EMPLOI
Telle est la loi au moyen de laquelle on déduira chaque terme de la série {u) des termes précédents.
Il résulte de là que les termes de la série (ti) sont les coefficients numériques de la lettre ordonnatrice x dans la série que Ton obtient en divisant un polynôme du second degré en x par 1« polynôme i — ix+ix* — a;', qui n*est autre chose que le cube du binôme i— a;.
En effet, on a identiquement ;
(ti| + t<j|X + u^ + u^pl^ + + U|X*''4- )
— 3tt, + 3tti
— 3tt,
Le produit n'aque trois termes, carlescoellicientsti^— 3u^+3u,~«if u^ — Su^+St/, — t/, » etc., des puissances de x supérieures à la seconde sont tous nuls en vertu de la relation générale entre quatre termes consécutifs de la série (t/).
^i* ^19 ^s peuvent être exprimés en fonction des arguments des séries {a) et (6), et le polynôme du second degré que l'on obtient pour produit est égal à l'expression
M = (m +/) + it—ftm + 0 -/)a; + (m— <)«•• •
Si donc on divise ce polynôme pari — 5a: +3^* — ^*f en les ordonnant Fun et Tanue par rapport aux puissances ascendantes de x, les coefficients numériques de x dans les termes successifs du quotient seront les valeurs des termes u, , u,, ti,..«« de la série cherchée.
àli2. Pour revenir de ces généralités à' la recherche spéciale des coefficients de paiga dans les expressions de H et de F, nous remarquerons que, dans ce cas particulier, les séries (a) et {fi) devienneni :
/^. A ^+* r ! ix (n+i)x3
DES SÉRIES RÉCURRENTES. 7^5
de sorte qu'on a
Donc
et la division de ce polynôme par i — 3a: + 3jb* — x* donnera les valeurs numériques des coefiicients dcpatga dans Texpression de H; pour en déduire les valeurs des coefficients applicables à F, il faut avancer d'un rang dans la série (i).
(1) Oo peat encore traosformer cetto méUiode en décomposant en IracUoni limplei la fraction rationnelle
On a CD effet idenUqaement, A, B, C étant des constantes ,
A + Bar+ C««A + B + C B + 2C , C
de sorte que les coefficients de x dans le quotient sent respecttfement égaux aux sommas des coefficients des déTcloppements des fractions
moltipUées respeetiTement par les constantes
A + B+C, *(B + 2C) et G.
En eflbetuani les dlTlsions, on trouve les trois suites indéfinies
,, ^ ,- = l+2« + 3a:«-h 4x»+ 6x*+ to» +
(1 — xy
