MNS UN SYSTÈME ÉLASTIQUE EN ÉQUILIBRE

9!, p<, fi les angles qat fait le lien /^ aboutissant en nœud m, tiee les trois axes coordonnés, en prenant le lien dans le sens qui part du point m.

L'équilibre du nœud m s'exprimera par 3 équations entre la force (X»^ Y», Z») et les tensions des liens Ip, /r, Ir ...

On aura donc

W X» + 2Ep^cosoi, = 0,

Y«. + IEp>i|»GOS^=0, Z» + £Ei»>^eo8Tf=sO;

les sommes indiquées s'étendant à tons les liens qui rayonnent autour du point m.

A chaque point du système correspond on groupe semblable de S équation», ce qu fait Zn équations pour le système entier. Mais ces Zn équations ne sont pas toutes distinctes. En effet puisqu'elles expriment l'équilibre du système total, elles contiennent les 6 équations d'équilibre qu'on obtiendrait entre les forces extérieures (X», Y», Z^) prises seules, en supposant le système solidlflé, et on retombera sur les six équations de la statique en éliminant les tensions du groupe de Zn équation (8). Or ces 6 équations expriment l'équilibre des forces extérieures, et sont satisfaites par hypothèse.

En déflnitîTe on voit que les Zn équation (8) se réduisent i 3n— 6 équations distinctes, entre les allongements X, Ces Zn — 6 équations Jointes aux K équations (2), donnent en tout dft — 6 + K équations, c'estpà-dire autant d'équations qu'il y a de liens; de sorte qu'il y a autant d'équations qu^il en faut pour déterminer les inconnues X|, X,, X,..., et les tensions correspondantes Ei\, E^X,, È^...

Dans le plan, le nombre des liens est réduit à 2n — 8 + K, et les équations distinctes sont pareillement réduites à ce nombre, en tenant compte des 3 équations de Téqulllbre extérieur, qui sont Indépendantes des tensions cherchées.

On trouvera cette théorie exposée dans la deuxième note de la statique graphique de M. Maurice Lévy. Signalons sur le même sujet les recherches de M. le général Meiiabres, présentées à l'Académie des sciences le 81 mai 1858. M. Menabrea a fondé sa méthode sur l'application du théorème du moindre travail, déjà proposé par Euler dans un des suppléments de sa Methodus inveniendi..., et appliqué par lui à la flexion des courbes élastiques. Une nouvelle communication de M. le général Menabrea, dans les comptes rendus du 24 mars 1884, fait voir qu'on retrouve les équations qui servent à déterminer

les tensions des liens en exprimant le minimum de la somme des travaux, £ r E^ V« des

travaux développés par tous les liens élastiques dans la défomoation, et signale l'identité des résultats obtenus par les deux méthodes.