DANS UN MASSIF INDÉFINI

En chaque point du massif passent deux éléments rectangulaires le long desquels les

pressions sont normales. Les courbes, on plutôt les surfaces, le long desquelles cette

propriété a lieu sont appelées isostatiques ou ùrthopiiziques. Le long de ces surfaces,

le massif a la principale propriété des fluides en repos, de développer des pressions

normales aux éléments sur lesquels elles s'exercent.

T' i* En cliaque point, le rapport ~ change avec Tangle a, et sa valeur absolue passe

par un maximum, qui ne peut être sapérieur, dans un massif en équilibre, à la valeur f=ss tang 9 du coeiRcient du frottement des terres, car la résistance an glissement ne croit pas au delà de la limite /N. On se placera donc dans la condition la plus défavorable à la stabilité du massif, en supposant que ce rapport atteigne en valeur absolue la limite f.

T Pour chercher les directions suivant lesquelles rr a sa plus grande valeur, nous pou-

voDs supposer que les axes OX, OY ont été dirigés au point 0 suivant les lignes pour lesquelles le frottement est nul, et faire T^O dans les équations (1); accentuant les lettres N| et N, pour distinguer leur poovelle sIgniflcaUon, il vieat

(3) N' = S\ co8« a + N', 8in««,

T' = 5(N'i-N',)8inJ«,

et l'on a à déterminer la valeur de a qui rend maximum le rapport

r i(NS--N-Jsln?a ^^ N' N'tC08«a+N',sin«a*

Abstraction faite du facteur constant N'i — N'^, on peut mettre ce rapport sous la forme

N'icota+N'jlanga*

de sorte que le maximum cherché correspond au minimum du dénominateur

N'tCOta + N',Unga;

on obtiendra la valeur de a en égalant à xéro la dérivée de cette fonction, ce qui donne

N't X -V - N'i X ^ =0, cos'a sm'a

on bien

De la relation (5) on tira

cos^a = ... . ^.. , sin* a =

N't + NV N'i + NV

T' Substituant dans (4) et faisant -- = =b /", il vient

. . (N'i-N^y/Nyï^ 1 N\-N^.

Les d«ux diredioBs ddflniM par oai yalean paartfeultènt de fnglê « tout symétriques par rapport aox ligiiM UosiidqoM. Ce sont les dfareetioiit des ligne» de gltuement du masHf.

Pour les déterminer dans le eas ^néraf où Tes aies ne sont pas dirigés soivasC les lignes orthopiésiques, on remarquera qui! suffit d'aJoQfer Tangle dont la tangents m,

égale i^ \/ rr i l'angle donné par l'équation (2), qui définit ces dernières lignai.

L'équation (6), qui suppose les axes dirigés d'une maniera particulière, se tranalKme dans le cas général en y mettant poar M'| et M « ^ Talenn des psesiiinna nomalaik sitiTant les mêmes directions.

Or, on peut écrire les équations (1) sous la forme

N'== 1 (N|4. N,) + ?1ZJ!? cosîa— T ilnJ«, r=l(Ni-N^sin3a + Tcos3a,

. , . 1 + cos2a I — eosSa

en remplaçant ces»» par et iln"a par .

De l'équation (2) on tire

sin2a= i2«s::b

Dono

les signes se correspondant ; on bien

Telles sont les valeurs des pressions normales suivant les deni lignée orthopiéafgiiee. Luur difTérence

K'i-N', est égale à v^iT* f (Nj-ry^

et leur moyenne proportionnelle

Substituant ces valeurs dans l'équation (6), 11 vient entra laa ImIb feMaa 0Ih ^ •& ^

l'équation de condition

(7) -=^^^^==dbr=\AË±<ïEl£.

V(N, + NJ»-4T«-(K,-N„« V 4N,N,-4'P

DAVS UN MASSIF IKDËFINL

qui ex^ine ga'eD eha^nt ptiot piflittit deu OMirbes la long daigQtUet la maaif art svJa^ni de idister.

âiron^oia/=laog%liaqiiatloon] davlart

det pÊftisicm itim pMat À /Aitf re Ju massif. Jff.

PreniMMi deu aies, Fun OX iMirtianlaV l'antre OY leitkal, el exprimoos» eonaa on le /ait ea hjMb»atatique, l'équilibre do prisme reetangolaire indéfini projeté en ABCU, 8oo< ractlon de son poids JIiéac4<|i^«t4es pneaioas laDgentielles et normalea qoi agissent snr ses quatre faces.

Les coMpeeutespacallèles à OX nous donneront^ en supposant que les pressions se retrenvent sur deux fÉioes oppescei, changées de signe et augment4at4etaar«ffénaMle partielle reUUye à U coordonnée qui Tarie^

on bien en réduisant Les composantes parallèles à OY donnent de même

éqnatlMi qniaa féikitt A

dy dx

L'éqnstion des moments ne noos apprendrait qn'one dnaequasani «a^wis^Qi, saToir que les composantes tangentielles T sont les mêmes sur les denx faces rectangulaires.

Ces. deux équations (9) et (10), Jataiss à Téquattai de condition (8), définissent analytiquement les trois fonctions Ni, N^ et T.

La fonction T s'exprime iiaitoMent à l'aléa ^tes 4au nirtnss or «î l'as aRiitliMe l'éqnation (9) par dy^ l'éqnatlon (10) par dx^ et qu'on ajonta, on obtient la relation générale

dT et Udx étant des dlflérentleUes exactes, il est

qna la fraction

dW, dx

i dx+^dy

sali aniii IntégraUe, ce qui faornlt la nauTelIe oonditlan

dy* ~ dx* '

(tt)