COMPARAISON DES SECTIONS SYMÉTRIQUES
pxiab fjp
L*équation finale de la répartition devient
&8. En général, les solides qui entrent dans les constructions ont un plan de symétrie, et les forces qui leur sont appliquées sont distribuées symétriquement par rapport à ce plan. Il en résulte que les déformations s'opèrent parallèlement à ce plan de symétrie. S'il en est ainsi, le point de passage C de la résultante tombe sur l'axe de symétrie des sections. Dans cette hypothèse, les équations particulières auxquelles nous sommes parvenus pour les sections géométriques qui viennent d'être examinées, sont toutes de la forme
K étant un coeflicient qui dépend de la figure de la section. On a
en effet :
Fig. 52.
^ pour le rectangle K = 3
|â pour le cercle ou l'ellipse K = 4 1 sections pleines.
* pour le losange K = 6
La répartition des pressions est donc plus égale pour le rectangle que pour le cercle, et plus égale pour le cercle que pour le losange.
&9. Le cas des sections évidées se traite par les mêmes procédés de calcul ; mais les sommes, au lieu de s'étendre à toute la superficie du contour extérieur, doivent seulement s'étendre à la couronne comprise entre le contour extérieur et le contour intérieur. Nous prendrons pour exemple la cou-
SECTIONS EVIDÉES.
Fig. M.
ronne comprise entre deux cercles concentriques dont les rayons
sont a et d.
La force P étant appliquée en un point C du rayon OX, le plan représentatif de la pression R se projettera sur le plan vertical parallèle à OX suivant sa trace 6H, et R sera donné encore par Téquation
R = g (1 + OX),
dans laquelle û désigne la surface annulaire comprise entre les deux cercles.
Prenons les moments par rapport à l'axe OB, il viendra
-g. yyâx + ^ Yy^ = Pp;
y désigne ici l'ordonnée positive de la circonférence extérieure entre les points A et D, A' et D\ et la différence des ordonnées des deux circonférences entre les points D et D'. Les limites sont —a et + a.
La première intégrale est nulle à cause de la double symétrie de
la figure par rapport aux axes OX et OY. Pour la seconde, qu'il
faut calculer, il est plus simple de changer de variable.
Cette intégrale est la somme des produits des éléments de surface
Pig. î4. de la couronne par le carré de leur distance
à l'axe OY. Au lieu de prendre les coordonnées rectangles, nous prendrons, comme tout à l'heure, les coordonnées polaires r et 0, et nous considérerons les éléments infiniment petits compris entre les cercles de rayons r et r + rfr, et les directions définies par les angles 0 et 0 + dQ ; il faudra d'abord multiplier la surface rrfrdO de chaque élément par le carré r* cos' 0 de la distance de cet élément à Taxe OY; puis intégrer le produit par rapport à r entre les limites
74 SECTIONS ÉVfDÉES.
a' et a; enfin, intégrer le résultat par rapport à P entre les limites o et ic. On aura ainsi le résultat cherché. On a donc à trouver Wntegrale double
\"\ r'cos»
Mrd^
La première intégration donne
et, entre les limites cf et a.
008* OdO.
La seconde conduit à intégrer cos' OefB ; on trcHive pour Tintégrale générale
cos"6de = - + j sin 26,
Prise entre les limites o et ir, cette intégrale se réduit à - ; donc, en définitive, l'intégrale cherchée a pour valeur
Un aurait pu trouver ce résultat en retranchant le moment d'inertie du cercle intérieur du moment d'inertie du cercle AA'.
Substituons dans F équation qui doit nous donner a, en observant que Q = n{a* — a'*) , et nous aurons pour résultat final
^-ih^y
