SIMILITUDE DES POUTRES VIBRANTES

que sa masse fût négligeable comparativement à celle de la poutre, et celui où, ^u contraire, la masse de la poutre était assez petite pour être négligeable par rapport à celle de la surcharge.

Le travail de M. Stokes a été publié dans les Transactions of the Cambridge philosophical Society^ année 1 849. On trouve dans les Annales des ponts et chaussées^ année 1 85 1 , un résumé du rapport de la commission, et MM. Molinos et Prosnier en ont aussi présenté une analyse sommaire dans leur grand Traité des ponts métalliques. M. Stokes avait indiqué dans ses recherches l'usage qu'on peut faire, pour l'étude expérimentale d'un problème aussi compliqué, des principes de la similitude mécanique. Plus récemment, M. Phillips, l'auteur de très remarquables travaux analytiques sur féJasticité et la mécanique vibratoire (1), a généralisé cette application de la similitude (9), et posé les lois de la véritable réduction d'échelle à faire subir aux divers éléments du problème, pour qu'on puisse conclure avec sûreté d'une expérience faite en petit à une expérience en grand. La similitude mécanique dont il s'agit ici n'est pas

{\) Annales des mines, 18&S.— Théorie des wuoiX^^ Annales des mines, 1862.— Spiral réglant^ Annales des mines, 1861.

(2) Comptes rendus de F Académie des sciences, 3 décembre 1866. Voici lacoDcInaion do traval] de M. Phillips :

« Solt OD système composé d'ooe poutre piismaUqoe, reposant nir an nombre qnelconqne de points d*appul, formant ainsi nn certain nombre de travées, et supportant un certain nombre de mobiles, de poids quelconques relativement les uns aux autres, mais tous animés de la même vitesse.

« Un autre système sera comparable avec celui-ci :

PV*/ 1* Pourvu que ---- soit le mémo de part et d'autre, P désignant le poids d'un mobile.

/ la longueur d'une travée. Via vlteise du mobile, E leeoeiBcient d'élasUcIté, eti le moment

d*inertie de la section transversale; les mêmes lettres désignent les quantités homologues

pour Tautre système;

2* Que le rapport des poids mobiles entre eux soit le même de part et d'autre ;

P P Pfl

3* Que — soit le même de part et d'autre, ainsi que*-, ou ^, en désignant par Pf et P| I « *^t

P) les poids de la poutre seule et de cette poutre avec la charge uniformément répartie,

soit pour une travée, solt pour la totalité;

4* Que le rapport des longueurs des diverses travées soit le même de part et d'autre;

5* Que les divers mobiles soient toujours placés de part et d'autre en des points homologues des travées homologues.

« Ces conditions étant remplies, il arrivera que z, 00 l'ordonnée comptée à partir de

la position d'équilibre sous la charge uniformément répartie, sera, de part et d'autre,

pour les point homologuer, proportionnelle à — .

complète; elle a des lois plus compliquées que la vraie similitude dont Newton a autrefois posé le principe ; cela tient à ce que les forces qui s'introduisent dans les équations des poutres vibrantes se partagent en deux classes : les forces extérieures, telles que les poids et les réactions des appuis, qui peuvent être augmentées ou diminuées dans un rapport arbitraire, et les forces élastiques, dont les expressions contiennent des facteurs dépendants des déformations des pièces, et dont le coefficient d'altération est par suite lié avec le rapport d'amplification des dimensions linéaires. Les conditions de , similitude étaient donc plus difficiles à démêler dans l'analyse d'un tel problème qu'elles ne le sont pour les questions ordinaires de la mécanique rationnelle.

Le mémoire de H* Phillips .conduit à déterminer les rapports de réduction dont il faut affecter les dimensions linéaires, les masses, les forces, le temps, de telle sorte qu'on peut aujourd'hui faire en petit une expériefice reproduisant avec exactitude toutes les circonstances qu'on aurait pu observer dans une expérience à grande échelle* Ce résultat est d'autant plus précieux que, pris dans toute sa généralité, le problème des vibrations des poutres sous l'action de charges roulantes surpasse les forcer de l'analyse. Au lieu de chercher à intégrer des équations qui se présentent en général sous une forme extrêmement rebelle, on pourra chercher expérimentalement les lois du problème ramené à une échelle assez petite pour que l'expérience soit facile et peu coûteuse; puis on appliquera la méthode de la similitude, et l'on saura comment il faut généraliser les résultats obtenus pour les appliquer à une échelle aussi grande qu'on voudra ( i ) .

(0 Voir aussi Comptes rendus de f Académie des sciences^ 11 JaDTier 1869, Mémoire de M. l'hillips Sur F équilibre des solides élastiques semblables. Pour faire en peUt ies expùriences sur la résistance des poutres^ il est asseï difficile, en pratique, de faire tarier ies forces dans le rapport convenable, d'autant plus que le poids du modèle est une force déterminée, qu'on ne peut modifier arbitrairement pour la ramener à la grandeur que demande l'expérience. M. Phillips évite cette difficulté en attachant la poutre^ placée verticalement, à un arbre suffisamment éloigné, auquel il imprime une vitesse angulaire arbitraire. « En faisant ainsi intervenir la force centrifuge, on peut faire en sorte que • pour le modèle la force agissant sur toute la nouisse, et rapportée à Tunité de masse, « soit très supérieure à la pesanteur, et soit égale à la valeur qu'on veut lui donner. •

DES POUTRES VIBRANTES. 843

La commission anglaise de 1847 ne possédait pas cette notion, et les recherches de M. Stokes faisaient plutôt pressentir Teidstence d'une loi générale qu'elles ne formulaient cette loi d'une manière précise. Aussi Içs conclusions prises à cette époque étaient ^Ues de nature à inspirer, au sujet de la stabilité des ponts métalliques, des craintes que les ti*ayauz plus récents, et mieux encore les expériences joamaliëres de l'exploitation des chemins de fer, n'ont pas justifiées. Dans toutes les expériences de la commission, on a atteint sans difficulté les vitesses assez grandes pour produire la rupture des poutres soumises aux observations. On sait très bien aujourd'hui que, lorsque les poutres d'un pont métallique sont suffisamment raides, le passage des trains à grande vitesse ne peut y produire aucun effet fâcheux, et que les excès de pression et de tension développées par les charges mobiles sont d'autant plus petits que la portée et la hauteur de la poutre sont plus grandes.

&77. Le problème des poutres vibrantes sous l'action d'une charge mobQe se met en équation en appliquant les principes qui servent au c«is où la charge est fixe. Mais les équations que l'on obtient sont plus compliquées. On suppose qu'une charge, dont le poids est connu, s'avance sur la poutre avec une vitesse constante donnée ; cette charge peut d'ailleurs être supposée concentrée en un seul point (hypothèse de H. Stokes et de M. Phillips), ou répartie uni* fermement sur une portion de poutre aboutissant à un appui, jt la façon d'un train qui s'avance sur le tablier d'un pont (hypothèse faite par M. Renaudot, dans un mémoire inséré en 1861 aux Annales des ponts et chaussées). Les équations aux dérivées partielles obtenues dans les deux cas ne peuvent s'intégrer sous forme finie. On peut les intégrer par les séries, soit en employant le développement en sinus des multiples d'un arc proportionnel à l'abscisse, soit en employant le développement suivant les puissances mêmes de Fabsdsse* La première méthode est celle que nous avons suivie pour le cas d'une charge fixe; mais si on l'adoptait pour les charges mobiles, on ne pourrait pas déterminer les constantes arbitraires, ni compléter la solution, par le procédé dont nous avons fait usage. Aussi la seconde méthode est-elle préférable, d'autant plus que.