EMPLOI

A&3. Par exemple, si Ton demande de calculer les forces F et H pour une poutre de la entre-boulons, on devra, pour trouver les coefficients de pa tg a, diviser :

^ac— — ai» par 1 - 3x + 3a;« - 1».

ce qui donne pour résultat :

'^ 1 / lia; — 13a;» \

— X» " % \1 — 3a; + 3x« — xV

* =r g (0 + llx + 20x« + a7x» + 32x* + 35x» + 36x« + ).

Il ne faut pas oublier o comme premier terme indépendant de x dans le quotient. Les valeurs successives de H sont donc :

1" entre-boulon «• 3* 4* 5« €•

0, -g patga, -jpalga, -|-patg«, ypatga, ypalga.

Les coefficients de x soot, dans la première, les nombres tnangulaires ; dans la seconde les nombres naturel* ; dans la troisième, Ils sont tous égaux à 1* unité : nous retrouToos ainsi les trois premières lignes du triangle arithmétique de Pascal, triangle qu'on peut prolonger une fois pour toutes aussi loin qu'on veut, et qni servira pour déteroiiner d'ayanee les valeurs de F et de H dans un entre-boulon quelconque,8an8 calculer leurs valeurs dans les entre-boulons. précédents; dans l'exemple que nous proposons ci-dessus, on a

Si Ton demande Ia coefficient du cinquième terme du développement en série ds la

fracUon j

(I - «)•• on volt tout de suite qoe le coefficient est

ce qui est vérifié par le calcul direct

DES SÉRIES RECURRENTES. 787

et les valeurs successives de F :

y P«tg«. yPotg«> -jpatg», jl^tg», ypatg«, yiwtga.

AAA. Si Ton continuait la division» on retrouverait dans un ordre inverse les coefficients déjà obtenus.

Pour démontrer ce théorème, reprenons la série (ti) , et cherchons les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'elle soit symétrique, ce qui peut avoir lieu de deux manières : i* ou bien, à partir d'mi de ses termes iii, tous les termes suivants sont respectivement les mêmes que les précédents pris dans Tordre rétrograde; s* ou bien deux termes consécutif ii|.j, Ui ont la même valeur, et les termes qui suivent le terme Ui sont égaux aux termes qui précèdent le terme t/^,.

1*" Dans le premier cas, on aura ti|^|= t/|.|, Ui^=ui t9 et ainsi de suite; or on a toujours entre les quatre termes consécutifs t/^^ '^1» f^ui» Uf.,, l'équation

tti4.j = 3ui — 3u,j + ut^ ,

(i'où Ton tire, en remplaçant ti,^^ par Uuf,qui lui est supposé égal ,

4Mj i = 3M| + Ml-,.

Réciproquement, si cette condition est remplie, on voit que Ut^^ sera égal à M,^„ et par suite m,^, à ti^,, w,, à w,^.,, etc., et que la série aura la propriété d'être symétrique par rapport au terme Ui.

Or il est facile de reconnaître qu'on a les équations

«,= m + (/~1)< + //+ e ^^^\ UM = m + (/-2)/ + (/-!)/+ 6 iillMllS,

II s'agit donc de savoir s'il existe une valeur entière de /qui satisfasse à l'équation de condition que nous venons de poser.