naiurel, autour dt^squelles, théoriquement et abstraction faite de diverses résisi.mces accessoires, elh^s devraient indéfiniment osi:ilier. GetU* te^.daiice <i'un corps déibimé à revenir à sa forme tiaiureJle consinue ce qu'on appelle ï élasticité de la matière. Au

|K)iiit de vue de Télasticité, de grandes différences se manifestent entre tes divers corps solides.

Les corps parfaitement élastiques^ une fois déformés, reviennent complètement à leur fonne naturelle.

Les corps par faitemeîit mous manquent absolument d'élasticité, et abandonnés à eux-mêmes après une déformation quelconque, ils demeurent dans Tétat où ils ont été laissés, sans montrer de tendance à un retour vers leur forme primitive. Ces corps forment à certains égards un intermé iiaire entre les solides et les fluides.

Les coips parfaitement durs^ que l'on admettait autrefois dans la mécanique (i) comme des corps dépourvus d'élasticité, sont ou bien des solides géométriques, qui n'ont pas d'existence réelle, ou bien des corps solides doués d'une grande raideur, et il n'y a lieu en définitive de considérer dans les applications que deux types extrêmes de corps solides, les corps mous et les corps élastique.

En réalité, les corps solides naturels ne sont ni parfaitement mous ni parfaitement élastiques, mais ils se classent tous entre ces deux types extrêmes ; l'élasticité de la matière est variable d'un corps à l'autre, très grande et presque absolue dans les uns, très petite et presque nulle dans les autres. Elle est moyenne dans la plupart. Nous verrons plus loin comment elle est susceptible d'évaluation numérique (3).

(1) Camot^ Princifjes de l*éqw libre et du mouvement ^ 2* partie.

(2) Ajoutons que les corps soiides |ieu vent se classer en eorps homo^^iief et corps hmnogèHes; la prfinlère classe comprend les corps cristallisés^ et certains corps erisiallités. Dans les corps non ct ista (lises bomogènes, et dans certains oorpt

eristailMs, réia»iiciiéest la même dans toutes les directions autour d'un point queleonque; ces corps pr<*na*'nt alors le nom de c«irps homogènes et d'éiastieité conttaniep <M de eorps isotropes, Puur la déllnition précise de ces dilTérentes classes, nous reuTflr* reoB A b première leçon de Lame sur la théone mathématique de V élasticité des eorps iolides^ g 3.

LIMITE, d'élasticité.

8. Lorsque la déformation d'un corpd solide est sulDfisainmeot petite, le corps se comporte à peu près comme un corps parfaitement élastique, c'est-à-dire qu'après la suppression des forces qui ont produit cette petite déformation, il y a retour complet à la forme naturelle.

La limite et élasticité est la limite supérieure des efforts qu'on peut faire subir à un corps solide sans y produire de déformations permanentes. Tant que les efforts exercés sur un corps sont inférieurs à cette limite, les déformations produites s'effacent ; si les efforts sont supérieurs à la même- limite , les déformations ne s'effacent plus que partiellement, ou même ne s'effacent plus du tout.

Au point de vue mécanique, un corps qui n'a pas subi d'efforts au-dessus de sa limite d'élasticité reste ce qu'il était primitivement. Un corps qui a subi des efforts au-dessus de sa limite d'élasticité doit être considéré comme un système nouveau, dans lequel les positions relatives des molécules ont été altérées plus ou moins profondément, et qui peut posséder de nouvelles propriétés mécaniques* Par exemple, le travail de la filière pour la fabrication des fils métalliques modifie profondément l'élasticité du métal, mais il accroît d'une quantité notable sa résistance à Fexlension. De même le martelage, le laminage, l'action de la chaleur, le choc du balancier monétûre, sont autant de manières d'altérer l'élasticité d'une masse métallique et d'en accroître la résistance. Il est donc inexact d'affirmer d'une manièi*e absolue, comme on le fait quelquefois, que l'altération de l'élasticité d'un corps solide amène un affaiblissement de sa résistance et produit une prédisposition à la rupture ; le résultat dépend du mode d'altération employé. Ce qu'on peut dire, c'est que l' altération de l'élasticité est vicieuse quand elle porte sur les matériaux entrant dans une construction , et^ qu'elle résulte de l'action des charges que ces matériaux ont à supporter. Les tas-

aemeDts, les déformations permanentes, accusent ordinairement mi pareil défaut

La limite d'élasticité donne un second moyen de définir les corps mous et les corps élastiques. Un corps mou est celui dont la limite d'élasticité est à peu près nulle ; un corps élastique est celui dont la limite d'élasticité est très élevée.

4. Pour déterminer la limite d'élasticité d'un corps relativement à un eifort défini, par exemple la limite d'élasticité d*une tige métallique soumise à un effort d'extension, il faut, conformément à la définition, observer les allongements pris par la tige sous l'action de divers poids qu'on lui fait supporter successivement; en supprimant à chaque fois la charge pour l'augmenter ensuite , on notera à partir de quel allongement et de quelle charge la tige rendue à elle-même conserve un allongement permanent. Cette charge sera la limite cherchée. On voit que le résultat de cette série d'expériences peut varier avec le degré de précision apporté aux mesures de la longueur de la tige ; de deux séries d'observations, celle dans laquelle CD aura apprécié le plus rigoureusement les longueurs sera celle qui donnera la valeur la plus basse de la limite d'élasticité. Aussi est-il impossible de définir la limite d'élasticité d'une manière parfaitement rigoureuse. Au point de vue du physicien, qui dispose pour ses expériences des procédés d'obseiration les plus perfec* tiennes, la limite d'élasticité est tout à fût nulle, c'est-à-dire que toute déformation, si petite qu'elle soit, persiste en partie après suppression de l'effort qui Ta produite. Pour l'ingénieur, cette précision du langage n'est pas nécessaire ; il doit distinguer entre les défcHmations microscopiques et les déformations visibles pour tous les yeux, et il n'a pas à se préoccuper des premières. A chaque matière employée dans les constructions correspond ainsi une limite d'élasticité, donnée pratique qui, sans être fixée avec une entière rigueur, fournit pour la rédaction des projets un renseignement des plus utiles.

L'observation semble démontrer que la limite d'élasticité dépend de la durée de l'application des efforts ; elle est plus basse pour un eSiurt qui dure longtemps que pour un effort passager.

RUPTUfiB.

6. Lorsqu'on agit sur un corps solide en y appliquant des farces qui tendent soit à le comprimer, soit à l'étendre, soit à l'infléchir, et quon augmente indéfiniment ces forces, la limite d^élasticiié est bientôt dépassée; la déformation devient de plus en plus apparente,, et enfin la rupture se produit. Ce phénomène, qui est très varié, met en évidence la structure intérieure du corps soumis à Texpérience. Tantôt le solide est grenu^ tantôt il est nerveux oo fibreux, tantôt il présente une cassure cristalline, ou encore U se décompose en blocs affectant certaines formes géoinj^triques» La rupture change aussi de caractère suivant qu'elle a lieu par exten»on, par compression ou par flexion.

La manière d'obtenir la rupture varie d'un corps à Tautre» et pour le même corps, d'une direction à l'autre : lûnsi, le bois se fend à la hache avec une grande netteté dans le sens des fibres, tandis que pour couper les fibres à angle droit, il est préférable de se servir de la scie;

Le fer se coupe à froid à la cisaille, et se perce sous le poinçon. Mais le travail du poinçon allonge légèrement la pièce à travers laquelle sont percés les trous ; le perçage au foret ne produit pas le même effet ;

Chaque nature de pierre doit être travaillée avec les outils appropriés : le granit, par exemple, demande un autre outillage que le calcaire des constructions de Paris.

En résumé, les lois de la rupture peuvent intéresser le constructeur à deux points de vue : i* au point de vue du travail des matérianx, bois, métal ou pierre, qu'il s*agit de couper, de tailler, de dresser, ou même de Casser en morceaux ; 2* au point de vue des indications que fournit la cassure sur les propriétés des matières; on casse par exemple un certain nombre d'<'*chantillons pris au hasard dans une fourniture de fer, pour s'assurer que la fourniture satisfait aux conditions imposées par le cahier des charges. Quant aux

efforts développés dans les matériaux d'un ouvrage, ils doivent toujours rester fort au-dessous des charges de rupiure» puisqu'ils sont même inférieurs à la limite d'élasticité.

OBIfiT ET MÉTHODE DU COURS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX.

6. La partie de la mécanique appliquée qui a reçu le nom de Théorie de la résistance des matériaux a pour objet principal de déterminer les efforts intérieurs développés dans les divers éléments d'une construction donnée, et de vérifier si ces efforts sont inférieurs aux limites adoptées. Elle a aussi pour objet de déterminer avec lo pins d'économie possible les formes et les dimensions qui assurent la résistance d'un ouvrage, c'est-à-dire qui correspondent à des eCftNts locaux inférieurs aux mêmes limites.

Cette science est en partie rationnelle, en partie expérimentale; enfin elle doit recourir à un certain nombre d'hypothèses nécessaires pour soumettre au calcul les problèmes qu'elle a pour but de résoudre : le nombre de ces hypothèses tend d'ailleurs à décroître à mesure que la théorie se perfectionne. Cette intervention des hypothèses n'ôte rien, au surplus, au caractère positif de la science ; car les hypothèses que Ion est conduit à admettre sont, comme en physique, soumises à un critérium absolu : lés résultats logiques qoî s'en déduisent doivent être d'accord avec les résultats directs des observations, entre les limites où l'on peut faire usage de la théorie.

1. L'étude empirique des propriétés mécaniques des matériaux remonte à l'antiquité la plus reculée, et date des premiers essais de con« stmctioD : on n'a pas tardé à reconnaître l'influence des dimensions et des formes des matériaux sur leur résistance et leur durée, et l'architecture antique, guidée par l'expérience et par un instinct mécanique très juste en général, a consacré certaines règl^'s que les théories modernes justifient pour la plupart. La théorie de la résistance des matériaux est au contraire toute moderne. C'est Galilée qui essaya le premier d'appliquer la géométi ie et le calcul à la solution des

problèmes de cette nature, et c'est lui par conséquent qu'on peut regarder comme le fondateur de la science. La théorie des poutres droites chargées de poids qu'il donna en i638, est fondée sur une hypothèse. Il remarque très bien, dans l'un de ses dialogues, que les solides semblables au point de vue géométrique sont loin d'avoir des résistances proportionnelles à une même puissance du rapport de similitude ; c'est le premier exemple qu'on ait proposé de la distinction radicale à faire entre la similitude en mécanique et la similitude en géométrie (i). La théorie de Galilée pour les poutres droites n'a.pu être adoptée, parce qu'elle ne présentait pas un accord suffisant avec les lois de la statique et avec les données de l'expérience ; mais en 1705, Jacques Bemoulli, modifiant légèrement cette hypothèse, rencontra la véritable théorie, celle que l'expérience confirme et que l'oil a introduite dans l'enseignement. A partir de ce moment, la doctrine de la résistance des matériaux n'a cessé de faire des progrès. Elle fut cultivée au xvur siècle par les plus grands géomètres, Euler et Lagrauge, et par un grand nombre de physiciens et d'ingénieurs. Elle a enfin reçu de notre temps des améliorations dans deux directions bien distinctes. D'un côté, sous l'impulsion donnée par Navier, Poisson, Cauchy, Lamé, elle est devenue une branche particulière de la physique mathématique sous le nom de Théorie générale de V élasticité. D'un autre côté, les méthodes de la théorie ordinaire, perfectionnées par les travaux de Navier, de Poncelet, de Glapeyron, ont tantôt suivi, tantôt provoqué les progrès de laconstruction. Tandis que les anciens types de construction, d*abord essayés en petit, ont été ensuite appliqués sur des dimensions graduellement croissantes, les temps modernes ont vu créer de toutes pièces des types nouveaux, fruits du calcul et des méditations de leurs inventeurs (s). Jamais la fécondité de la science n'avait reçu une aussi éclatante démonstration.

(1) Sur la similitude en mécanique. Voir daDS le 32* cahier da Journal de réeole polytechnique une note de M. J. Bertrand.

(2) Voûtes surbaissées, voûtes en arc de cercle, reTéteoients, ponts suspendus, ponts métalliques à grande portée, en arc ou à poutres droites, treillis, charpentes, portes d'écluses en fer, barrages mobiles, etc.

La méthode qae Ton suivra dans ce cours est la méthode andeonet méthode synthétique ou géométrique, qui, précisément parce qu'elle emprunte moins à l'analyse que la nouvelle, convient mieux aux ingénieurs, et se prête sans difficulté à la solution rapide des problèmes qu'ils doivent résoudre la plupart du temps avec une extrême ui^nce. Le défaut de généralité qu'on pourrait lui reprocher est sans inconvénient pour les applications ; car elle a toute la généralité nécessaire aux besoins de la pratique.

APPUGAHON de la théorie HOLËGULAIRK au SYSTEME FOBllÉ

PAB DEUX MOLÉCULES (l).

' 8. Considérons (fig. i) deux molécules M, M', placées à une distance *»«. *• MM' = r ; les forces mutuelles qui aghront sur ces

5 SI molécules sont les unes attractives, les autres

répulsives, mais elles sont toutes dirigées suivant la direction MM\ et sont fonction de la distance r.

Autrefois on admettait autour de chaque molécule une atmosphère formée parle fluide calorique, et l'on attribuait à ce fluide la propriété d'agir par attraction sur les molécules matérielles, et par répulsion sar ses propres molécules ; dans cet ordre d'idées la molécule M subissait:

1* L'attraction de la molécule M' sur la molécule M;

t* L'attraction de l'atmosphère de M' sur la molécule M;

3* L'attraction de la molécule M' sur l'atmosphère de M;

4* La répulsion de l'atmosphère M' sur l'atmosphère de H.

Aujourd'hui l'hypothèse d'un fluide calorique est abandonnée; les physiciens ont sur la chaleur des idées toutes différentes, et cette décomposition des actions mutuelles ne peut plus être admise. Mais, sans rien préciser sur la nature de ces forces prises individuellement, on peut toujours admettre que la molécule M subit, de la pai-t de la

(t) Poneelet, Introduction à la mécanique industrielle, p. 2G0.

i« ÉQUILIBRE DU SYSTËMB

molécule M\ deux actions, Tune attractive et dirigée suivant IIM'r l'autre répulsive et dirigée suivant le prolongement de M'M ; noos représenterons la première force par A tet la seconde par R ; A et R seront des fonctions de la distance r, et en vertu du principe de l'égalité de Faction et de la réaction, A et R seront aussi les forces exercées par la molécule M sur la molécule W.

Pour étudier l'effet des variations de ces forces A et- R avec les distances r, construisons (fig. s) les courbes qui représentent en coordonnées rectangulaires les valeurs des forces A et R en fonction de la distance r, considérée comme abscisse.

g. ^ Soit RR' la courbe des R, et AA' la

courbe des A. Si l'on prend une abscisse arbitraire OB, les coordonnées BA", BR" correspondantes sont les va- Q leurs<lesattractionset répulsions mu-

\y tuelles des deux molécules il et M', '" lorsque leur distance MM' est égale à n — TT^ c ~ ' r OB. L'équilibre naturel des deux mo-

'' lécules, c'est-à-dire l'équilibre réalisé

'^ sans intervention d'aucuneforceexté-

rieure, aura lieu lorsque MM' sera égale à OG, abscisse du point de rencontre D des deux courbes A et R. Car pour cette distance les forces A et R sont égales et se font équilibre sur chaque molécule* Lorsqu'au contraire on fait varier la distance MM\ de manière à l'amener de sa valeur OG à une valeur OB quelconque, les forces A et R ne demeurent plus égales, et il faut, pour maintenir les molécules dans leur nouvelle position relative, appliquer à chacune une force extérieure mesurée par la différence A"R".

Pour de très petites valeurs de r, la force R doit être très grande; elle devient infinie pour r = o, et par suite la courbe RR' a pour asymptote l'axe OY. Non-seulement l'ordonnée BR" grandit indéfifîiiiment quand l'abscisse OB décroit jusqu'à zéro, mais encore la différence A"R" grandit iiidéfiniment dans les mêmes circonstances, de sorte que pour amener les molécules M et M' au contact, il faudrait développer un effort infini ; en d'autres termes, on admet qu'il